王雄文， 王華忠， 錢建良

1 同濟大學(xué)海洋與地球科學(xué)學(xué)院， 上海　200092 2 Department of Mathematics, Michigan State University, East Lansing, MI, 48824， U.S.A.

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柯西波場及在角度域成像條件中的應(yīng)用

王雄文1， 王華忠1， 錢建良2

1 同濟大學(xué)海洋與地球科學(xué)學(xué)院， 上海200092 2 Department of Mathematics, Michigan State University, East Lansing, MI, 48824， U.S.A.

角度域成像道集是疊前深度偏移的重要輸出結(jié)果，它是偏移速度分析、各向異性分析和AVA分析等研究工作的基礎(chǔ).目前存在的角度域成像道集的生成方法受計算效率或角度分辨率的影響，仍然滿足不了實際生產(chǎn)的要求.角度域成像道集的生成方法可以大致分為直接法和間接法兩大類.在直接方法中，波矢量方向計算和局部平面波分解是兩個最重要的內(nèi)容，它們共同決定角度域成像條件的實現(xiàn)效率和角度域成像道集的質(zhì)量.為了完善現(xiàn)有的角度域成像道集生成方法，本文提出一種新的波矢量計算方法和局部平面波分解方法.本文先用波動方程任意時刻的柯西條件構(gòu)造一個只含原波場負頻率成分的柯西波場，然后根據(jù)柯西波場在時間波數(shù)域的振幅譜計算波場的波矢量方向.該方法僅在需要計算波矢量方向的時刻合成柯西波場，不需要增加額外的數(shù)據(jù)讀寫操作，是一種高效的波矢量計算方法.本文還以柯西波場為基礎(chǔ)提出一種高效的局部平面波分解方法，保證角度域成像條件的實現(xiàn)效率.結(jié)合柯西波場和局部平面波分解方法，本文最后給出一種新的角度域成像方法.文中最后的數(shù)值實驗證明該方法得到的角度域成像道集具有理想的角度分辨率，可以反映地下構(gòu)造的角度照明情況.

柯西波場； 波矢量方向； 局部平面波分解； 角度域成像條件； 角度域成像道集

1　引言

共成像點道集(Common-Imaging Gathers, CIGs)不僅反映偏移速度、正演算法和散射模型的準確性，還反映地下介質(zhì)的各向異性、AVO和AVA等特征，是偏移技術(shù)從構(gòu)造成像走向波阻抗反演的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié).受波場多傳播路徑的影響，疊前深度偏移方法產(chǎn)生的CIGs按照地表記錄屬性(如共方位角、共偏移距等)進行排序很容易出現(xiàn)偏移假象，降低CIGs的質(zhì)量.而利用角度域成像條件得到的角度域共成像點道集(Angle-Domain Common-Imaging Gathers, ADCIGs)不受波場多傳播路徑的影響，是信噪比比較高的CIGs(Xu et al., 2001).

基于ADCIGs的速度分析方法和AVA分析方法已經(jīng)存在豐富的理論和應(yīng)用成果(Jin and Madariaga, 1993; Symes, 1993; Beydoun et al., 1993; Liu and Bleistein, 1995; Tura et al.,1998; Dong and Ponton, 1999; Chauris et al., 2002).角度域成像條件大致可以分為以下幾種方法：局部平面波分解方法(Xie and Wu, 2002; Yan and Xie, 2009; Xu et al., 2011)；Poynting矢量方法(Yoon and Marfurt, 2006;Vyaset al., 2011a, 2011b; Dickens and Winbow, 2011; Yoon et al., 2011)；擴展成像道集轉(zhuǎn)化方法(Sava and Fomel, 2003, 2006; Fomel, 2004).其中局部平面波分解方法和Poynting矢量方法通過計算波矢量方向?qū)⑵平Y(jié)果投影到對應(yīng)的ADCIGs上，屬于直接方法.擴展成像道集轉(zhuǎn)化方法先用擴展成像條件得到擴展成像道集，然后再用線性Radon變換將擴展成像道集轉(zhuǎn)化為ADCIGs，屬于間接方法.

