趙挺

（蚌埠醫(yī)學(xué)院　數(shù)理教研室，安徽　蚌埠　233030）

分段線性擬合法在普朗克常量測定中的應(yīng)用——基于Excel軟件分析

趙挺

（蚌埠醫(yī)學(xué)院數(shù)理教研室，安徽蚌埠233030）

本文通過Excel軟件，利用分段線性擬合法測定普朗克常數(shù)，回避了復(fù)雜的編程，數(shù)據(jù)處理過程更為簡便，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和利用軟件處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力.

Excel軟件；普朗克常數(shù)；光電效應(yīng)

引言

光電效應(yīng)法測量普朗克常數(shù)，是常見的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，其在驗(yàn)證愛因斯坦光電方程的同時(shí)，也加深了學(xué)生對光的波粒二象性以及量子理論的認(rèn)識.相對于常見的“交點(diǎn)法”和“拐點(diǎn)法”［1］等，分段擬合法雖具有較小的誤差，但需要一定的編程能力［2］［3］，對于沒有基礎(chǔ)的同學(xué)存在一定難度.Excel2010［4］作為一款大學(xué)生常用的數(shù)據(jù)管理分析軟件，具有數(shù)值計(jì)算、統(tǒng)計(jì)、查詢等諸多功能.特別是其提供的完備的函數(shù)庫，可以滿足各種復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理要求.本文利用Excel2010軟件，結(jié)合分段線性擬合法測定普朗克常數(shù)，過程更加快捷，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，以及利用軟件處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力.

1　實(shí)驗(yàn)原理

用光電效應(yīng)法測量普朗克常數(shù)的關(guān)鍵，是準(zhǔn)確測量不同波長入射光對應(yīng)的遏制電壓Ug.由于存在陽極電流、暗電流以及本底電流，故實(shí)際I～U曲線較陰極電流曲線有所下移（圖1）.因此，當(dāng)實(shí)測光電流為零時(shí)（圖1中A點(diǎn)），陰極光電流并不為零.對于陽極電流較小，并且在遏制電壓附近陽極電流上升很快的光電管，A點(diǎn)很接近Ug，故可以選擇A點(diǎn)作為Ug，這種方法稱為“交點(diǎn)法”.觀察電流曲線，可以看到一個(gè)電流剛剛達(dá)到飽和時(shí)的拐點(diǎn)B，對于反向電流很容易飽和的光電管，B點(diǎn)很接近Ug，因此可以選擇B點(diǎn)作為Ug，這種方法稱為“拐點(diǎn)法”，顯然兩種方法都存在著一定的系統(tǒng)誤差［4］.

特別是當(dāng)反向電流較大，且趨向飽和較慢時(shí)（圖2），Ug距離兩點(diǎn)都較遠(yuǎn)，無論選擇哪種方法，都存在較大誤差.仔細(xì)觀察圖2可知，靠近遏制電壓點(diǎn)附近，光電流的變化分為3個(gè)階段，先急劇減少，然后變化趨緩，最后達(dá)到飽和點(diǎn).其中前后2個(gè)階段成明顯的線性關(guān)系，而Ug位于兩者之間曲線段上［1］.若將兩段線性區(qū)域分別延長相交于C點(diǎn)（圖2）.顯然此點(diǎn)更加接近Ug，將其作為Ug具有較小的誤差.圖2中的兩個(gè)線性區(qū)域可以看作兩個(gè)線性函數(shù)，而C點(diǎn)即是這兩個(gè)線性函數(shù)對應(yīng)直線的交點(diǎn)［2］.

圖1　實(shí)測光電管伏安特性曲線

圖2　反向電流較大時(shí)的光電管伏安特性曲線（未畫U＞0時(shí)的暗電流.）

2　遏制電壓Ug的確定

2.1Ug確定方法

我們按照如下步驟求出Ug.

（1）數(shù)據(jù)分段

如前所述，曲線分為3段，故首先要對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行分段處理.我們分別沿著數(shù)據(jù)序列的起點(diǎn)和終點(diǎn)向數(shù)據(jù)的中段方向，對光電流數(shù)值I按照最小二乘法擬合，并計(jì)算出相應(yīng)點(diǎn)的擬合值I`.當(dāng)該點(diǎn)的擬合值與實(shí)測值的相對誤差超過一定值時(shí)，此點(diǎn)即視為是曲線段上的點(diǎn)，否則仍然看作是線性區(qū)域上的點(diǎn).

（2）擬合函數(shù)

根據(jù)上一步的結(jié)果，我們分別對屬于兩個(gè)線性區(qū)域中的點(diǎn)，進(jìn)行線性擬合，得到兩個(gè)線性函數(shù)y1和y2.

（3）確定Ug

求解由y1、y2構(gòu)成的方程組，得到遏制電壓Ug.

