摘要：為了分析學(xué)生在古典概率計(jì)算中常見的錯(cuò)誤，特舉出相關(guān)案例進(jìn)行分析，得出了古典概率計(jì)算錯(cuò)誤的主要類型，并分析其錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，最后歸納總結(jié)提出對策。

關(guān)鍵詞：古典概率； 常見錯(cuò)解；錯(cuò)因分析

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1674-120X（2016）26-0040-02 收稿日期：2016-07-20

作者簡介：莫慶美（1963—），女，廣西蒙山人，賀州學(xué)院副教授，研究方向：高等數(shù)學(xué)與微分方程教學(xué)。

一、古典概率計(jì)算中常見錯(cuò)誤案例

1.審題不清致錯(cuò)

例1 攝影師給6位同學(xué)拍照留念， 他們的身高全不相同，要求前后兩排各3人，那么后排每人均比前排同學(xué)高的概率是 。

錯(cuò)解：據(jù)對稱性可知，一共6個(gè)人，最高3個(gè)和最矮3個(gè)，各一半，那后排每人比前排同學(xué)高的概率為P=12。

剖析：由于審題不清，誤求前排3名均比后排相對應(yīng)3名同學(xué)高的概率。前排每人比后排每人都高，所以可以將6人中最矮的3個(gè)人放在前排，其余3人站后排，而且每個(gè)都不同還需要排列，故所求概率為P=A33A33A66 =120。

教學(xué)啟迪：該例題說明了在古典概型下計(jì)算事件概率的基本方法，同時(shí)也看到古典概型下事件的計(jì)算需要有較高的技巧性，有些問題的計(jì)算還是相當(dāng)困難的。但學(xué)者只需掌握最基本的方法，對典型幾類問題會(huì)計(jì)算即可。

2.計(jì)算基本事件總數(shù)致錯(cuò)

例2 有4只紙箱，現(xiàn)將3份不同禮物隨機(jī)地放入紙箱中去，求紙箱中禮物的最多份數(shù)分別為2的概率。

錯(cuò)解1： P=C13C14C23A34

錯(cuò)解2： P=C23C13C1434

剖析：計(jì)算過程由于基本事件總數(shù)錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)；因?yàn)槊糠荻Y物都有4種放法，所以樣本空間的基本事件總數(shù)為43。紙箱中最多的份數(shù)為2，則先選禮物C23，再選紙箱的選法有C14；剩下的1只從3個(gè)紙箱中任選一個(gè)即C13，故所求事件包含基本事件數(shù)為C23C13C14，于是P=C13C14C2343 = 916。

教學(xué)啟迪：在教學(xué)過程中更應(yīng)該注意強(qiáng)調(diào)是禮物選紙箱，而非紙箱選禮物，處理基本事件總數(shù)，也要注意是組合還是排列，本例未涉及排列部分。

3.運(yùn)用公式P（A·B）=P（A）·P（B），忽視事件的獨(dú)立性致錯(cuò)

例3 某校派a、b兩名同學(xué)去參加市區(qū)普法知識(shí)競答，有10道不同的題目，其中6道選擇題、4道判斷題，a、b兩名同學(xué)依次各抽一題，a同學(xué)抽到選擇題、b同學(xué)抽到判斷題的概率是？

錯(cuò)解：設(shè)A、B分別表示a同學(xué)抽到選擇題、b同學(xué)抽到判斷題的事件，即選擇題概率為0.6，判斷題概率為0.4，那么P（A·B）=P（A）·P（B）=0.6×0.4=0.24。

剖析：因?yàn)槭录嗀與B的發(fā)生不獨(dú)立，所以解法錯(cuò)誤。a同學(xué)可以從6道選擇題中任選一道即C16種，b同學(xué)從4道判斷題中任選一道即C14，樣本總數(shù)即C110 ·C19。所以正確答案如下： P=C16·C14C110 ·C19=415。

4.分不清組合與排列致錯(cuò)

例4 小明買了10張各不相同獎(jiǎng)券，已知這10張獎(jiǎng)券中只有3張中獎(jiǎng)，如果小明每次只打開1張，那么前3次打開獎(jiǎng)券中恰有1次中獎(jiǎng)的概率是？

錯(cuò)解：小明所買的獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)率是0.3，不中獎(jiǎng)率是0.7，故前3個(gè)購買者中恰有1次中獎(jiǎng)的概率，第一步從那3張任取一張即C13×0.3，第二步從7張任選兩張即C27×0.72，所求P=C13×0.3×C27×0.72。

剖析：由上述結(jié)果可以看出，結(jié)果錯(cuò)了。該解法忽略了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)，即各事件的發(fā)生應(yīng)是相互獨(dú)立的。如果前3次打開獎(jiǎng)券中，第1次打開就中獎(jiǎng)了，那么再中獎(jiǎng)率，就不再是0.3了，如果有一次不中獎(jiǎng)概率是0.7，下一次不中獎(jiǎng)概率就不再是0.7。所以該題用到的是排列而非簡單組合，正確答案應(yīng)是

