黃 虎，柯 華，王 晶

（1.同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200092；2.南開大學(xué)商學(xué)院，天津300071）

基于逆加權(quán)參數(shù)估計(jì)方法的改進(jìn)型Q控制圖研究

黃 虎1，柯 華1，王 晶2?

（1.同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200092；2.南開大學(xué)商學(xué)院，天津300071）

傳統(tǒng)Q控制圖直接用樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)未知的過程參數(shù)，由于這些估計(jì)值容易受到初始階段偏移的影響，這使得其對該階段的偏移檢出力不強(qiáng).對此，本文提出了一種逆加權(quán)參數(shù)估計(jì)方法，并將其應(yīng)用到Q控制圖中，提出了逆加權(quán)Q控制圖.另外針對改進(jìn)后控制圖對小偏移檢測不靈敏的缺點(diǎn)，提出了EWMA—逆加權(quán)Q控制圖.進(jìn)而通過MATLAB仿真對傳統(tǒng)Q控制圖，逆加權(quán)Q控制圖以及EWMA—逆加權(quán)Q控制圖的ARL進(jìn)行了比較，結(jié)果表明逆加權(quán)Q控制圖和EWMA—逆加權(quán)Q控制圖的性能要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)Q控制圖.

統(tǒng)計(jì)過程控制；Q控制圖；逆加權(quán)參數(shù)估計(jì)；EWMA—逆加權(quán)Q控制圖；Monte Carlo仿真

1 引 言

控制圖是實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)過程控制（statistical process control，SPC）的重要工具，廣泛應(yīng)用于對過程質(zhì)量的監(jiān)控.傳統(tǒng)控制圖例如休哈特控制圖，CUSUM控制圖以及EWMA控制圖等均假設(shè)過程均值和方差已知.然而實(shí)際應(yīng)用中，特別是在生產(chǎn)初始階段和小批量生產(chǎn)環(huán)境下，有些參數(shù)往往是未知的.所以在構(gòu)建傳統(tǒng)控制圖時，首先需要采集受控階段的樣本對未知的過程質(zhì)量特性參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，然后用參數(shù)的估計(jì)值構(gòu)建控制圖來對第二階段進(jìn)行監(jiān)控.如果缺乏足夠的樣本，所構(gòu)建的控制圖虛發(fā)警報的概率將會大大增加［1］.另外，參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確與否，直接決定了控制圖性能的好壞，因此控制圖的參數(shù)估計(jì)問題逐漸受到人們的重視，并且越來越多的學(xué)者開始關(guān)注這個領(lǐng)域［2-6］.

自啟動控制圖是解決這個問題最好的方式.Hawkins［7］最早提出了用移動平均值來估計(jì)過程均值的控制圖.Quesenberry［8-10］在上世紀(jì)九十年代提出了Q控制圖，它只需要很少的樣本就能實(shí)現(xiàn)監(jiān)控，但其對初始階段偏移檢測不靈敏的缺陷，大大限制了它的應(yīng)用.因此，Castillo等［11］提出了基于EWMA控制圖的EWMA-Q控制圖和自適應(yīng)卡爾曼濾波法的Q控制圖，提升了Q控制圖檢測小偏移的靈敏度.Zantek［12］用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法對Q控制圖在檢測不同偏移的平均運(yùn)行鏈長（ARL）的分布進(jìn)行了研究.后來，Wu［13］，Li［14，15］等人將Q控制圖與CUSUM控制圖結(jié)合提出了自適應(yīng)CUSUM-Q控制圖，一定程度上優(yōu)化了Q控制圖檢測小偏移量的性能.另外Celano［16］，Kazemzadeh等［17］在EWMA控制圖和Q控制圖的基礎(chǔ)上，提出了EWMA-t控制圖.在國內(nèi)，李韶華等［18］將可變抽樣區(qū)間的均值控制圖（VSI control chart）與Q控制圖相結(jié)合構(gòu)建了VSIQ控制圖，使得即使在缺乏樣本數(shù)據(jù)情況下也能對生產(chǎn)過程進(jìn)行監(jiān)控，而且還能快速檢測出生產(chǎn)過程中的異常.崔敬巍等［19］提出了基于貝葉斯預(yù)測理論的改進(jìn)型單值Q控制圖.以上改進(jìn)都通過將Q控制圖與其他方法結(jié)合的方式來提高Q控制圖檢測小偏移量的能力，很少涉及Q控制圖本身.朱令嫻等［20］提出基于差分遞減權(quán)系數(shù)的加權(quán)Q控制圖，首次對Q控制圖的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行改造，并取得了很好的效果.

