卜以樓

從借題發(fā)揮到解決問題

卜以樓

一、背景分析

在一次校本課程活動中，筆者根據(jù)“蘇科版”義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》八年級中的兩道原題，設(shè)計了下列問題，供學(xué)生探究。

八年級（上）和八年級（下）的課本中分別有這樣兩道習(xí)題：

（1）如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點A、C、E在同一直線上，試說明AD與BE的關(guān)系，并說明理由。（八上第67頁）

（2）如圖2，四邊形ACDE和CBGF都是正方形，且點A、C、B在同一直線上，試說明AF與BD的關(guān)系，并說明理由。（八下第94頁）

請你根據(jù)上述兩道習(xí)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，借題發(fā)揮，提出一個關(guān)于這兩個問題本質(zhì)的新問題，并給予解答。

圖1

圖2

這是一道開放題，盡管可以從多角度發(fā)現(xiàn)不同的問題，提出不同的問題，但是能夠理解題意，揭示這兩個問題本質(zhì)，從正三邊形（等邊三角形）到正四邊形（正方形）再到正n邊形去探索類似于問題（1）、問題（2）中的兩條線段關(guān)系的學(xué)生卻寥寥無幾。究其原因，是學(xué)生平時對問題的解決只止于習(xí)題本身，自認為只要將提供的習(xí)題做出個正確答案，就算是解決問題了。其實這種“學(xué)答”式解決問題的思維方法，沒有在真正意義上去解決問題。它不能算是一種有效的、高質(zhì)量的思維方式，它缺少對問題的本質(zhì)研究，缺少對問題的多維遷移，只能算是“一題一答”。那么，什么樣的活動才是真正意義上的解決問題呢？筆者認為，在解決一道習(xí)題的過程中，要看清問題的本質(zhì)，并借題發(fā)揮，對問題進行變式與推廣，這樣才能有效地培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，這樣的解題，才能算是一個高質(zhì)量、有品位的活動，這才是一個“高大上”的解題范式。

現(xiàn)在的問題是，如何讓學(xué)生通過借題發(fā)揮來解決問題呢？筆者認為，除了要鞏固在解題教學(xué)中已取得的“從最近聯(lián)想到優(yōu)化思維”“從優(yōu)化思維到借題發(fā)揮”等研究成果外，還要在“從借題發(fā)揮到解決問題”等方面做好文章，在更大層面上挖掘解題教學(xué)的價值。下面就“從借題發(fā)揮到解決問題”這個解題視角，談幾點具體做法。

二、幾點做法

1.借發(fā)揮習(xí)題來解決問題。

借發(fā)揮習(xí)題來解決問題，就是借解決某個問題來做文章，以彰顯這個問題的價值。下面以2010年無錫市中考題為例來說明這個問題。

例1：（1）如圖3，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點。若∠AMN= 90°，求證：AM=MN。

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明。

證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME，如圖4。

在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB= BC。

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB

=180°-∠B-∠AMB

=∠MAB

=∠MAE。

（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖5），N是∠ACP的平分線上一點，則當(dāng)∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由。

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請你作出猜想：

當(dāng)∠AMN=°時，結(jié)論AM=MN仍然成立。（直接寫出答案，不需要證明）

圖3

圖4

圖5

圖6

【簡析】（1）題中提供的方法中，已有∠NMC=∠MAE。

考慮到AE=MC，∴BE=BM，∴∠BEM=∠EMB=45°，則∠AEM=135°。

∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°。

則△AEM≌△MCN，故AM=MN。

（2）只要把問題（1）的證明思路全盤借用過來，那么（2）的結(jié)論AM=MN仍然成立。

為此，在圖6中，可仍在邊AB上截取AE= MC，連接ME，

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°。

∵AE=MC，∴BE=BM，∴∠BEM=∠EMB= 60°，∴∠AEM=120°，

∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°，

∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN。

（3）將問題拓展到正n邊形ABCD…X中，這是一個認識上的飛躍，也是解決問題（1）和（2）的價值之所在。為此，我們還可以利用兩角及其夾邊相等來證明兩個三角形全等，那么就易得