P=3×A13×A27A310=0.525。

5.審題不清，忽視事件“有序”與“無序”致錯(cuò)

例5 在某次試驗(yàn)中把3枚硬幣一起擲出，那么出現(xiàn)一枚反面向上， 而另兩枚正面向上的概率是多少？

錯(cuò)解：先出現(xiàn)一反面后出現(xiàn)兩正面是一種結(jié)果， 故所求概率P=18。

剖析： 在所有 8 種結(jié)果中， 一反兩正沒有說是按順序的，而是理解為兩枚正面向上、一枚反面向上的所有情況。設(shè)事件正面向上為H，反面向上為T，基本事件為A，總樣本數(shù)為S。則3枚硬幣擲出所有可能的結(jié)果有 S=（HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT ），而兩正一反A=（HHT，HTH，THH ），因此， 所求概率P=38。

教學(xué)啟迪：由于審題不清，更容易忽視事件“有序”與“無序”的情況，題意中并沒有說明兩正一反是按順序，而是說所有情況，把擲硬幣出現(xiàn)的8 種結(jié)果看作等可能性， 然而把事件A的3種結(jié)果看作1種結(jié)果，也不符合古典概型的等可能性事件了，因此求概率的基本事件自然就會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。

6.對概率論中的一些常用術(shù)語理解有誤致錯(cuò)

例6 人民公園有一項(xiàng)游戲，即有6不同顏色的小球，每個(gè)小球都等可能落入10個(gè)塑料桶中的任意一個(gè)，假設(shè)每個(gè)塑料桶容納的小球沒有限制，求每個(gè)塑料桶最多有一個(gè)小球的概率。

錯(cuò)解：某指定的6個(gè)塑料桶各有一個(gè)小球，即P=6！106。

剖析：學(xué)者受課本例題影響，又由于審題不清，將最多有一個(gè)小球的概率理解成某指定的6個(gè)塑料桶各有一個(gè)小球致錯(cuò)。將6個(gè)小球放入10個(gè)塑料桶中去，每一種投放是一個(gè)基本事件，可知這是古典概率問題，因?yàn)槊恳粋€(gè)小球都可以放入10個(gè)塑料桶中的任一個(gè)塑料桶，故共有106種不同的放法，而每個(gè)塑料桶中至少放一個(gè)小球共有A610種不同放法。因而所求的概率為P=A610106。

7.疏忽細(xì)節(jié)致錯(cuò)

例7 有n個(gè)人去餐廳吃飯，他們隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，那小黃、小李坐在一起（即座位相鄰）概率多少？

錯(cuò)解：假設(shè)小黃已先坐下，再考慮小李的坐法。小李的坐法對應(yīng)一個(gè)基本事件，明顯小李總共有（n-1）個(gè)位置，而（n-1）個(gè)座位是等可能的，所以共有（n-1）種坐法，而且基本事件的總數(shù)組成等概率樣本空間。故所求概率為P=2n-1。

剖析：上面的計(jì)算過程好像沒有問題。但在這里要注意細(xì)節(jié)問題，當(dāng)n=2時(shí)，P=2與概率為1相矛盾。小黃、小李兩人坐在一起是必然事件，故其概率為1。所以更要在結(jié)果后面添加限制條件，正確結(jié)果為P=2n-1（n>2）。

二、對古典概率計(jì)算中常見錯(cuò)誤提出的策略

（1）加強(qiáng)常見錯(cuò)誤的案例教學(xué)。在教學(xué)中，針對學(xué)生錯(cuò)誤的主要類型加強(qiáng)教學(xué)設(shè)計(jì)，以減少錯(cuò)誤的發(fā)生，幫助其改正錯(cuò)誤。

（2）加強(qiáng)學(xué)生思想教育。對于學(xué)生學(xué)習(xí)的行為、態(tài)度等加強(qiáng)教育，貫徹素質(zhì)教育與專業(yè)教育并重的理念，正確引導(dǎo)學(xué)生的世界觀、價(jià)值觀及人生觀。

（3）認(rèn)真?zhèn)湔n。尊重學(xué)生的學(xué)情，以學(xué)生為本，因材施教，盡量站在學(xué)生角度來設(shè)計(jì)鋪墊性、誘發(fā)性、過渡性的問題，必要時(shí)補(bǔ)充學(xué)習(xí)資源和習(xí)題。

（4）制定相關(guān)制度并執(zhí)行。對于學(xué)生學(xué)習(xí)行為散漫和態(tài)度不端等情況，根據(jù)學(xué)校實(shí)際制定相關(guān)制度并嚴(yán)格執(zhí)行。

（5）教師觀念的轉(zhuǎn)換。課堂改革更是教師教學(xué)觀念的改革，教師在教學(xué)活動(dòng)中充當(dāng)主導(dǎo)，那么教師的任務(wù)就是組織調(diào)動(dòng)、指導(dǎo)服務(wù)，讓學(xué)生通過自主、合作、探究學(xué)習(xí)，自主完成學(xué)業(yè)。

參考文獻(xiàn)：

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