高　冉， 程?hào)|旭

(中原工學(xué)院， 鄭州 450007)

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基于非局部正則化的乘性噪聲去除模型及Split-Bregman算法

高冉， 程?hào)|旭

(中原工學(xué)院， 鄭州 450007)

針對(duì)全變分去噪模型會(huì)模糊圖像邊緣和紋理部分的問(wèn)題，提出一種改進(jìn)的去除乘性噪聲的非局部正則化模型,并利用Split-Bregman算法進(jìn)行求解。對(duì)觀測(cè)圖像取對(duì)數(shù)變換，將乘性噪聲轉(zhuǎn)化為加性噪聲,利用全變分思想，以非局部TV范數(shù)作為正則項(xiàng)，通過(guò)圖像區(qū)域與區(qū)域的灰度相似性來(lái)確定權(quán)重系數(shù)，進(jìn)而更好地保持圖像的紋理結(jié)構(gòu)；在模型中加入緊湊項(xiàng)來(lái)保證去噪圖像的緊湊性。對(duì)模型求解并進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：改進(jìn)的去除乘性噪聲的非局部正則化模型能夠去除圖像噪聲且較好地保持其紋理部分。

全變差；非局部正則化；乘性噪聲；分裂算法

圖像去噪是圖像處理的研究熱點(diǎn)之一，去噪的效果直接影響后續(xù)的圖像理解與分析過(guò)程。圖像噪聲可分為加性噪聲和乘性噪聲。無(wú)論是加性噪聲還是乘性噪聲，在去除噪聲時(shí)都需要很好地保護(hù)圖像的細(xì)節(jié)特征，如圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)[1]。Rudin L等將去除加性噪聲的ROF模型[2]應(yīng)用于乘性噪聲的去除，提出了RLO模型[3]。學(xué)者提出的各種改進(jìn)模型，如AA模型[4]、Log-TV模型[5]、JY模型[6]、HNW模型[7]等，去噪效果均很好，但仍不能很好地保護(hù)圖像的邊緣和紋理。利用非局部正則化模型[8-9]去噪，依據(jù)圖像中出現(xiàn)周期性樣式和存在冗余信息的特點(diǎn)，借助圖像片與片的灰度相似性來(lái)決定模型的光滑程度，能夠保持圖像的紋理結(jié)構(gòu)，是一種有效的去噪方法。

本文提出一種基于非局部正則化的乘性噪聲去除模型及其Split-Bregman算法(NLSB)，首先推導(dǎo)Split-Bregman算法，然后對(duì)該模型進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)并與Log-TV模型對(duì)比，最后用實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明該模型的去噪效果及其對(duì)圖像紋理結(jié)構(gòu)的影響。

1　非局部模型

1.1非局部模型的相關(guān)概念

設(shè)Ω是R2上的一個(gè)有界開(kāi)集；u:Ω→R表示Ω到R上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，記作u(x)或u(y)；ω:Ω×Ω→R是一個(gè)非負(fù)有界的權(quán)重函數(shù)，并且關(guān)于x、y對(duì)稱(chēng)。則u(x)對(duì)應(yīng)的非局部梯度可定義如下：

(1)

其中，ω(x,y)與以像素點(diǎn)x和y為中心的圖像鄰域中灰度值有關(guān)：

其中：Gσ是以σ為標(biāo)準(zhǔn)差的高斯函數(shù)；h是一個(gè)濾波參數(shù)；t是一個(gè)增量。

定義非局部向量v1,v2:Ω×Ω→R在點(diǎn)x∈Ω處的內(nèi)積為：

(x)=∫Ωv1(x,y)v2(x,y)dy:Ω→R

(2)

由此可求得非局部向量v在點(diǎn)x∈Ω處的范數(shù)：

所以，實(shí)值函數(shù)u(x)在點(diǎn)x∈Ω處的非局部梯度范數(shù)可定義為：

|NLu|

(3)

另外，可推導(dǎo)出非局部梯度算子和散度算子的伴隨關(guān)系：

(4)

式(4)的推導(dǎo)過(guò)程如下：

定義非局部向量v的非局部散度如下：

(5)

定義非局部拉普拉斯算子如下：

(6)

非局部拉普拉斯算子與梯度算子的關(guān)系如下：

<ΔNLu,u>=

<ΔNLu,u>=-

1.2非局部正則化模型的提出

考慮如下乘性噪聲模型：

f=uη

(7)

式中：f、u、η分別表示觀測(cè)圖像、待恢復(fù)圖像以及噪聲。

對(duì)式(7)兩邊取對(duì)數(shù)變換，得到：

logf=logu+logη

這樣就把乘性噪聲模型轉(zhuǎn)化成了加性噪聲模型。

引入新的變量，令z0=logf，z=logu,結(jié)合去除加性噪聲的全變差模型(ROF模型)思想，把非局部TV范數(shù)作為正則項(xiàng)，可提出如下去除乘性噪聲的非局部正則化模型：

(8)

