魏超

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210023）

?？臻g中一類四映射公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及迭代程序的穩(wěn)定性

魏超

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210023）

文章利用Δ2條件，在?？臻g中證明一類四映射公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性.在此基礎(chǔ)上討論相關(guān)公共不動(dòng)點(diǎn)的迭代程序的穩(wěn)定性.所得結(jié)果從空間角度對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行推廣.

?？臻g；公共不動(dòng)點(diǎn)；相容性

0 引言

眾所周知，不動(dòng)點(diǎn)理論在諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在微分方程和積分方程這些領(lǐng)域，其中一個(gè)非常著名的不動(dòng)點(diǎn)定理就是人們所熟知的Banach不動(dòng)點(diǎn)定理.模空間理論是由Nakano［1］提出并進(jìn)行推廣的.有關(guān)?？臻g的基礎(chǔ)理論及其相關(guān)性質(zhì)可參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］.近年來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始關(guān)注?？臻g的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的研究，相關(guān)結(jié)果可以參見(jiàn)文獻(xiàn)［2-6］.2008年，Khamsi［7］討論了?？臻g中沒(méi)有Δ2條件（Δ2條件：若當(dāng)n→∞時(shí)，由ρ（xn）→0可推出ρ（2xn）→0成立）的擬壓縮映射.2012年，Wang等［8］第一次將Banach空間中的漸近逐點(diǎn)非擴(kuò)張映像的概念引入到?？臻g中，即映射T：C→C使得

成立.并且在?？臻g中證明了映射T有不動(dòng)點(diǎn).2016年，?zturk等在文獻(xiàn)［9］給出了模空間ψ-φ廣義壓縮映射的概念，并且證明了一類公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.

本文在前人的基礎(chǔ)上，首先將文獻(xiàn)［10］討論的四映射公共不動(dòng)點(diǎn)推廣到?？臻g；其次又討論了相關(guān)公共不動(dòng)點(diǎn)的迭代程序的穩(wěn)定性，推廣了文獻(xiàn)［11］中相關(guān)結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］設(shè)X為K（=RC）上的任一向量空間.對(duì)于X中的?x，y，泛函ρ：X→［0，+∞）被稱為X上的模，如果：

（a）ρ（x）=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0.

（b）ρ（αx）=ρ（x）當(dāng)α∈K且|α|=1.

（c）ρ（αx+βy）≤ρ（x）+ρ（y），如果α，β≥0且α+β=1.

若（c）被ρ（αx+βy）≤αsρ（x）+βsρ（y）替代，其中αs+βs=1，α，β≥0且s∈（0，1］，則稱模ρ為s-凸模.如果s=1，則稱模ρ為凸模.

定義2［8］若向量空間Xρ=｛x∈X|ρ（λx）→0，當(dāng)λ→0｝，則稱向量空間Xρ為模空間.

定義3［8］設(shè)ρ為定義在X上的模，Xρ為模空間.

（c）若Xρ中的每個(gè)ρ-柯西列都收斂到?？臻gXρ的某個(gè)點(diǎn)，則稱Xρ為完備的模空間.

（d）稱模ρ為滿足Δ2條件：若當(dāng)n→∞時(shí)，由ρ（xn）→0，可推出ρ（2xn）→0成立.

定義4設(shè)映射對(duì)｛f，g｝為模空間Xρ上的自映射對(duì)，若對(duì)于t∈Xρ、Xρ中的任意序列｛xn｝.稱映射對(duì)｛f，g｝稱為相容的，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)時(shí)，有成立.

引理1設(shè)Xρ為?？臻g，ρ滿足Δ2條件.若有其中m∈N.

證明由于ρ滿足Δ2條件，故當(dāng)成立時(shí)，有成立.進(jìn)一步考慮由于成立，再由ρ滿足Δ2條件，可得依次類推，最終可得

引理2設(shè)Xρ為?？臻g，ρ滿足Δ2條件.若存在兩個(gè)序列｛xn｝、｛yn｝，使得

證明由ρ（αx+βy）≤ρ（x）+ρ（y），α+β=1得兩邊同時(shí)取極限有

引理3設(shè)a，b∈R+且有a＜b，則有ρ（a）＜ρ（b）成立.

證明對(duì)于任意的n＞m，n，m∈N，

由Δ2條件、引理1及，對(duì)上式兩邊取n，m→∞，有ρ（yn-ym）→0.因此序列｛yn｝為ρ-柯西列.設(shè)f，g，S，T為完備?？臻gXρ上的自映射，且有f（Xρ）?T（Xρ），g（Xρ）?S（Xρ）.任取x0∈Xρ，存在x1∈Xρ使得fx0=Tx1.又因?yàn)間x1∈S（X），則存在x2∈X使得gx1=Sx2.故一般地，則有fx2n=Tx2n+1和gx2n+1=Sx2n+2.進(jìn)一步地設(shè)

至此由上述（1）式過(guò)程得到了?？臻g中一序列｛yn｝.

