沈華嘉

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系， 廣東 廣州 510303)

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均勻帶電圓盤電場的數(shù)值研究

沈華嘉

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系， 廣東 廣州 510303)

用通用軟件Mathematica對均勻帶電圓盤電場的空間分布進(jìn)行數(shù)值研究，對比了勒讓德級數(shù)解與疊加原理-直接積分兩種方法的數(shù)字化結(jié)果. 結(jié)果顯示：由勒讓德級數(shù)解很難繪制出正確的電場強(qiáng)度的空間分布圖，而使用積分表達(dá)式則可快速獲得正確的結(jié)果.

均勻帶電圓盤；電場；數(shù)字化；勒讓德級數(shù)；積分表達(dá)式

1　均勻帶電圓盤電勢和電場強(qiáng)度的勒讓德級數(shù)表達(dá)式和積分表達(dá)式

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，均勻帶電圓盤的電勢可表達(dá)為以勒讓德多項(xiàng)式為基的級數(shù)

(1)

式中q為圓盤的帶電量，a為圓盤的半徑，θ為球坐標(biāo)系的極角．

圖1　薄圓盤與坐標(biāo)系

實(shí)際上，本問題的電勢可以使用疊加原理-積分法來計(jì)算. 薄圓盤可以看成由無窮多個(gè)同心圓環(huán)組成，如圖1所示.

由于具有軸對稱性，只需考慮xoz平面內(nèi)觀測點(diǎn)P(x,0,z)的電勢和電場強(qiáng)度．圓盤上源點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(ρcos φ,ρsin φ,0)，觀測點(diǎn)P到源點(diǎn)P′的距離為

(2)

把式(2)代入點(diǎn)電荷的電勢公式，由疊加原理得均勻帶電圓盤的電勢積分表達(dá)式

(3)

2　兩種表達(dá)式的數(shù)字化

先給出電勢積分表達(dá)式的數(shù)字化.

設(shè)圓盤帶正電，為了計(jì)算的方便，取長度單位為a，電勢單位為U0=q/(4π2ε0a), 電場強(qiáng)度單位為E0=q/(4π2ε0a2). 式(3)是一個(gè)復(fù)雜的積分, 不能用初等函數(shù)表示，可進(jìn)行數(shù)值積分. 為了方便，記

(4)

則電勢和電場強(qiáng)度分別為

(5)

和

(6)

根據(jù)式(4)～式(6)，由通用軟件Mathematica可快速得到電勢和電場強(qiáng)度數(shù)字化結(jié)果，圖2～圖4分別是電勢的空間分布、電場強(qiáng)度大小的空間分布、等勢線和電場強(qiáng)度方向的分布，它們形象美觀地描述了均勻帶電圓盤電場的空間分布.

現(xiàn)在開始研究勒讓德級數(shù)解的數(shù)字化.

式(1)是兩個(gè)以勒讓德多項(xiàng)式為基的級數(shù)，數(shù)值計(jì)算的首要問題就是如何快速給出任意階勒讓德多項(xiàng)式. 幸運(yùn)的是，在Mathematica里勒讓德多項(xiàng)式的產(chǎn)生并非難事，無論是直接調(diào)用系統(tǒng)內(nèi)設(shè)函數(shù)Legendre[2n,x], 還是使用著名的羅德里格斯(Rodrigues)公式

(7)

都可以快速獲得2n階勒讓德多項(xiàng)式，例如0、2、4、6階勒讓德多項(xiàng)式分別如下

它們看上去整齊簡單，然而，隨著階數(shù)的增加，它變得越來越復(fù)雜. 當(dāng)階數(shù)高到一定程度(例如100階)時(shí)，它的復(fù)雜程度將超出了我們的想象.