式中：第一項(xiàng)是正則項(xiàng)；第二項(xiàng)是保真項(xiàng)；第三項(xiàng)是緊湊項(xiàng)，使去噪后的圖像更緊湊；α、β為平衡參數(shù)。

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)時(shí)，非局部TV范數(shù)的計(jì)算比較復(fù)雜，如果使用梯度下降流方法求解，受穩(wěn)定性條件限制，迭代時(shí)間步長(zhǎng)需要足夠小，這樣計(jì)算時(shí)間將會(huì)很長(zhǎng)。 因此，本文使用一種高效的Split-Bregman迭代算法，從而加快計(jì)算速度。

2　非局部正則化模型的Split-Bregman求解

首先，引入一個(gè)輔助變量d來(lái)代替非局部梯度NLz，則式(8)變?yōu)椋?/p>

將上述帶約束的極小值問(wèn)題用二次懲罰的方法變?yōu)槿缦聼o(wú)約束問(wèn)題：

然后，再用Bregman迭代算法求解上述泛函的極小問(wèn)題，產(chǎn)生所謂的分裂Bregman迭代：

(9)

bk+1=bk+NLzk+1-dk+1

(10)

上述泛函E(d，z)是凸的，式(9)可以分別關(guān)于d和z通過(guò)交替迭代得到的兩個(gè)子問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算：

為了得到更穩(wěn)定的解，對(duì)上述d和z的兩個(gè)子問(wèn)題分別加入一個(gè)最接近解的保真項(xiàng)，得：

(11)

(12)

其中：k為迭代次數(shù)；μ1、μ2≥0;γ是平衡參數(shù)。

對(duì)式(11)變分求導(dǎo)得到的優(yōu)化條件為：

(zk+1-z0)+βzk+1+γTNL(NLzk+1-dk+bk)+μ1(zk+1-zk)=0

整理得：

(1+β+μ1+γΔNL)zk+1=

z0+γdivNL(bk-dk)+μ1zk

令M=1+β+μ1-γΔNL，N=z0+γdivNL(bk-dk)+μ1zk，則式(11)的解可通過(guò)迭代式(13)得到。

zk+1=M-1N

(13)

對(duì)于能量泛函式(12)，可用收縮算子來(lái)求解。

定理:滿(mǎn)足形式

(14)

的能量泛函的解為:

(15)

其中:b∈RN;λ>0，為平衡參數(shù);shrink(b,λ)為收縮算子。

證明:(1) 當(dāng)u≠0時(shí)，對(duì)泛函式(14)求導(dǎo)，有：

該式兩端同時(shí)乘以‖u‖2，可得：

λ+‖u‖2=‖b‖2

即

‖u‖2=‖b‖2-λ，‖b‖2>λ

求解可得：

(2)當(dāng)u=0時(shí)，用次導(dǎo)數(shù)對(duì)式(14)求導(dǎo)，有：

λg+u-b=0,g∈RN,‖g‖2≤1

即λg=b。對(duì)該式兩邊取范數(shù)，有‖b‖2=λ‖g‖2，從而‖b‖2≤λ,u*=0。

根據(jù)上述定理可推導(dǎo)出能量泛函式(12)的解：

(16)

綜上所述，最小值問(wèn)題式(8)的求解可通過(guò)如下迭代：

求解非局部正則化模型的Split-Bregman迭代算法如下：

初始化：z0=z0，d0=0,b0=0,ε=10-3

迭代：While‖zk+1-zk‖2/‖zk+1‖2>ε

結(jié)束。

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，將本文提出的NLSB模型和Log-TV模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作比較(見(jiàn)圖1和圖2)。實(shí)驗(yàn)對(duì)象“barbara”圖像(見(jiàn)圖1a)和“boat”圖像(見(jiàn)圖2a)，含有豐富的紋理和邊緣特征，可以更好地驗(yàn)證本文新提出模型的有效性。在仿真實(shí)驗(yàn)中，取參數(shù)μ1=1，μ2=2。該實(shí)驗(yàn)在Matlab環(huán)境下進(jìn)行，當(dāng)‖zk+1-zk‖2/‖zk+1‖2<10-3時(shí)，迭代終止。另外，可分別采用峰值信噪比(PSNR)、信噪比(SNR)和均方誤差(MSE)來(lái)評(píng)價(jià)圖像的去噪效果。

其中：z0(m,n)表示觀察圖像，大小為M×N；z(m,n)是去噪后的圖像[8]。PSNR、SNR越大，MSE越小,則去噪效果越好。

圖1d和圖2d為本文NLSB模型的去噪效果圖。實(shí)驗(yàn)中搜索窗口的大小為11×11，相似塊鄰域?yàn)?×5，平衡參數(shù)為：α=0.05，β=0.02,γ=6。