【點評】如果我們只是解決第（1）問或第（2）問，很難發(fā)現(xiàn)這個問題的價值，也很難將該問題推廣到一個正多邊形中去。但是，如果我們在解題過程中，堅持把握問題的價值，堅持厘清問題的本質(zhì)，堅持變式問題的眼光，借發(fā)揮已解決過的習(xí)題來解決更加深入的問題，就一定能揭示出問題的本質(zhì)，就一定會獲得解題的更多精彩。

2.借發(fā)揮方法來解決問題。

借發(fā)揮方法來解決問題，是解題教學(xué)中常見的解題策略，它具有發(fā)揮遷移方法的正向?qū)蚬δ?。下面?015年南京市鼓樓區(qū)一模的一道壓軸題來說明借發(fā)揮方法來解決問題的價值。

例2：【問題提出】

如圖7，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC= 120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四邊形ABCD的面積。

【嘗試解決】

旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題。

（1）如圖8，連接BD，由于AD=CD，所以可將△DCB繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB'，則△BDB'的形狀是。

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求四邊形ABCD的面積。

【類比應(yīng)用】

如圖9，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=2，求四邊形ABCD的面積。

圖7

圖8

圖9

圖10

【簡析】嘗試解決：

（1）借用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易得△BDB'是等邊三角形。

（2）如圖10，∵AD=CD，∴旋轉(zhuǎn)后點A和點C重合。

∵四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BAD+∠BCD= 360°-180°=180°。

由旋轉(zhuǎn)得：∠BCD=∠B'AD，

∴∠BAD+∠DAB'=180°，即B、A、B'在同一條直線上。BB'=AB+AB'=AB+ BC=3，∴等邊△BDB'的邊長為3，

過B'作等邊△BDB'的高B'E，∵∠ABD=

類比應(yīng)用：

由于本問題與“嘗試解決”有異曲同工之處，所以仍可連接BD，由于AD=CD，可將△BCD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB'，則△BDB'是一個等邊三角形。（具體過程略）

不過，連接DB后，我們也可將△DAB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△DCB'，如圖11。

由旋轉(zhuǎn)同（1）可得：CB'=AB=2，△BDB'是等邊三角形。

∵四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=360°-（60°+75°），∠BAD=∠B'CD。

∴∠B'CB=360°-［360°-（60°+75°）］=135°。正因為∠B'CB=135°，才使問題出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機，此時，我們可以根據(jù)135°角構(gòu)造一個銳角為45°的直角三角形，使問題解決看到了希望。因此，可過B作BE⊥CB'，∴∠BCE=180°-135°=45°。

∵BC=2，∴BE=CE=BC·sin45°=1。

∵Rt△BEB'中，∠E=90°，BE=1，B'E=3，

∵S四邊形ABCD=S△BDB'-S△BCB'，

∴S四邊形ABCD=

【點評】本題充分展示了旋轉(zhuǎn)變換這一解題方法在解題中的價值。在“嘗試解決”這個環(huán)節(jié)中，由于條件的特殊性，旋轉(zhuǎn)后B、A、B'三點在同一條直線上，為解決問題提供了有利的方法。到“類比應(yīng)用”這個環(huán)節(jié)中，旋轉(zhuǎn)后B、A、B'三點不在同一條直線上，這對解決問題增加了難度。但是在旋轉(zhuǎn)后，發(fā)現(xiàn)∠B'CB=135°，這又為解決問題提供了轉(zhuǎn)機。如果在一個結(jié)構(gòu)里研究這個問題的話，不難發(fā)現(xiàn)，無論旋轉(zhuǎn)后B、A、B'三點是否在一條直線上，∠B'CB的度數(shù)必須是一個特殊角，我們才能不用三角函數(shù)表或不用計算器有效地解決問題。如果不是特殊角，那么就必須借助三角函數(shù)表或計算器或再提供一些所需要的三角函數(shù)值，才能順利地解決問題。在這個過程中，我們可以清楚地看到借發(fā)揮方法來解決問題的魅力所在。

