王東云， 殷昌海

(中原工學院， 鄭州 450007)

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基于算子理論的機械臂PI跟蹤控制研究

王東云， 殷昌海

(中原工學院， 鄭州 450007)

對機械臂的跟蹤控制問題進行了研究。在算子理論的基礎(chǔ)上，設計了算子觀測器，減小了機械臂的不確定性對系統(tǒng)控制性能的影響。在此基礎(chǔ)上，設計了跟蹤控制器，確保了系統(tǒng)的跟蹤性能。通過對機械臂跟蹤軌跡和跟蹤誤差進行仿真證明，采用以上方法明顯縮小了跟蹤誤差，跟蹤性能優(yōu)良。

算子理論；跟蹤控制；不確定性；機械臂；跟蹤誤差

隨著現(xiàn)代工業(yè)的不斷發(fā)展、控制方法的不斷完善，相應的控制對象也在不斷變化。機械臂在工業(yè)控制中的應用最為廣泛，因此有必要對機械臂的各項性質(zhì)進行系統(tǒng)的研究。目前能夠控制機械臂的方法有多種，其中最簡單、應用最廣泛的當屬PID控制。PID控制的優(yōu)點是控制規(guī)律簡單，易于實現(xiàn)，缺點是不能夠取得最好的控制效果。為了能夠提高控制性能，一些新的控制方法相繼提出，如最優(yōu)控制[1-4]、學習控制[5-7]、自適應控制[8-10]、滑?？刂芠11-12]等。最優(yōu)控制需要精確的模型，但是，機械臂是一個高度非線性的復雜系統(tǒng)，難以獲得其精確模型。由于狀態(tài)和控制動作空間的組合爆炸問題，基于強化學習算法的學習控制理論也難以實現(xiàn)?；？刂浦械亩墩鹑菀自斐蓹C械磨損，甚至能夠激勵未建模的高頻動態(tài)響應，使控制失效。

機械臂是一個高耦合的非線性系統(tǒng)，對于不確定性的干擾十分敏感。因此，為了獲得好的跟蹤控制效果，必須減小不確定性對系統(tǒng)控制性能的影響。針對這一問題，本文首先通過對系統(tǒng)進行魯棒右互質(zhì)分解，以保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上，通過設計算子觀測器來減小系統(tǒng)的不確定性。通過設計PI跟蹤控制器來確保系統(tǒng)的跟蹤性能。最后以兩自由度機械臂為研究對象，通過仿真來驗證本文所提方法的有效性。

1　算子理論和魯棒右互質(zhì)分解

算子的本質(zhì)是函數(shù)，是從輸入空間到輸出空間的映射。算子Q：X→Y，X和Y分別為輸入空間和輸出空間，其穩(wěn)定的子空間分別為Xs{x∈X:‖x‖<∞}和Ys={y∈Y:‖y‖<∞}。通常，如果Q(Xs)?Ys，那么Q是有界輸入輸出(BIBO)穩(wěn)定。

定義1：S(X,Y)為從X映射到Y(jié)的穩(wěn)定算子集合，S(X,Y)包含一個子集：

u(X,Y)={M:M∈S(X,Y)}

(1)

如果M可逆，并且M-1∈S(X,Y)，那么稱u(X,Y)中的元素為單模(Unimodular)算子。

定義2：Xe和Ye為兩個擴展的線性空間，X和Y為定義在可測函數(shù)上的巴拿赫(Banach)空間，D為Xe的子集。如果存在一個常數(shù)L，使得

(2)

本文所提到的算子均為廣義的利普西茨算子，其范數(shù)定義為：

(3)

AN+BD=M

(4)

其中,B是可逆的，M∈u(W,U)，則稱P有一個右互質(zhì)分解。

在式(4)條件下，如果系統(tǒng)滿足：

(5)

圖1　含有不確定性的非線性反饋控制系統(tǒng)

(6)

其中，Ni、ΔNi都是穩(wěn)定的，Di穩(wěn)定且可逆，ΔN未知而其上下界已知。

圖2　含有不確定性的MIMO非線性反饋控制系統(tǒng)

對于含有不確定性的多輸入多輸出系統(tǒng)，如果其標稱對象滿足AiNi+BiDi=Mi∈u(W,U)，實際對象滿足Ai(Ni+ΔNi)+BiDi=Mi∈u(W,U)，且‖[Ai(Ni+ΔNi)-AiNi]M-1‖<1,i=1,2,…,n，那么該多輸入多輸出系統(tǒng)具有魯棒性。應該注意的是，不能忽略其初始狀態(tài)，也就是應滿足AN(ω0,t0)+BD(ω0,t0)=M(ω0,t0)。本文選取t0=0,ω0=0。

2　機械臂動力學模型

兩自由度剛性機械臂的動力學模型可以用以下二階微分方程來表示，其結(jié)構(gòu)如圖3所示。

(7)

(8)

(9)

(10)

Z2=m2l1lg2

(11)

(12)

式中：m1為連桿1的質(zhì)量，m2為連桿2的質(zhì)量；lg1為關(guān)節(jié)1到連桿1質(zhì)心之間的距離，lg2為關(guān)節(jié)2到連桿2質(zhì)心之間的距離；I1為連桿1的轉(zhuǎn)動慣量,I2為連桿2的轉(zhuǎn)動慣量；l1為連桿1的長度,l2為連桿2的長度；Z1、Z2、Z3分別為機械臂的結(jié)構(gòu)特征參數(shù)。

圖3　兩自由度剛性機械臂結(jié)構(gòu)圖

機械臂是一個含有不確定性的非線性系統(tǒng)?；谟曳纸獾母拍?，可以將機械臂的動力學模型分解為P=ND-1的形式，其中N和D分別為：

Ni(θi)(t)=θi(t)