定義5設(shè)序列｛yn｝由（1）式迭代產(chǎn)生，p為映射f，g，S，T的公共不動(dòng)點(diǎn).任取?？臻g中一序列｛zn｝，稱迭代程序（1）為（S-T）穩(wěn)定的.有成立.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)序列｛yn｝為ρ-收斂列且ρ滿足Δ2條件，則有序列｛yn｝為ρ-柯西列.

證明設(shè)序列｛yn｝ρ-收斂列到點(diǎn)y，即有故由ρ滿足Δ2條件，則有成立.考慮

定理2設(shè)f，g，S，T為完備?？臻gXρ上的自映射，且有f（Xρ）?T（Xρ），g（Xρ）?S（Xρ）；映射S，T是連續(xù)的且映射對(duì)｛f，S｝、｛g，T｝相容.若對(duì)于任意的x，y∈Xρ、k≥1和q∈（0，1），都有

成立，ρ連續(xù)且滿足Δ2條件，則映射f，g，S，T有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

證明任取x0∈Xρ，由于f（Xρ）?T（Xρ），故存在x1∈Xρ使得fx0=Tx1.又因?yàn)間x1∈S（X），則存在使得故一般地，則有進(jìn)一步地設(shè)接下來(lái)證明序列｛yn｝為ρ-柯西列.

若ρ（y2n-y2n+1）＞ρ（y2n-1-y2n），則有ρ（y2n-y2n+1）＜qρ（y2n-y2n+1）.由于q＜1，故ρ（y2n-y2n+1）＜qρ（y2n-y2n+1）不成立.因此ρ（y2n-y2n+1）＜ρ（y2n-1-y2n），從而有

類似可得

由（3）和（4）式可得ρ（yn-yn-1）＜qρ（yn-1-yn-2），依此類推可得

由ρ連續(xù)，對(duì)上式兩邊取極限，有ρ（Sy-y）≤qρ（Sy-y）.由于q＜1，故ρ（Sy-y）=0，從而有Sy=y成立.由映射T的連續(xù)性，同理可得Ty=y成立.在（2）式中取x=y、y=x2n+1，由Sy=Ty=y可推得fy=y成立.最后由

可得gy=y成立.因此有Sy=Ty=fy=gy=y.

下證唯一性：

若還存在一點(diǎn)x為映射f，g，S，T的公共不動(dòng)點(diǎn)，則

從而有x=y.故映射f，g，S，T有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

定理3設(shè)f，g，S，T為完備?？臻gXρ上的自映射，且有f（Xρ）?T（Xρ），g（Xρ）?S（Xρ）；映射S，T是連續(xù)的且映射對(duì)｛f，S｝、｛g，T｝相容.若對(duì)于任意的x，y∈Xρ、k≥1和q∈（0，1），都有

成立，ρ連續(xù)且滿足Δ2條件，則映射f，g，S，T有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

證明類似定理2容易證得.

推論1設(shè)f，g，S，T為完備?？臻gXρ上的自映射，且有f（Xρ）?T（Xρ），g（Xρ）?S（Xρ）；映射S，T是連續(xù)的且映射對(duì)｛f，S｝、｛g，T｝相容.若對(duì)于任意的x，y∈Xρ、k≥1和q∈（0，1），都有

成立，ρ連續(xù)且滿足Δ2條件，則映射f，g，S，T有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

證明由于k≥1，故由引理3有ρ（fx-gy）≤ρ（k（fx-gy）成立.因此結(jié)合（5）式有

成立.從而由定理3可證得.

定理4設(shè)f，g，S，T為完備模空間Xρ上的自映射，且有f（Xρ）?T（Xρ），g（Xρ）?S（Xρ）；映射S，T是連續(xù)的且映射對(duì)｛f，S｝、｛g，T｝相容.若f，g，S，T滿足連續(xù)且滿足Δ2條件，則：

（a）映射f，g，S，T有公共不動(dòng)點(diǎn)p，且序列｛yn｝由（1）式迭代產(chǎn)生且收斂到點(diǎn)p.

證明結(jié)論（a）可由推論1中k取4即可證得.下證結(jié)論（b）：

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The Problems of Common Fixed Point of a Class of Four Mappings in Modular Space and its Stability of the Iterative Procedure

WEI Chao
（School of Appl.Math.，Nanjing University of Finance and Economics，210023，Nanjing，Jiangsu，China）

By using the condition ofΔ2，the existence of a class of four mappings’common fixed point is proved in the modular space.On this basis，we discuss the stability of iterative procedure of the related com?mon fixed points.The results of this paper are new and extended in modular space.

modular space；common fixed point；compatibility

O 177.91

A

2095-0691（2016）03-0028-05

2016-04-27

魏超（1991-），男，江蘇淮安人，碩士生，研究方向：非線性分析及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用.