基于過程建模的思想，本文提出了一種全新的逆加權(quán)參數(shù)估計(jì)方法，其大大減小了偏移對過程參數(shù)估計(jì)值的影響.并將新估計(jì)方法應(yīng)用到Q控制圖中，提出了逆加權(quán)Q控制圖和EWMA—逆加權(quán)Q控制圖，很大程度的提高了Q控制圖性能.文章首先探討了基于過程建模思想的逆加權(quán)參數(shù)估計(jì)方法，并對新提出的估計(jì)方法的無偏性和魯棒性進(jìn)行了證明.在此基礎(chǔ)上，將新的估計(jì)方法應(yīng)用到對過程均值的估計(jì)上，并給出在過程均值未知，方差已知情況下的Q統(tǒng)計(jì)量.另外針對改進(jìn)后控制圖檢測小偏移不靈敏的缺點(diǎn)，提出了EWMA—逆加權(quán)Q控制圖.進(jìn)而通過Monte Carlo仿真分析方法，對傳統(tǒng)Q控制圖以及兩種改進(jìn)型Q控制圖的ARL進(jìn)行了對比研究.

2 逆加權(quán)估值方法

在小批量生產(chǎn)環(huán)境下以及生產(chǎn)過程初始階段，很難獲得過程均值的信息，所以就需要用樣本數(shù)據(jù)對過程均值進(jìn)行估計(jì).而Q控制圖就是直接使用樣本的移動平均值來估計(jì)過程均值，所以只需要很少的樣本就能實(shí)現(xiàn)監(jiān)控.但如果初始階段發(fā)生了偏移，作為過程均值估計(jì)的移動平均值也會發(fā)生同方向偏移，這就造成初始階段發(fā)生的偏移很難被檢測出來，且發(fā)生偏移時間越早，越難被檢測出來.對此，本文提出了用移動平均值的均值來作為過程均值的估計(jì)，本質(zhì)上是一種逆向加權(quán)估值方法.根據(jù)EWMA控制圖的思想，在加工過程中距今越近的觀測值反映當(dāng)前過程質(zhì)量信息越多，距今越遠(yuǎn)的觀測值代表著更多的過程本身的信息.因此，在估計(jì)過程均值時，距今越遠(yuǎn)的觀測值，其在過程參數(shù)的估計(jì)中所占的權(quán)重就應(yīng)該越大.另外，從Q控制圖ARL的分布［12］可以看出，如果一次抽樣后又連續(xù)抽樣了n次，且均未檢測出異常，n越大，就可以斷定系統(tǒng)當(dāng)時處于正常狀態(tài)的概率也就越大，因?yàn)槿绻霈F(xiàn)了異常，且連續(xù)n次還未被檢測出來的概率很小.因此，如果觀測值距今越遠(yuǎn)，且至今未被檢測出異常，說明當(dāng)時系統(tǒng)處于正常狀態(tài)的概率越大，所以在對過程均值進(jìn)行估計(jì)時，其所占的權(quán)重也應(yīng)該越大.而越靠后的觀測值，因?yàn)檫€沒有足夠的證據(jù)證明其未發(fā)生偏移，所以其權(quán)重應(yīng)該越小.同時，使用這種逆向加權(quán)的方法來估計(jì)過程均值，還可以減小過程偏移對參數(shù)估計(jì)的影響.