圖11

3.借發(fā)揮本質(zhì)來解決問題。

數(shù)學(xué)本質(zhì)是高觀點下的數(shù)學(xué)屬性，它是對數(shù)學(xué)概念的精準(zhǔn)把握，是對定理法則的高度詮釋，是對思想方法的哲學(xué)定位。因此，借發(fā)揮本質(zhì)來解決問題，是數(shù)學(xué)解題的最高境界。下面以南京市高淳區(qū)的一道初二期末試題來說明這個道理。

例3：已知點M、N分別是正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上的點，連接AM、AN、MN，∠MAN=135°。

圖12

（1）如圖12，若BM=DN，求證：MN=BM+ DN。

（2）如圖13，若BM≠DN，試判斷（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由。

【簡析】（1）解決“MN=BM+DN”這類問題，學(xué)生憑經(jīng)驗不外乎是用“截長補短”法。因此，有一部分學(xué)生會采用下列方法來解決問題（1）。

作AE⊥MN，垂足為E，如圖14，這樣就把線段MN截成EN和NM兩個部分，此時可用“截長法”來解決問題。

由四邊形ABCD是正方形得，AD=AB，BC= CD，∠ADC=∠ABC=90°，

則∠ADN=∠ABM=90°。

在△ADN與△ABM中，由于AD=AB，∠ADN=∠ABM=90°，DN=BM，

∴△ADN≌△ABM，則AN=AM，ND=MB。

又∠MAN=135°，AN=AM，

∴∠ENA=∠EMA，

又BC=CD，ND=MB，則∠NCM=90°，

∴∠CNM=∠CMN=45°，而∠ENA=∠EMA= 22.5°，

∴∠ENA=∠EMA=∠BMA=∠DNA=22.5°，

則△ENA≌△EMA≌△BMA≌△DNA。

∴DN=BM=EN=EM。

∴MN=EN+EM=BM+DN。

這種方法是基于△ADN≌△ABM形成了“∠ENA=∠EMA=∠BMA=∠DNA=22.5°”這樣一個特殊的數(shù)量關(guān)系而得到問題（1）結(jié)論的。

如果將這種方法遷移到問題（2）中去就很難奏效了。原因何在？是因為問題（1）的證明方法沒有揭示出問題本質(zhì)，它只是一個“技巧”而已。這個技巧就是能夠得到△ENA≌△EMA≌△BMA≌△DNA。當(dāng)BM≠DN時，△ENA、△EMA、△BMA、△DNA這幾個三角形就不全等了，所以問題（1）的方法不靈了。那么，這道題的數(shù)學(xué)本質(zhì)在哪兒？既然用“截長”揭示不出問題的本質(zhì)，那么就用“補短”的方法試試。延長BC到點P，使BP=DN，連接AP，如圖15。通過證△ABP≌△ADN、△ANM≌△APM解決問題。具體證法如下：

（2）若BM≠DN，（1）中的結(jié)論仍成立，理由如下：

在如圖15中，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，

∴∠ADN=90°。

在△ABP與△ADN中，∵AB=AD，∠ABP=∠ADN，BP=DN，

∴△ABP≌△ADN，

∴AP=AN，∠BAP=∠DAN。

∵∠MAN=135°，

∴∠MAP=∠MAB+∠BAP=∠MAB+∠DAN= 360°-∠MAN-∠BAD=360°-135°-90°=135°，

∴∠MAN=∠MAP。

在△ANM與△APM中，∵AN=AP，∠MAN=∠MAP，AM=AM，

∴△ANM≌△APM，

∴MN=MP。

∵MP=BM+BP=BM+DN，

∴MN=BM+DN。

圖14

圖15

【點評】解題教學(xué)關(guān)注的要點固然很多，在這里要強調(diào)的是，根據(jù)題意尋求數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的解法不能少。就本題而言，解決問題（1）的方法雖然能讓學(xué)生得到一定的“考試分數(shù)”，但用它去解決問題（2）就不行了，那是因為它缺少邏輯連貫的本質(zhì)，為此有必要尋找出揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法來解決問題（2）。在學(xué)生得到本質(zhì)解法后，再讓學(xué)生回過頭來用解決問題（2）的方法去解決問題（1），學(xué)生必然會在這個思維過程中，體會到本問題中數(shù)學(xué)本質(zhì)的恢弘氣勢，這也為學(xué)生在以后的解題中，探究問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)提供了動力傾向。

