劉宗寶，吳維煊

(江蘇省宿遷經(jīng)貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校， 江蘇 宿遷 223600)

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帕斯卡《思想錄》的理性精神與數(shù)學(xué)成就

劉宗寶，吳維煊*

(江蘇省宿遷經(jīng)貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校， 江蘇 宿遷 223600)

帕斯卡的數(shù)學(xué)成就是其幾何學(xué)精神、敏感性精神與理性精神的有機(jī)結(jié)合的產(chǎn)物.帕斯卡對(duì)幾何有著濃厚的興趣，有著基于敏感與理性的嚴(yán)謹(jǐn).帕斯卡的《思想錄》是世界上最偉大的隨筆經(jīng)典，該書(shū)集中體現(xiàn)了作者以“幾何精神”為主體的思想理論.帕斯卡以笛卡爾的理性主義思想為基礎(chǔ)，不僅繼承與發(fā)揚(yáng)了理性主義傳統(tǒng)，以理性來(lái)批判一切,同時(shí)又在繼承的基礎(chǔ)上指出理性本身存在的內(nèi)在矛盾，展現(xiàn)其特有的揭示矛盾的方法，因而在數(shù)學(xué)發(fā)展史上寫(xiě)下濃墨重彩的一筆.

帕斯卡;思想錄；幾何精神；數(shù)學(xué)成就

0　引言

布萊士·帕斯卡(Blaise Pascal，1623-1662)生活在17世紀(jì)的法國(guó)，是著名的哲學(xué)家、思想家和科學(xué)家，他的思想理論集中地表現(xiàn)在他的《思想錄》一書(shū)中，該書(shū)以其論戰(zhàn)的鋒芒、深邃的思想以及流暢的文筆闡述了“人的全部尊嚴(yán)就在于其思想”這一哲學(xué)觀點(diǎn).《思想錄》這一哲學(xué)著作是世界思想文化史上的經(jīng)典著作，對(duì)后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，被認(rèn)為是法國(guó)古典散文的奠基之作.《思想錄》一書(shū)集中體現(xiàn)了作者以“幾何精神”為主體的思想理論，帕斯卡以笛卡爾的理性主義思想為基礎(chǔ)，不僅繼承與發(fā)揚(yáng)了理性主義傳統(tǒng)，以理性來(lái)批判一切；同時(shí)又在繼承的基礎(chǔ)上指出理性本身的內(nèi)在矛盾，展現(xiàn)其特有的揭示矛盾的方法，即“帕斯卡方法”.

1　發(fā)現(xiàn)幾何圖形的性質(zhì)——敏感精神與幾何精神的結(jié)合

帕斯卡由于體弱多病，父親不準(zhǔn)他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).禁止他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，反而引起他對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，并請(qǐng)求他的家庭教師給他講幾何學(xué).教師告訴他，這是對(duì)準(zhǔn)確的圖形和圖形的各個(gè)部分性質(zhì)的研究.他從教師對(duì)這門(mén)學(xué)科的描述和父親反對(duì)這門(mén)學(xué)科的禁令得到了鼓勵(lì)和探索的欲望.他放棄了自己的游戲時(shí)間，為了不讓父親失望，他只能秘密地從事這門(mén)學(xué)科的研究，沒(méi)靠任何幫助，發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的許多性質(zhì).在幾何學(xué)中，原則都是顯然可見(jiàn)的，很多人由于缺乏運(yùn)用習(xí)慣，很少能敏感地關(guān)注到幾何問(wèn)題，也就無(wú)法將注意力放到這上面來(lái).而帕斯卡有對(duì)幾何學(xué)的直覺(jué)和敏感，在幾何圖形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，將幾何學(xué)精神與敏感性精神有機(jī)結(jié)合，加之以潛心研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多幾何圖形的性質(zhì)[1].

三角形內(nèi)角和等于平角這個(gè)定理是帕斯卡發(fā)現(xiàn)的.在對(duì)這個(gè)定理的探索中，他采用的是較為直觀的折紙三角形的辦法，也就是把三角形的頂點(diǎn)折到其內(nèi)切圓的圓心上，如圖1所示；或者把頂點(diǎn)折到垂足處，如圖2所示.

帕斯卡的數(shù)學(xué)成就中，較為突出的是提出著名的帕斯卡定理，即： 如果一個(gè)六邊形內(nèi)接于圓錐曲線，則其三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)共線，并且逆命題也成立.

該定理被后人稱之為帕斯卡神秘六線形定理，用這個(gè)定理能夠推演出許多我們知道的有關(guān)圓錐截線的知識(shí).此外，用投影的概念(由G·迪沙格發(fā)展)帕斯卡說(shuō)明了除圓以外其他圓錐截線定理.