局部平面波分解方法在頻率空間域中對波場進行平面波分解并生成角度域成像道集，包括單程波方法和雙程波方法.其中單程波方法在頻率空間域中沿深度方向?qū)Σ▓鲞M行外推并對波場做局部平面波分解，利用得到的局部平面波進行成像并提取ADCIGs(Xie and Wu, 2002; Soubaras, 2003; Yan and Xie, 2009).雙程波方法通過記錄所有時刻的正演波場，然后用Fourier變換將時間空間域的波場變換為頻率空間域的波場，在頻率空間域中實現(xiàn)局部平面波分解和角度域成像條件并提取ADCIGs(Xu et al., 2011).在雙程波方法中，為了實現(xiàn)時間域的Fourier變換，需要記錄所有時刻的震源波場和檢波點波場并以時間為快維對波場重新排序.該重排序操作會增加大量的數(shù)據(jù)讀寫操作.

Poynting矢量方法在波場的正演過程中先用Poynting矢量計算波矢量方向，然后用波矢量方向判斷波場的傳播方向并實現(xiàn)角度域成像條件，生成ADCIGs.Poynting矢量是目前常用的波矢量計算方法，利用Poynting矢量可以快速得到波矢量方向并實現(xiàn)角度域成像條件(Yoon and Marfurt, 2006;Vyaset al., 2011a, 2011b; Dickens and Winbow, 2011; Yoon et al., 2011).但Poynting矢量得到的是波場的能流方向.當波場的波前存在交叉情況時，Poynting矢量無法區(qū)分沿不同方向傳播的波前，得到的矢量方向?qū)嶋H上是所有波前疊加后的能流方向.因此，Poynting矢量方法在計算復(fù)雜波場的波矢量方向時具有一定的局限性.另外，Poynting矢量方法是一種抗噪能力比較差的波矢量方向計算方法.在計算檢波點波場的波矢量方向時，Poynting矢量方法會因為地震數(shù)據(jù)中的噪音而得不到準確的波矢量方向.

擴展成像道集轉(zhuǎn)化方法先用擴展成像條件得到局部偏移距道集或時延相關(guān)道集，然后再用線性Radon變換將該擴展成像道集轉(zhuǎn)化為ADCIGs(Sava and Fomel, 2003, 2006; Fomel, 2004).在二維情況下，時延相關(guān)道集和局部偏移距道集都可以較為簡單地轉(zhuǎn)化為ADCIGs.但在三維情況下，時延相關(guān)道集是一個四維數(shù)據(jù)體(空間的x、y、z坐標和時延量τ)，在轉(zhuǎn)化為五維的ADCIGs(空間的x、y、z坐標，入射角φ和方位角φ)時會損失部分信息.而局部偏移距道集與ADCIGs之間的關(guān)系在三維情況下會變得很復(fù)雜，大大增加轉(zhuǎn)化過程所需要的計算量，降低該方法的計算效率.另外，將擴展成像道集從局部偏移距域(或時延量)投影到角度域時還存在采樣不足、采樣不均勻等現(xiàn)象，這些現(xiàn)象都會降低ADCIGs的質(zhì)量，影響正確的AVA特征.

在上述的幾種方法中，局部平面波分解方法和Poynting矢量方法的物理意義更明確，得到的ADCIGs的物理含義更清楚.這兩種方法均需要計算局部波場的傳播方向.其中局部平面波分解方法得到的波矢量方向信息更豐富、更準確，但需要更多的計算量和數(shù)據(jù)讀寫操作；Poynting矢量方法利用Poynting矢量計算波矢量方向，計算效率高，但抗噪能力和適用范圍不及局部平面波分解方法.高效、準確的波矢量方向計算方法和局部平面波分解方法是角度域成像條件兩個最重要的研究內(nèi)容，它們共同決定角度域成像條件的計算效率和ADCIGs的質(zhì)量.任何一種不準確的波矢量方向計算方法或局部平面波分解方法均會在ADCIGs中產(chǎn)生偏移假象，影響ADCIGs的質(zhì)量.簽于上述原因，本文提出一種用波動方程的柯西條件構(gòu)造柯西波場的方法，并以柯西波場為基礎(chǔ)提出一種高效的波矢量方向計算方法和局部平面波分解方法，提出一種新的角度域成像方法.最后的數(shù)值實驗證明本文提出的角度域成像方法可以得到高質(zhì)量的ADCIGs，為下一步的波阻抗反演和AVA分析等研究工作提供了良好的基礎(chǔ).