三、教學(xué)思考

解題教學(xué)有一種傾向，就是選擇的習(xí)題，總喜歡在“大題”“難題”“量多”上做文章，認為這樣才能有效訓(xùn)練學(xué)生的思維，才能使學(xué)生經(jīng)得起任何形式的考驗。其實不然，從上面分析可以看出，習(xí)題教學(xué)還要兼顧“借題發(fā)揮來解決問題”。因此，在習(xí)題教學(xué)中，筆者認為還要把握好下面三個要點。

1.題不在大，有魂則靈。

習(xí)題教學(xué)中選擇的題，不一定要是“大題”，但要選擇那些能夠讓數(shù)學(xué)思想方法貫串在其中的經(jīng)典習(xí)題，供學(xué)生探究。就是說，一要選擇解法自然的問題，讓學(xué)生自然地想到解題方法，這種方法不是教師強加給學(xué)生的方法，而是學(xué)生的“思維必然”，是學(xué)生根據(jù)題目中的條件自然產(chǎn)生的解題方法，并且這種方法還能遷移到類似的問題中去，讓學(xué)生解一題，懂一法，會一類。即使是新的解題方法，那么這種方法，一定要有較強的遷移性和廣泛的適用性。二要選擇能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，讓學(xué)生在解題過程中，看清數(shù)學(xué)的本來面貌，自然地結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識，這樣學(xué)生就有舉重若輕的感覺。上面說的兩點，事實上就是“題魂”，因此，有“題不在大，有魂則靈”一說。

2.題不在多，有法才行。

如何控制習(xí)題教學(xué)中的題量，是習(xí)題教學(xué)的又一個值得研究的問題。解題的價值不在題量的多少，而在于解題方法的形成和解題方法本身的價值。

合適的解題方法，源于對數(shù)學(xué)概念的理解、對法則定理的運用、對已有解題方法的遷移的靈活度和對題目中條件與結(jié)論關(guān)聯(lián)的靈敏度。解題方法本身的價值，源于本方法的應(yīng)用性和遷移性，最好能形成在某些條件下的“通性通法”。對于一些特殊的解題技巧，教學(xué)中要有機提煉，不可盲目追求。要注意技巧要在通性通法上形成，讓學(xué)生首先“想得到”，其次是“想得妙”。如例3中的解題方法，既可以是一種通法，也可算是一種技巧，學(xué)生在解決例3的過程中，才會感受到通法與技巧的關(guān)系，才能再次積累一些解題經(jīng)驗。

3.題不在難，有為就可。

同樣，習(xí)題教學(xué)中還有一個難度控制的問題值得重視和研究。解決這個問題關(guān)鍵要在“為”字上去把握和選擇?！盀椤本褪墙鉀Q問題的作為，這個作為就是數(shù)學(xué)內(nèi)在的本質(zhì)，在解題教學(xué)中揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，就是解題活動的根本目的。如果解題教學(xué)只是簡單地追求問題的結(jié)果，不去追求思維的價值，必然會淡化解題教學(xué)的價值。如例3中第（1）問的解答，在某種程度上也能得到問題的答案，但那只是一個答案而已，如果變換一下“馬夾”，就不知所然了，原因就是解答過程沒有揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。

提出“從借題發(fā)揮到解決問題”的教學(xué)主張，就是想從提供的問題中尋找到攻破問題的鑰匙，這個鑰匙就是數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生能自覺地用這個數(shù)學(xué)本質(zhì)去真正地解決問題。

（作者為江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，正高級中學(xué)教師，現(xiàn)任教于江蘇省南京市寧海中學(xué)分校）