內(nèi)接于任意圓錐截線的六邊形，當(dāng)它的延長(zhǎng)線成直線AB、BC、CD、DE、EF、FA時(shí)，則三組對(duì)邊的交點(diǎn)P、Q和R總是共線(圖3).

該定理的證明：

圖4所示，如果1、2、3、4、5、6六個(gè)點(diǎn)在一條圓錐曲線上，則56和23,16和34,12和45這三對(duì)直線的交點(diǎn)共線.

令α=0，β=0，γ=0，α′=0，β′=0，γ′=0為直線12,34,56,45,61,23的方程，考慮三次曲線αβγ+kα′β′γ′=0

不管k的值是什么，此三次方程過(guò)1、2、3、4、5、6、P、Q、R九個(gè)點(diǎn)，取圓錐曲線上另一個(gè)點(diǎn)7，并如此確定k，讓該三次曲線也過(guò)點(diǎn)7.然而，一條三次曲線和一條二次曲線至多交于3×2=6個(gè)點(diǎn)，除非該二次曲線是該三次曲線的一部分，而余下的部分是某直線，并且余下的三個(gè)點(diǎn)P、Q、R必定處于一條直線上.

帕斯卡給出該定理之后近200年，產(chǎn)生了該定理的對(duì)偶定理：

一個(gè)六邊形的六條邊切一條圓錐曲線，當(dāng)且僅當(dāng)，連接其三對(duì)頂點(diǎn)的直線交于一點(diǎn).

帕斯卡提出六線形定理，并推導(dǎo)出400多條推論，對(duì)這個(gè)構(gòu)型所做的探討，幾乎多到了讓人難以置信的地步.帕斯卡六線形定理的發(fā)現(xiàn)及眾多推論的得出，是帕斯卡精確性精神與幾何精神有機(jī)結(jié)合的產(chǎn)物，他能夠敏銳地、深刻地鉆研種種原則的結(jié)論，這就是精確性的精神；他能夠理解大量的原則而從不混淆，這就是《思想錄》中提到的幾何學(xué)精神.

2　探討幾何規(guī)律——由特殊到一般的理性精神

在帕斯卡的數(shù)學(xué)成就中，廣為人們熟知的是帕斯卡三角形.人們常把三角形數(shù)與數(shù)學(xué)家帕斯卡的名字結(jié)合起來(lái)，成了眾所周知的帕斯卡

三角形.帕斯卡最早在他的書(shū)《論算術(shù)三角形》中寫(xiě)到如下的數(shù)字三角陣(圖5)：

(a+b)0=11(a+b)1=1a+1b1 1(a+b)2=1a2+2ab+1b21 2 1(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b31 3 3 1……………………………………圖5

當(dāng)我們想要論證一件一般事物時(shí)，就必須遵循由特殊到一般的原則，先給出一個(gè)個(gè)案的特殊規(guī)律，由特殊規(guī)律揭示一般規(guī)律.但是如果我們想要論證一個(gè)特殊的個(gè)案時(shí)，我們又必須遵循由一般到特殊的原則，從一般的規(guī)律著手揭示其特殊規(guī)律.雖然帕斯卡不是算術(shù)三角形的創(chuàng)始者，但是，帕斯卡運(yùn)用由特殊到一般的理性精神，發(fā)現(xiàn)并證明了算術(shù)三角形的一些新的性質(zhì).

圖6

一些表面上毫無(wú)相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上有著深刻的聯(lián)系，斐波那契數(shù)列、牛頓二項(xiàng)展開(kāi)式和帕斯卡三角形就是一個(gè)典型的例子.在這三者之間，存在著相互的聯(lián)系.圖6說(shuō)明了它們之間的親密關(guān)系：沿著帕斯卡三角形斜向點(diǎn)劃線的數(shù)累加，便產(chǎn)生斐波那契數(shù)列，帕斯卡三角形的每一行，則代表二項(xiàng)式(a+b)某個(gè)特定乘方展開(kāi)式的系數(shù).

圖6中，帕斯卡研究得出：在帕斯卡三角形中，對(duì)角線(圖中虛線)上部分?jǐn)?shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)的下面一行左下方位置上的那個(gè)數(shù).例如：從1到36的三角形數(shù)的和，等于最后一個(gè)數(shù)36的下面一行左下方位置上的那個(gè)數(shù)120(圖上打圈的數(shù))[3].

該方法對(duì)所有的對(duì)角線——自然數(shù)對(duì)角線、三角形數(shù)對(duì)角線、四面體數(shù)對(duì)角線、四維空間四面體數(shù)對(duì)角線，等等，都保持正確.

