鐘建華，陳　強(qiáng)

(1．廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州 510303；2．廣東第二師范學(xué)院 計算機(jī)科學(xué)系， 廣東 廣州 510303)

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一個新的具有非單調(diào)零齊次核的Hilbert型不等式

鐘建華1，陳強(qiáng)2

(1．廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州 510303；2．廣東第二師范學(xué)院 計算機(jī)科學(xué)系， 廣東 廣州 510303)

引入一個新的非單調(diào)且零齊次的核,利用含參數(shù)σ的權(quán)函數(shù)及配方方法,得到了相應(yīng)的具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型積分不等式及其等價形式,并給出了特殊情形.

Hilbert型不等式；權(quán)函數(shù)；參數(shù)；等價式

0　引言

(1)

研究核為負(fù)齊次的Hilbert型不等式是近年來該研究領(lǐng)域中對經(jīng)典不等式進(jìn)行推廣的一個主要突破點,在Hilbert型不等式參量化研究體系中至關(guān)重要.關(guān)于核為負(fù)齊次的Hilbert型不等式的一般性理論可參見文[2].

(2)

文[4]得到一個特殊的核為實數(shù)齊次的Hilbert型積分不等式,引入?yún)?shù)λ≥0,在右邊積分為正數(shù)的條件下,有

(3)

(4)

(5)

應(yīng)用權(quán)函數(shù)及實分析方法,建立一個具有最佳常數(shù)因子的零齊次核的Hilbert型積分不等式和等價式,并考慮了一些特殊結(jié)果.

1　一些引理

(6)

(7)

則有

(8)

證明對式(6)作變換u=y/x,則有

(9)

將其代入式(9)中,并令t=(2k+3)u,得

(10)

這里,k(σ)為式(8)所定義.

證明配方并由H?lder不等式[8]及式(7),有

(11)

由式(11),Fubini定理[9]及式(6),式(7),有

即式(10)成立.證畢.

2　主要定理

(12)

(13)

這里,k(σ)為式(11)所定義,且k(σ)及kp(σ)均為最佳值.

不妨設(shè)E≠0(否則,F=E=0),故有

配方并由H?lder不等式[8],有

(14)

(15)

即

(16)

對式(16)兩邊p次方,可得式(13),且它與式(12)等價.

則可算得

由Fubini定理[9],并對下式中的內(nèi)積分作變換u=y/x,可得

(17)

由Fatou引理[9],及式(17),易得

這與假設(shè)矛盾,故k=k(σ)必為式(12)的最佳值.式(13)的常數(shù)因子kp(σ)必為最佳值,不然,由式(14),必導(dǎo)出式(12)的常數(shù)因子也不為最佳值的矛盾結(jié)論.證畢.

(18)

(19)

(20)

(21)

致謝：作者衷心感謝楊必成教授的細(xì)心指導(dǎo).

[1] 楊必成. 關(guān)于一個推廣的Hardy-Hilbert不等式[J].數(shù)學(xué)年刊(A),2002,23(2):247-252.

[2] 楊必成.算子范數(shù)與Hilbert型不等式[M].北京:科學(xué)出版社,2009:148-299.

[3] 楊必成.關(guān)于正數(shù)齊次核的Hilbert型不等式[J].廣東教育學(xué)院學(xué)報,2009,29(3):1-8.

[4] 楊必成.一個Hilbert型積分不等式[J].浙江大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2007,34(2):121-124.

[5] 楊必成.一個新的零齊次核的Hilbert型積分不等式[J].浙江大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2012,39(4):390-392.

[6] 王竹溪,郭敦仁.特殊函數(shù)概論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2000:40-81.

[7] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,2003.

[8] 匡繼昌. 常用不等式[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004:4-5.

[9] 匡繼昌. 實分析引論[M].長沙:湖南教育出版社,1996:45-46.

A New Hilbert-Type Inequality with the Non-monotone Homogeneous Kernel of Degree 0

ZHONG Jian-hua1, CHEN Qiang2

(1． Department of Mathematics, Guangdong University of Education, Guangzhou,Guangdong, 510303, P.R.China; 2． Department of Computer Science, Guangdong University of Education, Guangzhou, Guangdong, 510303, P.R.China)

A new Hilbert-type inequality with the non-monotone homogeneous kernel of degree 0 is provided in this paper. By utilizing the weight coefficients with the parameter σ and the method of completing the square, the corresponding Hilbert-type integral inequality with the best constant factor and the equivalent form are obtained. Some particular cases are considered.

Hilbert-type inequality; weight function; parameter; equivalent form

2015-09-28

國家自然科學(xué)基金資助項目(61370186)；2014年廣州市科技計劃應(yīng)用基礎(chǔ)研究項目(2014J4100032)

鐘建華,男, 廣東廉江人, 廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授.

O178

A

2095-3798(2016)05-0038-05