傳統(tǒng)Q控制圖都用移動平均值來估計(jì)過程均值

而本文將采用移動均值的均值作為過程均值的估計(jì)量

假設(shè)過程均值為μ0，則有

因此新估計(jì)值是過程均值的無偏估計(jì)量.

當(dāng)過程均值發(fā)生偏移時，估計(jì)值也會發(fā)生同方向偏移.假設(shè)生產(chǎn)過程中，從開始到第m次抽樣時系統(tǒng)正常，從第m+1次抽樣開始，過程均值發(fā)生偏移量為δσ的永久性偏移，方差不變.當(dāng)發(fā)生偏移前，即當(dāng)i≤m時，

當(dāng)發(fā)生偏移后，即當(dāng)i=m+j（j=1,2,3,...）時，

則移動均值估計(jì)量的期望值為

加權(quán)估計(jì)量的期望值為

顯然

3 Q控制圖的改進(jìn)

為了解決生產(chǎn)過程剛啟動時以及多品種小批量生產(chǎn)環(huán)境下的質(zhì)量控制問題，Quesenberry［8-10］于上世紀(jì)九十年代提出了Q控制圖.其將服從同一總體分布的質(zhì)量特征值進(jìn)行變換，并計(jì)算相應(yīng)分布的統(tǒng)計(jì)概率，然后利用Fisher的經(jīng)典概率積分變換定理將統(tǒng)計(jì)概率值轉(zhuǎn)化成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，從而得到一種標(biāo)準(zhǔn)化控制圖，其中心線和控制限分別為UCL=+3,CL=0,LCL=-3.Q控制圖可分為計(jì)數(shù)Q控制圖和計(jì)量Q控制圖.計(jì)數(shù)Q控制圖又包括統(tǒng)計(jì)合格品率的二項(xiàng)分布Q控制圖和統(tǒng)計(jì)個數(shù)的泊松分布Q控制圖.計(jì)量Q控制圖中，根據(jù)過程參數(shù)μ和σ是否已知，又分為過程均值μ和σ均已知；過程均值μ未知，σ已知；過程均值μ已知，σ未知；過程均值μ和σ均未知四種情形.本文主要考慮第二種情形即過程參數(shù)μ未知，σ已知，并假設(shè)過程均值服從正態(tài)分布，即.傳統(tǒng)Q控制圖用i作為過程均值的估計(jì)，其Q統(tǒng)計(jì)量為

所以，使用新估計(jì)值后的Q統(tǒng)計(jì)量為

同時針對傳統(tǒng)Q控制圖對小偏移量檢出力不足的缺點(diǎn)，本文將EWMA控制圖的思想引入新Q控制圖中，提出了EWMA—逆加權(quán)Q控制圖.

令

則有

因?yàn)?/p>

所以，當(dāng)過程均值未知，方差為σ0，EWMA—加權(quán)Q控制圖的Q統(tǒng)計(jì)量為

在實(shí)際應(yīng)用中，一般每組抽取的樣本容量均為n，當(dāng)n=1時，為單值Q控制圖.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

平均運(yùn)行鏈長（average run length，ARL）反映了控制圖在監(jiān)控過程中誤發(fā)和漏發(fā)警報的風(fēng)險［21］.其分為受控時的ARL和失控時的ARL.受控時ARL是指控制圖從開始進(jìn)行控制直到第一次發(fā)出警報為止所經(jīng)歷的平均抽樣次數(shù).顯然，為了減少誤發(fā)警報的風(fēng)險，受控ARL應(yīng)該越大越好.失控時ARL是指從生產(chǎn)過程失控開始到第一次發(fā)出警報所需要的平均抽樣次數(shù).相反，為了減小漏發(fā)警報的風(fēng)險，失控時ARL應(yīng)該越小越好.因此，ARL成為了評價控制圖性能最好的指標(biāo)［22］.