2　理論與方法

2.1柯西波場的構(gòu)造方法

考慮如下波動方程：

(1)

該方程為波動方程的純初值問題，描述了聲波介質(zhì)在無外力情況下的波傳播現(xiàn)象.由于方程(1)的解取決于方程在t0時刻的Cauchy條件f(x)和g(x)，因此利用f(x)和g(x)可以得到u(x,t)在t0時刻的傳播方向.假設(shè)u(x,t)存在如下的形式表達式：

(2)

其中A和φ分別表示u(x,t)的振幅函數(shù)和相位函數(shù).沿時間方向?qū)υ撔问奖磉_式進行求導(dǎo)可得：

(3)

其中At和φt分別表示A和φ對時間的導(dǎo)數(shù)，ω表示波場的頻率.在上式推導(dǎo)中，本文假設(shè)u(x,t)滿足高頻假設(shè)條件，因此有At?Aφt.根據(jù)波動方程的頻散關(guān)系可以得到u(x,t)的頻率和波數(shù)具有如下關(guān)系：

(4)

其中v(x)表示x處的聲波速度，k表示波場的波數(shù).結(jié)合(3)和(4)得到的結(jié)果，用u(x,t)和ut(x,t)可以構(gòu)造如下的復(fù)值波場c(x,t)：

(5)

上面介紹的波矢量方向計算方法用波動方程的柯西條件構(gòu)造一個只含原波場負頻率成分的柯西波場c(x,t)，并用c(x,t)在空間域的Fourier變換結(jié)果計算波矢量方向.CWF的構(gòu)造方法利用快速Fourier變換提高其計算效率，并保留了波場所有方向的波矢量信息，可以高效、準確地計算出波場的波矢量方向.

2.2局部平面波分解方法

β(k)=arctan(kz/kx),

(7)

(8)

集合W給出了波場u(x,t)包含的所有平面波傳播角度的集合.

(9)

公式(9)即為本文在實現(xiàn)角度域成像條件時所采用的局部平面波分解方法.該方法最大的優(yōu)點是計算復(fù)雜度小、計算成本低，保證實現(xiàn)角度域成像條件的計算效率.利用集合W和平面波分解方法(9)，可以將原波場u(x,t)分解為一系列沿不同角度傳播的平面波之和：

(10)

2.3角度域成像條件

波矢量方向的計算和波場的局部平面波分解是實現(xiàn)角度域成像條件的兩個關(guān)鍵環(huán)節(jié).這兩個環(huán)節(jié)即決定實現(xiàn)角度域成像條件的計算效率，也決定最終生成的ADCIGs的質(zhì)量.利用CWF本文可以高效地得到波矢量方向、實現(xiàn)波場的平面波分解，總波場則可以表示為這些平面波的疊加結(jié)果.將波場的平面波表達形式(10)代入到單炮疊前偏移公式可得I(x,xs)=∫us(x,xs,t)ur(x,xs,t)dt

(11)

Rloc(x,xs,θ,t)=

Iloc(x,xs,θ)=∫Rloc(x,xs,θ,t)dt,

(13)

其中θ表示入射波與反射波之間的張角，Rloc(x,xs,θ,t)表示t時刻在張角θ上的成像結(jié)果，Iloc(x,xs,θ)表示第xs炮在局部窗內(nèi)得到的ADCIGs.由于計算Rloc(x,xs,θ,t)需要對Ws(t)和Wr(t)內(nèi)的所有角度進行循環(huán)，因此波場越復(fù)雜、局部平面波的個數(shù)越多，Rloc(x,xs,θ,t)的計算成本越高.