為了獲得xoz平面內(nèi)直觀分布圖，必須把極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)系

(8)

將式(7)和式(8)代入式(1)，利用Mathematica快速產(chǎn)生勒讓德多項(xiàng)式、求和運(yùn)算以及數(shù)字繪圖功能，可把式(1)所示的電勢表達(dá)式數(shù)字化. 我們無法求出級數(shù)U1和U2的所有項(xiàng)，可以先取級數(shù)前21項(xiàng)(截?cái)嗟絥=M=20)，即計(jì)算到40階勒讓德多項(xiàng)式，此時(shí)由級數(shù)表達(dá)式(1)得到的電勢空間分布與使用電勢積分表達(dá)式(3)所得到的結(jié)果(圖2)是一致的.

從理論上講，使用式(6)計(jì)算電勢的梯度就可得到電場強(qiáng)度. 然而, 當(dāng)截?cái)嗟?0階勒讓德多項(xiàng)式時(shí)，在r

提高計(jì)算量至100階勒讓德多項(xiàng)式，結(jié)果如圖6所示，電場強(qiáng)度大小的分布圖有所改善(斑塊減少)，但不十分明顯；繼續(xù)提高計(jì)算量，當(dāng)截?cái)嗟?00階勒讓德多項(xiàng)式，數(shù)值結(jié)果如圖7所示，電場強(qiáng)度大小的分布圖有了較大改善，但是在圓盤面附近，波動(dòng)起伏仍十分明顯；繼續(xù)提高截?cái)嚯A數(shù)，結(jié)果進(jìn)一步改善，勒讓德級數(shù)的結(jié)果更進(jìn)一步接近積分表達(dá)式的結(jié)果(圖3)，當(dāng)計(jì)算到600階時(shí)結(jié)果如圖8所示，整體已經(jīng)比較接近圖3，但在圓盤面附近仍有比較明顯的波動(dòng)起伏.

3　結(jié)論與討論

本文應(yīng)用通用軟件Mathematica，對均勻帶電圓盤電勢和電場強(qiáng)度的勒讓德級數(shù)解進(jìn)行數(shù)字化研究，并與疊加原理-積分法(積分表達(dá)式)的結(jié)果進(jìn)行了比較. 結(jié)果表明：使用積分表達(dá)式可以快速把電勢和電場強(qiáng)度數(shù)字化(計(jì)算并繪制出圖2～圖4三幅精美分布圖只需幾秒鐘時(shí)間). 但使用勒讓德級數(shù)解則很難把電場強(qiáng)度數(shù)字化，現(xiàn)總結(jié)如下，以便對勒讓德級數(shù)有更清晰的認(rèn)識(shí).

1)對于電勢空間分布，使用勒讓德級數(shù)解，比較容易獲得正確的數(shù)字化結(jié)果，只需截?cái)嗟降?0階勒讓德多項(xiàng)式就可獲得正確結(jié)果.

2) 對于電場強(qiáng)度的空間分布，使用勒讓德級數(shù)解，很難獲得正確的數(shù)字化結(jié)果. 就均勻帶電圓盤的電場強(qiáng)度而言，在r

[1] 吳崇試．均勻帶電薄圓盤的電勢問題[J]．大學(xué)物理, 2000, 19(11)：1-4.

[2] 林璇英，張之翔．電動(dòng)力學(xué)題解[M]. 2版．北京：科學(xué)出版社，2007:152-157.

[3] 賈秀敏．均勻帶電圓環(huán)片的空間靜電場[J]．大學(xué)物理, 2010, 29(8)：29-30.

Numerical Study of Electric Field from a Uniform Charged Disc

SHEN Hua-jia

(Department of Physics and Information Engineering, Guangdong University of Education, Guangzhou, Guangdong, 510303, P.R.China)

The spatial distribution of the electric field from a uniform charged disc is numerically studied. The numerical results of Legendre series are compared with ones of the direct integral method. Our results show that it is difficult to draw the correct spatial distribution map of the electric field intensity by using the Legendre series, while using the integral expression the correct results can be quickly obtained.

uniform charged disc; electric field; digitization; Legendre series; integral expression

2016-06-25

廣東省高等學(xué)校物理專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目(9010-14246)

沈華嘉，女，浙江紹興人，廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系副教授.

O441.3

A

2095-3798(2016)05-0067-04