3　得分問(wèn)題的解決——將敏感的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何原則

帕斯卡在研究了帕斯卡三角形的性質(zhì)之后，將其應(yīng)用到多個(gè)領(lǐng)域，其中最為重要的應(yīng)用是關(guān)于得分問(wèn)題.所謂得分問(wèn)題又稱賭金分配問(wèn)題，這是一個(gè)敏感的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.任何一個(gè)社會(huì)，博弈都是一個(gè)與人類活動(dòng)相伴的客觀存在，如何讓博弈相對(duì)公平？例如，在兩個(gè)被給定有相等技巧的博弈者之間，在一個(gè)中斷的博弈中，已知兩個(gè)博弈者在中斷時(shí)的得分以及在賭博中獲勝所需要的分?jǐn)?shù)，那么相應(yīng)于已得的分?jǐn)?shù)應(yīng)如何分配賭金？帕斯卡將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何原則，用算術(shù)三角陣對(duì)這個(gè)問(wèn)題推出許多結(jié)論.

對(duì)于一般情況，A需要m分獲勝，B需要n分獲勝，選擇帕斯卡算術(shù)陣的第(m+n)條對(duì)角線，然后，求此對(duì)角線的前n個(gè)數(shù)的和α和此對(duì)角線的最后m個(gè)數(shù)的和β，于是，賭金應(yīng)依α∶β的比例劃分.

帕斯卡解決了一般問(wèn)題后，又用算術(shù)三角陣推出了很多結(jié)論.

例如，當(dāng)博弈者超過(guò)兩個(gè)時(shí)，或兩個(gè)博弈者的技巧參差不齊時(shí)，其賭金分配問(wèn)題.帕斯卡通過(guò)對(duì)這些得分問(wèn)題的探討，不僅讓幾何與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系更加密切，也為概率論的產(chǎn)生打下了基礎(chǔ).

很多人對(duì)現(xiàn)實(shí)事物有敏感的發(fā)現(xiàn)力，也具有探索規(guī)律的執(zhí)著精神，具備成為幾何研究者的性格特征，但這些人中的大部分卻不能成為幾何學(xué)家，其根本原因在于他們未能將敏感的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)到幾何學(xué)的原則方面來(lái)；而成為幾何學(xué)家的人，就在于他們能看到自己身邊的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，并對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生探索的興趣，并用幾何學(xué)的簡(jiǎn)潔原則，解決問(wèn)題并進(jìn)行推論.

圖7

4　三角陣算術(shù)——清晰的洞見(jiàn)力與嚴(yán)密推理的結(jié)合

帕斯卡構(gòu)造的三角陣算術(shù)(圖7)任一元素(在第二行或隨后的行中)，是上一行中正好在它上面的元素及其左邊的元素的和.如在第4行中35=15+10+6+3+1這種三角陣(不管是多少階的)，如圖所示那樣畫(huà)對(duì)角線就得到了，這條對(duì)角線上的數(shù)正是二項(xiàng)展開(kāi)式中的逐次系數(shù).又如第五條對(duì)角線上的數(shù)，即1、4、6、4、1是(a+b)4的展開(kāi)式中的逐次系數(shù).

我們能容易地證明：“算術(shù)三角形”的第五條對(duì)角線上的數(shù)分別為

帕斯卡不是算術(shù)三角形的創(chuàng)始者，但他發(fā)現(xiàn)并證明了算術(shù)三角形的一些新的性質(zhì).涉及算術(shù)三角陣的下列關(guān)系式，就是帕斯卡推導(dǎo)出來(lái)的.

1)算術(shù)三角陣的任一元素(不在第一行和第一列的)等于正好在它上面的元素和正好在它左邊的元素的和；

2)算術(shù)三角陣的任一給定元素減去1，等于這行上面包括給定元素的列的左邊的所有元素的和；

4)在第m行、第n列的元素等于在第n行、第m列的元素；

5)任一對(duì)角線上的元素和是上一對(duì)角線上的元素和的二倍；

6)第n條對(duì)角線上的元素和為2n-1.

帕斯卡推導(dǎo)出這些關(guān)系式，需要有異常清晰的洞見(jiàn)力和嚴(yán)密的推理，只有具備了這些理性精神才不至于根據(jù)這些已知的原則進(jìn)行謬誤的推理.