(a)原始圖像

(b)加入均值為1的Gamma噪聲的含噪圖像

(c)Log-TV模型去噪圖像

(d) NLSB模型去噪圖像

圖1“barbara”原始圖像、含噪圖像以及兩種算法的去噪圖像

(a)原始圖像

(b)加入均值為1的Gamma噪聲的含噪圖像

(c)Log-TV模型去噪圖像

(d)NLSB模型去噪圖像

從圖1c和圖2c不難發(fā)現(xiàn)，Log-TV模型的去噪結(jié)果會(huì)模糊邊緣紋理特征，在平坦區(qū)域(“barbara”的臉部)產(chǎn)生明顯的“階梯效應(yīng)”。從圖1d可以看出，“barbara”的頭巾上紋理細(xì)節(jié)保持較好，且在“barbara”的臉部能夠較好地抑制“階梯效應(yīng)”的產(chǎn)生。在圖2中，比較“boat”圖像的去噪效果可知，圖2d的去噪效果明顯優(yōu)于圖2c的去噪效果，可見(jiàn)本文新提出模型能更有效地保護(hù)邊緣和紋理等特征。另外，比較表1中兩種去噪模型的PSNR、SNR和MSE的大小可知，本文新提出模型具有較大的PSNR、SNR數(shù)據(jù)和較小的MSE數(shù)據(jù)，進(jìn)一步驗(yàn)證了該模型的有效性。

表1　去噪圖像的PSNR、SNR和MSE數(shù)據(jù)

4　結(jié)　語(yǔ)

以非局部TV模型 (NLTV)作為正則項(xiàng)，提出一種新的去除乘性噪聲模型，并利用Split-Bregman算法對(duì)模型進(jìn)行求解。在仿真實(shí)驗(yàn)中，選用Log-TV模型和本文提出的NLSB模型對(duì)“barbara”圖像和“boat”圖像的去噪效果進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文模型具有較好的圖像去噪效果，能夠保持圖像的紋理特征。

[1]孔德興, 陳韻梅, 董芳芳，等. 醫(yī)學(xué)圖像處理中的數(shù)學(xué)理論與方法[M]. 北京：科學(xué)出版社, 2014．

[2]Rudin L, Osher S, Faterni E. Nonlinear Total Variation Based Noise Removal Algorithms[J]. Physica D, 1992, 60(1-4): 259-268.

[3]Rudin L, Lions P L, Osher S. Multiplicative Denoising and Debulurring: Theory and Algorithms.Geometric Level Set Methods in Imaging, Vision and Graphics[M].NewYork: Springer, 2003: 103-119.

[4]Aubert G, Aujol J. A Variational Approach to Removing Multiplicative Noise[J].SIAM Journal on Applied Mathematics, 2008, 68(4): 925-946.

[5]Shi J, Osher S. A Nonlinear Inverse Scale Space Method for a Convex Multiplicatuve Noise Model[J]. SIAM Journal on Imaging Sciences, 2008, 1(3): 294-321.

[6]Jin Z M, Yang X P. Analysis of a New Variation Model for Multiplicative Noise Removal[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2010, 362(2): 415-426.

[7]Huang Y M, Ng M K, Wen Y W.A New Total Variation Method for Multiplicative Noise Removal[J].SIAM Journal on Imaging Sciences, 2009, 2(1): 20-40.

[8]Coupe P, Hellier P, Kervrann C, et al. Nonlocal Means-Based Speckle Filtering for Ultrasound Images[J]. IEEE Trans.Image Process, 2009,18(10):2221-2229.

[9]Dong F, Zhang H, Kong D-X. Nonlocal Total Variation Models for Multiplicative Noise Removal Using Split Bregman Iteration[J]. Mathematical and Computer Modelling，2012,55(3-4):939-954.

(責(zé)任編輯：王長(zhǎng)通)

A Multiplicative Noise Removal Model Based on Nonlocal Regularization and Split-Bregman Algorithm

GAO Ran， CHENG Dong-xu

(Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou 450007, China)

The denoising model based on the total variation method makes edge and texture of images blur. In order to avoid these problems, a modified nonlocal regularization model that can remove multiplicative noises is proposed and solved using the Split-Bregman algorithm. In this model, a multiplicative noise is converted to an additive noise by adopting a logarithm transformation for images observed. What’s more, combining with the total variation method, a nonlocal TV-norm regularization term is applied. In addition, weight coefficients are determined by the gray similarity among regions of images. Finally, to assure compactness of images, the compact term is added to the model. In this study, a series of experiments are conducted on some datasets. The experimental results demonstrate that the proposed model can remove noise and also keep the texture information of images.

total variation; nonlocal regularizing; multiplicative noise; split algorithm

2016-02-18

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11326191，11401605)；河南省科技廳基礎(chǔ)與前沿研究項(xiàng)目(142300410354,152300410226,152300410227)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(13A110117，13A110119，15A110045)；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(17A110036)

高冉(1982-)，女,河南南陽(yáng)人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)槠⒎址匠虉D像處理。

1671-6906(2016)04-0018-05

TP391.1

A

10.3969/j.issn.1671-6906.2016.04.004