通過蒙特卡洛仿真的方法，用MATLAB來模擬生產(chǎn)初始階段過程均值發(fā)生不同偏移的情形，然后計(jì)算各種情形下改進(jìn)Q控制圖，傳統(tǒng)Q控制圖以及參數(shù)已知的Q控制圖的ARL.

實(shí)驗(yàn)步驟：

步驟1假設(shè)生產(chǎn)過程開始后從第m+1次抽樣開始發(fā)生偏移量為δσ的永久性偏移，本次實(shí)驗(yàn)每次抽樣樣本量n=5，偏移發(fā)生時段m=｛5,10,20,30｝，偏移量δ=｛0,0.5,0.8,1,1.2,1.5,1.8,2,2.5,3｝.

步驟2用MATLAB模擬各種情形下的生產(chǎn)過程，然后分別使用三種控制圖對生產(chǎn)過程進(jìn)行監(jiān)控，并記錄每種控制圖的運(yùn)行鏈長.

步驟3為了能夠準(zhǔn)確估計(jì)各種情況下每個控制圖的ARL.每一組參數(shù)（m,）進(jìn)行5 000次試驗(yàn)，然后計(jì)算各種控制圖的ARL.本次實(shí)驗(yàn)取EWMA-Q控制圖的加權(quán)系數(shù)λ=0.1.

為了方便比較，令各種控制圖漏發(fā)警報的概率相等且均為0.27%，此時受控時ARL=370.運(yùn)行結(jié)果如表1.

從運(yùn)行結(jié)果可以看出，在虛發(fā)警報風(fēng)險相同的情況下，對于過程初期出現(xiàn)的偏移，特別出現(xiàn)在m=5,10時，兩種逆加權(quán)Q控制圖的檢出速度要顯著優(yōu)于傳統(tǒng)Q控制圖.對于一些偏移量在1.5σ0以下的微小偏移，EWMA—逆加權(quán)Q控制圖的性能要顯著優(yōu)于另外兩種控制圖，其檢出速度要比傳統(tǒng)Q控制圖提升了幾倍甚至幾十倍.例如對于從第5次抽樣后出現(xiàn)的1σ0的偏移，傳統(tǒng)控制圖平均需要207組樣本才能檢測出來，逆加權(quán)Q控制圖平均也需要近75組，而EWMA—逆加權(quán)Q控制圖平均只需要近7組，檢出速度提升了幾十倍；對于從第10次抽樣后出現(xiàn)的1.2σ0的偏移，傳統(tǒng)控制圖平均需要46組樣本才能檢測出來，逆加權(quán)Q控制圖平均也需要6組左右的樣本，而EWMA—逆加權(quán)Q控制圖平均只需要3組左右的樣本.

由于EWMA—逆加權(quán)Q控制圖中當(dāng)前權(quán)重λ+（1-λ）i會隨著抽樣次數(shù)增多而逐漸減小，而參數(shù)估計(jì)值會逐漸趨于穩(wěn)定，所以對于后期發(fā)生的較大的偏移，其檢測靈敏度反而會下降.所以造成運(yùn)行結(jié)果中在m=30后發(fā)生較大偏移時的ARL均大于對應(yīng)的m=20時的ARL.但隨著樣本的增大，（1-λ）i會逐漸趨于零，EWMA—逆加權(quán)Q控制圖會逐漸趨近于傳統(tǒng)EWMA控制圖.

表1 三種控制圖的ARL對比表Table 1 ARL values for the three control charts

雖然對于后期發(fā)生的較大偏移，傳統(tǒng)控制圖和逆加權(quán)Q控制圖要優(yōu)于EWMA—逆加權(quán)Q控制圖，綜合來看，EWMA—逆加權(quán)Q控制圖在過程初期的性能要優(yōu)于逆加權(quán)Q控制圖和傳統(tǒng)Q控制圖.