公式(13)給出了角度域成像條件的計算方法，利用該公式可以得到波場在任意局部空間窗內(nèi)的ADCIGs，將所有局部空間窗內(nèi)的成像結(jié)果疊加后即可得到全空間的ADCIGs.圖1展示了角度域成像條件的實現(xiàn)流程，在該實現(xiàn)流程中虛框內(nèi)的計算過程是角度域成像條件與常規(guī)零延遲相關(guān)成像條件的主要區(qū)別.

圖1　基于炮道集的角度域成像條件Fig.1　The angle domain imaging condition of shot domain migration

3　數(shù)值實驗

用本文提出的角度域成像條件分別計算水平層狀模型和Marmousi模型的ADCIGs.這兩個數(shù)值實驗證明了本文提出的角度域成像方法可以準確地獲得復(fù)雜模型的ADCIGs，是一種適用性比較強的成像方法.

圖2　角度域成像條件實現(xiàn)流程示意圖

(a、b) 某一時刻炮點端和檢波點端的波場快照； (c、d) 該時刻圖a、b紅框內(nèi)的波場以及波場對時間的一階導(dǎo)數(shù)； (e、f) 由圖c、d構(gòu)造得到的柯西波場所對應(yīng)的振幅譜； (g、h) 振幅譜e、f在角度域的能量分布函數(shù)，橫坐標表示角度，單位°， 縱坐標表示能量大??； (i、j) 局部平面波分解結(jié)果； (k) 局部平面波的成像結(jié)果.

Fig.2The realization flow of angle domain imaging condition

(a, b) Snapshots of source wave field and receiver wave field； (c, d) Local wave field and its derivative with respect to time in the red rectangles of figure 2a and 2b； (e, f) Spectrum of Cauchy Wave Field constructed from Cauchy condition shown in figure 2c and 2d； (g, h) Energy distribution function of Cauchy Wave Field in angle domain, the axises mean energy and angle respectively； (i, j) Local plane wave decomposition result； (k) Imaging result of local plane waves shown in figure 2i and 2j.

3.1水平層狀模型

首先用一個水平層狀模型測試本文提出的角度域成像方法.圖3展示了一個水平層狀速度模型，該模型的觀測系統(tǒng)如下：炮點間隔100 m，檢波點間隔20 m；炮點范圍從地表x=0 km到x=10 km；每一炮的接收排列均從地表x=0 km到x=10 km.圖4為xs=6 km處的單炮數(shù)據(jù)得到的不同地表位置的ADCIGs，其中橫坐標的快維表示ADCIGs對應(yīng)的反射角，慢維表示ADCIGs對應(yīng)的地表位置.在圖4中，位于炮點正下方的ADCIGs的能量集中在0°的位置，表示該炮對炮點正下方的照明能量主要集中在入射角為0°的位置.隨著地表偏移距的增加，該炮對地下層位照明的入射角越來越大.圖4所示的ADCIGs準確地反映了該炮對地下層位的角度照明情況，為后續(xù)AVA分析和角度照明分析等研究工作提供了重要基礎(chǔ).

圖5展示了用所有炮數(shù)據(jù)生成的ADCIGs.在圖5中，淺層界面的角度照明比較均衡，除了邊界處的ADCIGs受觀測系統(tǒng)的影響外，其他地方的ADCIGs基本達到全角度照明.在生成的ADCIGs中，小角度的照明能量對應(yīng)著地震波的反射現(xiàn)象，是成像中的有效能量；大角度的照明能量對應(yīng)著地震波的全反射現(xiàn)象，是成像中的噪音部分，這部分能量會降低最后成像結(jié)果的分辨率.受地表觀測孔徑和速度模型的影響，模型深層界面的照明角度主要集中在小反射角范圍內(nèi)，數(shù)據(jù)對界面的照明情況基本表現(xiàn)為：界面的深度越深，有效照明角度的范圍越小，照明角度的采樣間隔越小.

