于瑞瑞，卓澤朋，任明生

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北235000）

布爾函數(shù)的互相關(guān)系數(shù)的一些性質(zhì)

于瑞瑞，卓澤朋，任明生

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北235000）

利用nega相關(guān)系數(shù)的已有結(jié)論，給出布爾函數(shù)的互相關(guān)系數(shù)與其他一些密碼學(xué)性質(zhì)之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，得出了4個布爾函數(shù)的nega互相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系.

布爾函數(shù)；互相關(guān)系數(shù)；nega互相關(guān)系數(shù)

0 引言

為了使全局雪崩準(zhǔn)則（GAC）能達到一個更好的折衷效果，在互相關(guān)系數(shù)的基礎(chǔ)上提出兩個指標(biāo)σf和Δf，因為σf和Δf越小，布爾函數(shù)的GAC性質(zhì)就越好.文獻［1］給出這兩個指標(biāo)的上下界：22n≤σf≤23n，0≤Δf≤2n.文獻［2］給出平衡布爾函數(shù)的σf指標(biāo)下界為：σf≥22n+2n+3.文獻［3］也給出n元布爾函數(shù)f（）x在Fn2的一個子集上滿足擴散準(zhǔn)則時的σf指標(biāo)下界.文獻［4］研究關(guān)于nega-Had? amard變換的一些性質(zhì).

本文首先給出一些布爾函數(shù)的基本概念和符號說明，然后研究關(guān)于互相關(guān)系數(shù)的一些擴展知識.

定義1［5］設(shè)f（）x，g（）x是Βn上的布爾函數(shù)，在a處的互相關(guān)系數(shù).當(dāng)f（）x=g（）x，稱Δf，f（）a為f（）x在a處的自相關(guān)系數(shù)，簡記為Δf（）a.

定義4［2］設(shè)f（x）是Βn上的n元布爾函數(shù)，稱分別為f（x）的平方和指標(biāo)和絕對值指標(biāo).

推論1任一Βn上的n元布爾函數(shù)f（x）是平衡的當(dāng)且僅當(dāng)

引理1［5］設(shè)是Βn上的n元布爾函數(shù)，則

定義5［6］設(shè)是Βn上的n元布爾函數(shù)，記的Fourier變換.此外，與漢明重量之間的關(guān)系為：

定義6設(shè)f（x）是Βn上的n元布爾函數(shù)，若g（x）∈Βn使得f（x） g（x）=0，則稱g（x）為f（x）的一個零化子.記為f（）x的所有零化子構(gòu)成的集合.稱AI（）f=min｛AN（）f， AN（）f⊕1｝為f（）x的代數(shù)免疫度.此外，AI（）f和wt（）f之間的關(guān)系可描述為在此基礎(chǔ)上，可以得到互相關(guān)系數(shù)與代數(shù)免疫度之間的制約關(guān)系為

1 Nega-Hadamard變換和nega互相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

為方便起見，首先介紹一些關(guān)于nega-Hadamard變換的相關(guān)知識.

Βn上的n元布爾函數(shù)f（x）在任意點處的Walsh-Hadamard變換定義為

命題1設(shè)f（x），g（x）是Βn上的n元布爾函數(shù)，則

接下來，從一些特殊情況研究nega互相關(guān)系數(shù)的一些性質(zhì)，其中包括4個布爾函數(shù)的nega互相關(guān)系數(shù).

定理1設(shè)fi（）x∈Βn，i=1，2，3，4，則

證明通過nega互相關(guān)系數(shù)的定義，對于任意u∈Fn2，我們有

證畢.

在定理1中，若f1=f3，f2=f4，則

特別地，若u=0，可得到如下結(jié)論.

推論2設(shè)f1，f2∈Βn，則

注意到（1）式給出了NCf1，f2和NCf1，NCf2之間的關(guān)系.

在定理1中，若f2=f4，則可得

因為

因此（2）式可另寫為

其中uˉ=1⊕u.

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Some Properties of the Cross-correlation Coefficient of Boolean Functions

YU Ruirui，ZHUO Zepeng，REN Mingsheng
（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

Firstly，the relationships between the cross-correlation coefficient and some other cryptographic properties of Boolean functions are presented.On this basis，some known knowledge concerning the negacrosscorrelation coefficient is summarized.Then the link among nega-crosscorrelation coefficient of four Bool?ean functions is given.

Boolean function；cross-correlation coefficient；nega-crosscorrelation coefficient

TN 918.1

A

2095-0691（2016）03-0024-04

2016-04-12

安徽省自然科學(xué)基金資助項目（1608085MF143）；安徽高校省級自然科學(xué)研究重點項目（KJ2014A220）；安徽高校優(yōu)秀青年人才支持計劃重點項目（gxyqZD2016112）

于瑞瑞（1990-），女，河南周口人，碩士生，研究方向：密碼學(xué)；通訊作者：卓澤朋（1978-），男，安徽靈璧人，副教授，研究方向：密碼學(xué).