(13)

(14)

其中，Ni和Di都是穩(wěn)定的，并且Di可逆。

上述通過右分解得到的Ni和Di都是基于標稱模型的，但在實際情形中，除了結(jié)構(gòu)參數(shù)Z1、Z2、Z3存在測量誤差之外，還存在外界的擾動。本文將模型的誤差和外界的擾動都歸入到不確定性之中。因此，針對機械臂中的不確定性給機械臂控制系統(tǒng)帶來不利影響這一問題，本文設計了一種基于算子觀測器的跟蹤反饋控制系統(tǒng)，以減小不確定性對系統(tǒng)控制性能的影響。

3　跟蹤反饋控制系統(tǒng)設計

在機械臂實際控制應用中，由于不確定性的影響，機械臂難以有很好的控制性能。針對這一問題，本文首先設計了含有算子觀測器的反饋控制系統(tǒng)(如圖4所示)來減小未知干擾，然后在此基礎(chǔ)上通過設計PI跟蹤控制器來保證系統(tǒng)的跟蹤性能。

圖4　含有算子觀測器的控制框圖

根據(jù)圖4可以得出：

中小企業(yè)管理者大多數(shù)專業(yè)素質(zhì)較低，只局限于眼前利益，不理解內(nèi)部控制及風險評估的基本含義及作用，在國家發(fā)布并試行內(nèi)部控制的要求時，由于內(nèi)部控制的定義并不明確，大多管理者將內(nèi)部控制與企業(yè)管理制度規(guī)范混為一談，控制風險的意識較薄弱，因此企業(yè)內(nèi)部不存在完善的風險評估體系。

e*(t)=u*(t)-S(N+ΔN)(ω)(t)+SN(ω0)(t)=RD(ω0)(t)

(15)

整理式(15)，可以得到

u*(t)=S(N+ΔN)(ω)(t)-(RD-SN)(ω0)(t)

(16)

根據(jù)式(16)可以得到圖4的等效框圖，如圖5所示。

圖5　圖4的等效圖

由圖5可以得到下式：

u*(t)-S(y)(t)+SND-1(u)(t)=R(u)(t)

(17)

在式(15)的基礎(chǔ)上，若滿足下面的條件

SP=R=I

(18)

那么就可以得到:

u*(t)=S(y)(t)-SP(u)(t)+R(u)(t)=

P-1(y)(t)-I(u)(t)+I(u)(t)=

P-1(y)(t)

(19)

由圖5可知，y=P*(u*(t)),因此有P=P*。

通過算子觀測器補償系統(tǒng)的不確定性ΔP后，則系統(tǒng)的跟蹤反饋控制框圖可按圖6所示設計。

圖6　系統(tǒng)的跟蹤反饋控制框圖

由于系統(tǒng)滿足Bezout判別式AN+BD=M∈u(w,u)，所以圖6可以等效為圖7的形式。

圖7　圖6的等效圖

由圖7可知，若要保證系統(tǒng)的跟蹤性能，只需滿足CM-1N=I即可。

所設計的控制器A和B分別為：

(20)

Bi(τi)(t)=βiτi(t),i=1,2

(21)

其中，βi為設計參數(shù)。

結(jié)合式(20)、式(21)和前面所設計出的P的右分解算子Ni(式(13))和Di(式(14))可知：

Mi=AiNi+BiDi=ωi(t)∈u(W,U),i=1,2

(22)

Mi為單模算子，也就是Ai、Bi、Ni、Di滿足Bezout判別式。

所設計的PI跟蹤控制器為：

(23)

其中:

(24)

(25)

比例系數(shù)kα i、積分系數(shù)kβ i均為設計參數(shù)。在仿真時，只需滿足kα i>0,kβ i>0，i=1,2，就能夠達到比較好的控制效果。

4　仿真結(jié)果

圖8　端點位置跟蹤結(jié)果

圖9　端點誤差跟蹤結(jié)果

從圖8可以看出，仿真軌跡能夠很好地跟蹤參考軌跡。這說明所設計的跟蹤控制器是有效的。從圖9可以看出，跟蹤誤差波動較小。這說明系統(tǒng)的跟蹤性能優(yōu)良。

5　結(jié)　語

針對機械臂在實際應用中存在的不確定性問題，本文在算子理論的基礎(chǔ)上設計了算子觀測器，減小了不確定性對系統(tǒng)控制性能的影響。對兩自由度機械臂的跟蹤軌跡和跟蹤誤差的仿真結(jié)果證明，采用本文所提出的方法明顯縮小了跟蹤誤差，跟蹤性能優(yōu)良。

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(責任編輯：張同學)

Operator-based PI Tracking Control for Robotic Manipulator

WANG Dong-yun， YIN Chang-hai

(Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou 450007， China)

In this paper, the tracking control problem of robotic manipulator is investigated. Firstly, based on operator theory, operator observer is designed to compensate the uncertainty of robotic manipulator. Secondly, based on this, tracking performance of the system is guaranteed by designing tracking controller. Finally, the tracking trajectory and tracking error of robotic manipulator are simulated, the results show that the proposed approach can significantly reduce tracking error and achieve better performance.

operator theory; tracking control; uncertainties; robotic manipulator; tracking error

2016—05—24

河南省高等學校重點科研項目(15A120003)

王東云(1964—)，男，湖南常德人，教授，博士，主要研究方向為智能設計與智能控制及計算機控制系統(tǒng)。

1671-6906(2016)04-0013-05

TP182

A

10.3969/j.issn.1671-6906.2016.04.003