2.2軟件操作

打開Excel2010軟件，輸入405nm入射光對應(yīng)測量數(shù)據(jù)（圖3）.

（1）數(shù)據(jù)分段

選中D3單元格輸入“=FORECAST（B3，$C$2：C3，$B$2：B3）”，見圖3，將光標(biāo)移到D3單元格右下角，當(dāng)光標(biāo)變成“+”字時(shí)，點(diǎn)擊并下拉至D10單元格.在D14單元格輸入“=FORECAST（B15，C15：$C $16，B15：$B$16）”，上拉至D11單元格.這一步利用FORECAST函數(shù)，通過最小二乘法計(jì)算各點(diǎn)光電流擬合值I`，其中數(shù)據(jù)序列的起點(diǎn)（D2單元格）和終點(diǎn)（D16單元格）的擬合值取實(shí)測值.

為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分段，我們將擬合值I`與實(shí)測值I的相對誤差大于5%的點(diǎn)看作是曲線段上的點(diǎn)，并用刪除線標(biāo)出.選中B2單元格，點(diǎn)擊“開始”選項(xiàng)卡＞“條件格式”＞“突出顯示單元格規(guī)則”＞“其他規(guī)則”＞“使用公式確定要設(shè)置的單元格”，在公式欄中輸入“=ABS（D2-C2）/C2）＞0.05”，對應(yīng)格式選取“刪除線”（圖4），然后通過“選擇性粘貼”將B2的格式復(fù)制給B3至B16單元格，結(jié)果見圖5.

圖3　輸入測量數(shù)據(jù)并計(jì)算各點(diǎn)擬合值

圖4　條件格式設(shè)置

圖5　數(shù)據(jù)分段結(jié)果

（2）擬合函數(shù)

根據(jù)分段結(jié)果，電壓位于 ［-1.64V，-1.52V］和［-1.42V，-1.36V］上的數(shù)據(jù)處于線性區(qū)域.我們分別對這兩個(gè)區(qū)間上的點(diǎn)進(jìn)行線性擬合，得到函數(shù)y1和y2的斜率和截距.在F2單元格（圖6），輸入“=SLOPE（C2：C8，B2：B8）”，在F4單元格輸入“=INTERCEPT（C2：C8，B2：B8）”，計(jì)算函數(shù)y1的斜率k1和截距b1.利用同樣的方法，也可確定函數(shù)y2.

（3）確定Ug

圖6　擬合函數(shù)及確定Ug

根據(jù)3式，我們在F6單元格內(nèi)輸入“=（F5-F4）/（F2-F3）”，得到遏止電Ug=-1.46V，見圖6.

3　測定普朗克常數(shù)

圖7　輸入測量結(jié)果并測定普朗克常數(shù)

利用相同的方法，我們得到了其他波長入射光對應(yīng)的遏止電壓，并將測量結(jié)果輸入圖7中表格，以便計(jì)算普朗克常數(shù).由光電管伏安特性可知［1］，當(dāng)光電管達(dá)到遏止電壓時(shí)，從陰極逸出的動能最大的光電子恰好無法到達(dá)陽極，即

根據(jù)愛因斯坦的光電方程

將（4）式代入（5）式，可得

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪成Ug-v曲線，分析（5）式可知，這是一條直線，由其斜率即可求出普朗克常數(shù)h，如圖（8）所示.

因此，我們首先在D2單元格輸入“=SLOPE（C2：C6，B2：B6）”（圖7），利用最小二乘法，對入射光頻率和遏制電壓兩列數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，并給出斜率k.然后點(diǎn)擊D4單元格，輸入“=1.602E-19*D2”，計(jì)算出普朗克常量為6.62×10-34J.s，最后通過在D6單元格中輸入“=ABS（D4-6.626E-34）/6.626E -34”，得到測量值與公認(rèn)值之間的相對偏差為0.10%，測量結(jié)果十分準(zhǔn)確.

圖8　Ug～v曲線

4　小結(jié)

本文嘗試?yán)肊xcel2010軟件，結(jié)合分段線性擬合法測定普朗克常數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確，數(shù)據(jù)處理過程快捷直觀，回避了復(fù)雜的編程，在提高學(xué)習(xí)學(xué)生效果的同時(shí)，也有助于增強(qiáng)學(xué)生利用常用軟件處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力.

〔1〕賈玉潤，王公治，凌佩玲.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1987.348-349.

〔2〕曹芳玲，鄒哲奇，魯曉東.分段線性擬合方法確定光電效應(yīng)遏止電壓［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2011，24（6）：74-78.

〔3〕白光富，袁升，馬澤斌，等.光電效應(yīng)測普朗克常數(shù)新數(shù)據(jù)處理方法［J］.物理與工程，2013，23（3）：4-9.

〔4〕Excel Home.Excel 2010函數(shù)與公式實(shí)戰(zhàn)技巧精粹［M］.北京：人民郵電出版社，2014.169-193.

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