圖3　水平層狀速度模型Fig.3　The layer velocity model

圖4　單炮數(shù)據(jù)的ADCIGs，炮點位置位于xs=6 km處Fig.4　The ADCIGs of single shot gather, the position of source is xs=6 km

圖5　所有炮數(shù)據(jù)得到的ADCIGsFig.5　The ADCIGs generated by all shot gathers

圖6　不同入射角范圍的ADCIGs的疊加結(jié)果(a) 入射角為0°～10°； (b) 入射角為10°～20°； (c) 入射角為20°～30°； (d) 入射角為30°～40°； (e) 入射角為40°～50°； (f) 入射角為0°～50°.Fig.6　The stack results of ADCIGs with different incident angle (IA)(a) From 0 to 10 degree； (b) From 10 to 20 degree； (c) From 20 to 30 degree； (d) From 30 to 40 degree； (e) From 40 to 50 degree；(f) From 0 to 50 degree.

圖7　不同入射角范圍的ADCIGs的疊加結(jié)果(a) 入射角為0°～10°； (b) 入射角為10°～20°； (c) 入射角為20°～30°； (d) 入射角為30°～40°.Fig.7　The stack results of ADCIGs with different incident angle (IA)(a) From 0 to 10 degree； (b) From 10 to 20 degree； (c) From 20 to 30 degree； (d) From 30 to 40 degree.

圖8　入射角為0°～45°的ADCIGs的疊加結(jié)果Fig.8　The stack result of ADCIGs with IA from 0 to 45 degree

圖9　不同地表位置的ADCIGs(最大入射角為60°)Fig.9　The ADCIGs of different place (the maximum incident angle is 60 degree)

圖6展示的是不同入射角范圍的ADCIGs的疊加結(jié)果.圖6所示的偏移結(jié)果與地下構(gòu)造的實際角度照明情況一致(如圖6(a—e)中第一個反射界面的照明情況所示)，進一步證明本文提出的角度域成像方法具有較高的角度分辨率，可以準確地得到地下界面的角度照明情況，生成高質(zhì)量的ADCIGs.成像中的有效信號(入射波與反射波的相關(guān)結(jié)果)主要集中在ADCIGs的中、小入射角范圍內(nèi)，ADCIGs的大入射角的能量多為炮點的反射波、折射波與檢波點的反射波相關(guān)后的結(jié)果，是成像中的低頻噪音部分.因此，用ADCIGs的中、小入射角范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)進行疊加即可得到最終的偏移結(jié)果.圖6f展示了入射角范圍為0～50°的ADCIGs的疊加結(jié)果，該圖即為最終的偏移結(jié)果.

3.2Marmousi模型

用本文的角度域成像方法計算Marmousi模型的ADCIGs.為了改善地下構(gòu)造的角度照明情況，這里設(shè)計了如下觀測系統(tǒng)：炮點間隔100 m，檢波點間隔25 m；炮點范圍從地表x=3.6 km到x=9.0 km；每一炮的接收排列均從地表x=3.0 km到x=9.0 km.根據(jù)前面分析得到的結(jié)論可知，ADCIGs的中、小入射角范圍內(nèi)的能量是成像中的有效信號成分，大入射角的能量是成像中的低頻噪音成分.因此，在成像過程中本文只生成中、小入射角范圍的ADCIGs.圖7(a—d)分別展示了入射角范圍為0～10°、10～20°、20～30°和30～40°的ADCIGs的疊加結(jié)果.圖8是所有入射角(0～45°)的ADCIGs的疊加結(jié)果，圖9是不同地表位置的ADCIGs，ADCIGs的入射角范圍為0～60°.圖7、圖8和圖9證明了本文提出的角度域成像條件可以準確地獲得地下構(gòu)造的角度照明情況，生成高質(zhì)量的ADCIGs.

