田行偉，石　瑩，高　陽，蔣函彤，王子寧

(1. 哈爾濱學院 工學院，哈爾濱 150086;2.黑龍江大學 電子工程學院，哈爾濱 150080)

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非線性非方廣義系統(tǒng)降階Kalman狀態(tài)估值器

田行偉1，石瑩2,*，高陽1，蔣函彤1，王子寧1

(1. 哈爾濱學院 工學院，哈爾濱 150086;2.黑龍江大學 電子工程學院，哈爾濱 150080)

利用Taylor級數(shù)展開法將非線性非方廣義系統(tǒng)線性化，再利用奇異值分解方法將線性化后的非方廣義系統(tǒng)降階為等價正常系統(tǒng)；基于Kalman濾波理論，得到非線性非方廣義系統(tǒng)Kalman狀態(tài)預報器和濾波器。并給出了數(shù)值Matlab仿真算例，驗證了所提方法的有效性。

非方廣義系統(tǒng);Kalman濾波;奇異值分解;Taylor級數(shù)展開

近年來，非線性系統(tǒng)狀態(tài)估值問題一直是控制理論界研究的熱點問題之一。關于非線性系統(tǒng)狀態(tài)估值的研究成果不斷涌現(xiàn)[1-10]。但這些成果，多數(shù)是針對非線性正常系統(tǒng)進行驗證討論，對于更復雜的非方廣義非線性系統(tǒng)的討論還很少涉及。因此基于經(jīng)典Kalman狀態(tài)估值理論，研究非線性非方廣義系統(tǒng)降階Kalman估值器有重要的理論價值。

利用Taylor級數(shù)展開方法，把非線性非方廣義系統(tǒng)轉化為線性非方廣義系統(tǒng)；再利用奇異值分解理論，基于經(jīng)典Kalman狀態(tài)估值理論，得到非線性非方廣義系統(tǒng)降階Kalman預報器和濾波器。通過數(shù)值仿真算例，驗證了Taylor級數(shù)展開和奇異值分解方法應用于非線性非方廣義系統(tǒng)降階Kalman狀態(tài)估值器的正確性。

1　非線性非方廣義系統(tǒng)降階Kalman狀態(tài)估值器

考慮隨機非線性離散非方廣義系統(tǒng)

(1)

(2)

其中k為離散時間，狀態(tài)變量x(k)∈Rn，觀測變量y(k)∈Rm，輸入噪聲w(k)，觀測噪聲v(k)f(·)，g(·)和h(·)對x(k)是可微的，M∈Rp×n是奇異常數(shù)矩陣，且rankM=r

假設1w(k)和v(k)是零均值相關白噪聲

其中E為均值符號，T為轉置符號，δkk=1，δkj=0(k≠j)。

假設2系統(tǒng)(1)和(2)是強可控的[10]

(3)

(4)

(5)

(6)

其中

(7)

(8)

(9)

由于rankM=r，根據(jù)矩陣奇異值分解，存在正交矩陣U∈Rp×p，V∈Rn×n，使得

(10)

式中Σ=diag(σ1,σ2,…,σr)，σi(i=1,2,…,r)為矩陣M的奇異值。

(11)

推導系統(tǒng)得

(12)

分解得到

(13)

(14)

(15)

其中x1(k)∈Rr，x2(k)∈Rn-r，式(13)～式(15)為非方廣義系統(tǒng)的奇異值標準形式。由式(14)可得

(16)

(17)

將式(17)代入式(13)～式(15)得到一個r維子系統(tǒng)

(18)

(19)

其中

經(jīng)過Taylor展開和奇異值方法將非方廣義系統(tǒng)(1)～(2)等價轉換得到系統(tǒng)(13)～(15)。下文將針對系統(tǒng)(13) ～(15)給出Kalman預報器、濾波器。