5 結(jié)束語

本文首先探討了基于過程建模思想的逆加權(quán)參數(shù)估值方法，對新提出的參數(shù)估值方法的無偏性以及魯棒性進(jìn)行了證明.并將新的均值參數(shù)估計(jì)方法應(yīng)用到Q控制圖上，提出了逆加權(quán)Q控制圖.并針對改進(jìn)后逆加權(quán)Q控制圖對初期小偏移量檢出力不強(qiáng)的缺點(diǎn)，提出了EWMA-逆加權(quán)Q控制圖，進(jìn)而通過Monte Carlo仿真分析方法，對傳統(tǒng)Q控制圖，逆加權(quán)Q控制圖和EWMA—逆加權(quán)Q控制圖在各種狀況下的平均運(yùn)行鏈長（ARL）進(jìn)行了對比分析，結(jié)果表明采用新參數(shù)估計(jì)方法的逆加權(quán)Q控制圖和EWMA—逆加權(quán)Q控制圖對異常的檢出速度要優(yōu)于傳統(tǒng)Q控制圖.

但是，由于關(guān)于逆加權(quán)Q控制圖的研究還處于起步階段，仍然存在很多的不足，未來可以從以下方面做進(jìn)一步研究和完善.首先，雖然仿真實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明了逆加權(quán)方法的可行性和有效性，但關(guān)于權(quán)重選擇的理論依據(jù)以及是否存在更好的逆加權(quán)方法等還需要進(jìn)一步研究.其次，可以將前人對Q控制圖的改進(jìn)應(yīng)用到新Q控制圖上，例如與CUSUM控制圖，可變抽樣區(qū)間等思想結(jié)合，從而進(jìn)一步提升控制圖的性能.

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Improved Q chart based on inverse weighted parameter estimation

Huang Hu1，Ke Hua1，Wang Jing2?
（1.School of Economics and Management，Tongji University，Shanghai 200092，China；2.Business School，Nankai University，Tianjin 300071，China）

Traditional Q charts estimate the unknown parameters through the process samples directly. The estimated parameters，however，are often susceptible to the initial shift.Such impacts make Q charts insensitive to the shift in the initial stage.Thus，in this paper，a novel inverse weighted parameter estimation method is proposed.Meanwhile，the unbiasedness and robustness of this new method is proved.Moreover，an inverse weighted Q chart and an EWMA-inverse weighted Q chart are presented based on the new method.A comparison among the traditional Q Chart，the inverse weighted Q Chart and the EWMA-inverse weighted Q Chart is conducted by MATLAB simulation.The results demonstrate that the performance of the modified Q charts is superior to the traditional one.

statistical process control；Q chart；inverse-weighted parameter estimation；EWMA-inverse weighted Q Chart；Monte Carlo simulation

TP273

A

1000-5781（2016）04-0568-07

10.13383/j.cnki.jse.2016.04.014

黃 虎（1990—），男，湖北恩施人，碩士生，研究方向：統(tǒng)計(jì)過程控制，質(zhì)量管理，智能算法，不確定多層規(guī)劃等，Email：huanghu0213@163.com；

柯 華（1979—），男，浙江臺州人，博士，副教授，研究方向：隨機(jī)過程，不確定規(guī)劃，智能算法，不確定多層規(guī)劃，項(xiàng)目進(jìn)度優(yōu)化與管理等，Email：hke@#edu.cn；

王 晶（1982—），女，河北石家莊人，博士，講師，研究方向：質(zhì)量管理，統(tǒng)計(jì)過程控制，響應(yīng)曲面，穩(wěn)健性設(shè)計(jì)等，Email：wangjingteda@nankai.edu.cn.

2014-01-18；

2014-09-04.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71371141；71001080；71302016）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（NKZXB1164）.

*通訊作者