4　結(jié)論與討論

波矢量方向計算和局部平面波分解是角度域成像條件的兩個核心內(nèi)容.本文提出一種利用波動方程的柯西條件構(gòu)造柯西波場(CWF)的方法，并以CWF為基礎(chǔ)實現(xiàn)波矢量方向計算和局部平面波分解，從而實現(xiàn)角度域成像條件并生成ADCIGs.CWF是根據(jù)波動方程的柯西條件構(gòu)造的只含原波場負頻率成分的復(fù)值波場，因此可以根據(jù)CWF在波數(shù)域的振幅譜計算波矢量方向.另外，本文還提出一種以CWF為基礎(chǔ)的局部平面波快速分解方法.該方法根據(jù)CWF在角度域的能量分布情況設(shè)計相應(yīng)的角度濾波器，并用該濾波器實現(xiàn)局部平面波的快速分解，保證實現(xiàn)角度域成像條件的計算效率.根據(jù)測不準原理，局部平面波的角度分辨率主要受局部空間窗的孔徑和波前的曲率影響，而局部平面波的角度分辨率將決定生成的ADCIGs的角度分辨率.在本文提出的角度域成像方法中，CWF是最核心的內(nèi)容，它是本文計算波矢量方向和實現(xiàn)局部平面波分解的基礎(chǔ).本文提出的CWF構(gòu)造方法以快速Fourier變換為基礎(chǔ)，具有較高的計算效率，保證了該方法的實用性.本文相關(guān)的數(shù)值實驗證明本文提出的角度域成像條件可以生成高質(zhì)量的ADCIGs.

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(本文編輯胡素芳)

Cauchy wave field and its application in angle-domain imaging condition

WANG Xiong-Wen1， WANG Hua-Zhong1， QIAN Jian-Liang2

1SchoolofOceanandEarthScience,TongjiUniversity,Shanghai200092，China2DepartmentofMathematics,MichiganStateUniversity,EastLansing,MI, 48824，U.S.A.

Angle Domain Common-Imaging Gathers (ADCIGs) is an important output of pre-stack depth migration. It is the basis of migration velocity analysis, anisotropy analysis and AVA analysis. However, there are still a lot of problems that reduce the efficiency of the existing ADCIGs generating methods and hinder the application of ADCIGs.Methods used to generate ADCIGs are mainly divided into two types: direct and indirect methods. For the direct methods, wave vector computing method and local plane wave decomposing method are the most important for realizing angle domain imaging condition.They decide the efficiency of imaging condition and the quality of ADCIGs. In order to perfect the exiting methods, we propose a new wave vector computing method and an efficient local plane wave decomposing method in this paper. The new method proposed in this paper utilizes the Cauchy condition of wave equation at any given time to generate a complex-valued wave field called Cauchy Wave Filed (CWF), which contains the negative frequencies of original wave fields only. Since CWF contains negative frequencies only, the energy distribution of CWF in wave number domain reveals the propagating direction of original wave fields. The only added cost of new method is the generation of CWF when imaging condition is applied. Therefore, it avoids additional In Out cost and is an efficient method to computing the wave vector. In addition, an efficient local plane wave decomposing method is also proposed in this paper to reduce the computation cost of ADCIGs and make the new method applicable. With CWF and local plane wave, we give an efficient angle-domain imaging condition. The numerical examples given in this paper prove that the ADCIGs obtained by the new proposed method has an ideal angle resolution, and have the ability to reveal the angle illumination of subsurface.KeywordsCauchy Wave Field (CWF); Polarization of wave vector; Local plane wave decomposition; Angle-domain imaging condition; Angle-domain common-imaging gathers

10.6038/cjg20161024.

國家“973”重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃項目(2011 CB201002)，國家自然科學(xué)基金(41374117)以及國家重大專項(2011ZX05005-005-008HZ, 2011ZX05006-002, 2011ZX05023)聯(lián)合資助.

王雄文，男，1983年出生，同濟大學(xué)海洋與地球科學(xué)學(xué)院博士畢業(yè)生. 主要從事地震信號處理、疊前深度偏移和速度分析等研究. E-mail: xiongwenwang@gmail.com

10.6038/cjg20161024

P631

2015-07-03，2016-01-28收修定稿

王雄文， 王華忠， 錢建良. 2016. 柯西波場及在角度域成像條件中的應(yīng)用. 地球物理學(xué)報，59(10):3798-3809,

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