定理1非線性非方廣義系統(tǒng)(1)～(2)在假設條件1、2下，有降階Kalman預報器為

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

證明：根據(jù)遞推射影定理，對式(18)取射影得到

(29)

其中ε(k)是新息過程，對式(19)兩邊取射影得到

(30)

將式(19)代入上式并且由預報誤差

有

(31)

由式(18)和式(31)有

(32)

(33)

由上式推導得到

(34)

其中定義預報誤差方差陣

(35)

(36)

對式(18)取射影運算有

(37)

將式(34)～式(37)代入式(29)得到遞推Kalman預報器

(38)

(39)

引出遞推預報誤差陣方程

(40)

(41)

由射影定理可知

(42)

得到

(43)

由式(17)取射影有

(44)

(45)

下面推導得誤差方差陣。

(46)

(47)

(48)

證畢。

定理2非線性非方廣義系統(tǒng)(1)～(2)在假設條件1、2下，有降階Kalman濾波器為

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

定理2證明過程與定理1相似，證略。

3　數(shù)值仿真算例

考慮非線性非方廣義系統(tǒng)

(59)

(60)

解：將非線性非方廣義系統(tǒng)式(59)、式(60)經(jīng)過Taylor級數(shù)展開線性化后得到

仿真結果見圖1～圖2，圖1中實線為真值x(k)，虛線為Kalman狀態(tài)估值器。圖2中實線代表預報器誤差累積和，虛線代表濾波器誤差累積和。由圖2可見，非線性非方廣義系統(tǒng)降階Kalman濾波器估計精度高于預報器，驗證了理論推導的正確性。

(a)x1(k)和Kalman預報器

(b)x2(k)和Kalman預報器

(c)x1(k)和Kalman濾波器

(d)x2(k)和Kalman濾波器

圖1非線性非方廣義系統(tǒng)降階Kalman狀態(tài)估值器

Fig.1Reduced-order kalman state estimators for nonlinaer nonsquare descriptor systems

(a)x1(k)的Kalman估值誤差累積平方和曲線

(b)x2(k)的Kalman估值誤差累積平方和曲線

4　結　論

本文基于強可控和正則性條件，通過Taylor級數(shù)展開的方法，將非線性非方廣義系統(tǒng)化為線性非方廣義系統(tǒng)，進一步應用經(jīng)典Kalman濾波理論，基于廣義逆和奇異值理論，提出非線性非方廣義系統(tǒng)降階Kalman預報器、濾波器。通過數(shù)值算例仿真，驗證了非線性非方廣義系統(tǒng)降階Kalman狀態(tài)估值器的正確性。

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Reduced order Kalman state estimators for nonlinear non-square descriptor systems

TIAN Hang-Wei1, SHI Ying2,*, GAO Yang1, JIANG Han-Tong1, WANG Zi-Ning1

(1.SchoolofTechnology,HarbinUniversity,Harbin150086,China;2.SchoolofElectrcnicsEngineering,HeilongjiangUniversity,Harbin150080,China)

Taylor series expansion is used to making the nonlinear non-square descriptor systems to be linearized, then using singular value decomposition method to reduced a normal system. Basing on Kalman filtering theory, the state Kalman filter and predictor for the nonlinear non-square descriptor systems are presented. The simulation example is given to show the correctness and effectiveness of the proposed algorithm.

non-square descriptor systems;Kalman filter;singular value decomposition;Taylor series expansion

10.13524/j.2095-008x.2016.02.029

2016-05-05

國家自然科學基金資助項目(61174139)；哈爾濱學院學生科研項目(HXS2015-0011)

田行偉(1983-)，男，黑龍江哈爾濱人，講師，研究方向：控制理論與控制工程，E-mail: tianhangwei2000@163.com；*通訊作者：石瑩(1971-)，女，河北安國人，教授，博士，研究方向：控制理論與控制工程，E-mail: shiying89@tom.com。

TP274.2

A

2095-008X(2016)02-0072-07