5　旋輪線的發(fā)現(xiàn)——數(shù)學(xué)與物理的有機(jī)結(jié)合

圖8

帕斯卡的最后一部數(shù)學(xué)著作是關(guān)于旋輪線(此線用于拱橋)的，這條曲線是一個(gè)圓的圓周上一點(diǎn)，當(dāng)該圓沿著直線滾動(dòng)時(shí)的軌跡(圖8).這條有很豐富的數(shù)學(xué)性質(zhì)和物理性質(zhì)的曲線，在微積分方法的早期發(fā)展中起到重要作用，并引導(dǎo)數(shù)學(xué)家們考慮：旋輪線繞各種不同的線轉(zhuǎn)動(dòng)得到的回轉(zhuǎn)曲線和回轉(zhuǎn)體，以及其他涉及所形成的圖形的形心的問(wèn)題，帕斯卡用微積分的不可分元法(該法等價(jià)于今天的定積分方法)解決了.旋輪線有許多引人注目的性質(zhì)，被稱作“幾何學(xué)中的美人”和“爭(zhēng)吵的禍根[4].

獨(dú)輪手推車的發(fā)明應(yīng)歸功于帕斯卡.

《思想錄》是世界上最偉大的隨筆經(jīng)典，400年來(lái)暢銷，被譯成幾乎所有文字.《思想錄》第一編關(guān)于精神和文風(fēng)的思想，帕斯卡認(rèn)為：凡是幾何學(xué)家只要能有良好的洞見(jiàn)力，就都會(huì)是敏感的，因?yàn)樗麄兪遣粫?huì)根據(jù)他們已知的原則做出謬誤的推理的；而敏感的精神若能把自己的洞見(jiàn)力運(yùn)用到那些自己不熟悉的幾何學(xué)原則上去，也會(huì)成為幾何學(xué)家的. 在《思想錄》中，帕斯卡認(rèn)為：大自然是把它自己的影子以及它的創(chuàng)造主的影子銘刻在一切事物上面的，天才地揭示了人因思想而偉大這一動(dòng)人主題.帕斯卡的許多數(shù)學(xué)成就，是在前人基礎(chǔ)上憑借幾何學(xué)家的理性精神的進(jìn)一步探索，推廣數(shù)學(xué)概念就像超出我們能夠想象的空間那樣，在理性的前提下，在跟事物的現(xiàn)實(shí)比較中，將探索走向深入，因而在數(shù)學(xué)發(fā)展史上寫(xiě)下濃墨重彩的一筆.

[1] (美)霍華德·伊夫斯，數(shù)學(xué)史概論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009:315.

[2] 吳維煊，中西方數(shù)學(xué)知識(shí)體系間的相互影響與融合[J]，牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào)，2012(12):122-130.

[3] 吳維煊，由楊輝三角形構(gòu)建的數(shù)學(xué)聯(lián)系[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2010(2)：54-57.

[4] (美) 帕帕斯T.數(shù)學(xué)趣聞集錦(上冊(cè))[M].上海：上海教育出版社，2001：190-523.

The Rational Spirit and Mathematics Achievement ofPenseesby Blaise Pascal

LIU Zong-bao， WU Wei-xuan*

(Senior Vocational School of Economy and Trade, Suqian, Jiangsu, 223600, P.R.China)

The combined action of the spirits of geometry, sensibility and reason lead to the mathematics achievement. Pascal had keen interests in geometry and preciseness owning to sensibility and reason.Penseeswritten by Pascal reflected his thoughts and ranked one of the greatest essays in the world. Pascal contributed to the mathematics development by promoting the rationalism thoughts founded by Decare. On the one hand, Pascal carried on and forwarded the traditional rationalism, criticizing everything on the guidance of rationalism. On the other hand, Pascal showed his unique way to solve problems after realizing the immanent contradiction of rationalism.

Pascal;Pensees; spirits of geometry; mathematics achievement

2016-06-30

江蘇省“十二五”規(guī)劃2015年度立項(xiàng)課題：職校區(qū)域傳統(tǒng)文化教育實(shí)踐的研究——以宿遷為例(B-b/2015/03/061)作者簡(jiǎn)介：劉宗寶，男，江蘇漣水人，江蘇省宿遷經(jīng)貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校校長(zhǎng)，副教授，江蘇省特級(jí)教師，宿遷市名校長(zhǎng),江蘇省優(yōu)秀教育工作者，全國(guó)優(yōu)秀教師，中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)員；

吳維煊,女,江蘇連云港人，江蘇省宿遷經(jīng)貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校教授,江蘇省有突出貢獻(xiàn)的中青年專家，宿遷市數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)科帶頭人,宿遷市數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)軍人物,宿遷市職教數(shù)學(xué)中心組副組長(zhǎng).

O11

A

2095-3798(2016)05-0056-05