李錦成

(中國(guó)社會(huì)科學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟(jì)與技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究所，北京　100732)

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基于非對(duì)稱Copula函數(shù)度量影子銀行對(duì)A股市場(chǎng)的尾部影響性

李錦成

(中國(guó)社會(huì)科學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟(jì)與技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究所，北京100732)

線性相關(guān)性無(wú)法捕捉變量間非正態(tài)分布圖中上下尾相關(guān)性結(jié)構(gòu)，即當(dāng)影子銀行作為一個(gè)變量取較大值或者較小值時(shí)，對(duì)上證指數(shù)作為一個(gè)變量的取值是否有影響。而Copula函數(shù)可以有效刻畫各種變量間的尾部相關(guān)性，對(duì)于各種非線性相關(guān)性有很好的度量。金融時(shí)間序列通常呈現(xiàn)尖峰厚尾的形態(tài)，本文基于極值理論測(cè)算影子銀行與A股市場(chǎng)的尾部相關(guān)性，對(duì)二元數(shù)據(jù)聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系，采用Gumbel-copula和Clayton-copula函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，從而檢驗(yàn)中國(guó)影子銀行對(duì)A股市場(chǎng)的尾部影響性。

Copula函數(shù)；影子銀行；A股市場(chǎng)；尾部相關(guān)性

1.理論基礎(chǔ)

劉曉星和王金定(2010)指出許多金融資產(chǎn)的收益具有明顯的尖峰厚尾性，與正態(tài)分布假設(shè)相差較大。市場(chǎng)波動(dòng)較大時(shí)，線性相關(guān)系數(shù)無(wú)法反映出資產(chǎn)收益曲線的尾部相關(guān)特征，copula函數(shù)可以克服上述不足，提高模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。謝中華(2010)指出二元正太copula函數(shù)、t-copula函數(shù)和Frank-copula函數(shù)具有對(duì)稱的尾部，無(wú)法捕捉到隨機(jī)變量之間的非對(duì)稱的尾部相關(guān)關(guān)系，而二元Gumbel-copula函數(shù)和二元Clayton函數(shù)具有不對(duì)稱的尾部，能有效捕捉隨機(jī)變量幾件的非對(duì)稱尾部相關(guān)關(guān)系。本文利用這種方法結(jié)合影子銀行、上證指數(shù)和上證成交量月度對(duì)數(shù)收益率來(lái)檢驗(yàn)影子銀行對(duì)A股市場(chǎng)的影響性。

1.1 確定邊緣分布

首先，需要通過(guò)參數(shù)法或者非參數(shù)法來(lái)確定隨機(jī)變量的邊緣分布情況，參數(shù)法通過(guò)JB檢測(cè)函數(shù)、KS檢測(cè)函數(shù)和Lillie檢測(cè)函數(shù)的參數(shù)h值和p值來(lái)看序列是否符合正態(tài)分布形態(tài)，如果h值大于顯著性水平0.05下拒絕原假設(shè)，則認(rèn)為序列不服從正態(tài)分布。同時(shí)，要求p值在區(qū)間范圍內(nèi)。分別表達(dá)為：

其中，n為樣本容量，s為偏度，k為峰度。

KS=max(|Fn(x)-G(x)|)

其中，F(xiàn)n(x)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，G(x)為指定的分布函數(shù)。

KS=max|SCDF(x)-CDF(x)|

其中，SCDF(x)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，CDF(x)為指定分布的分布函數(shù)。

在任意點(diǎn)x處的總體密度函數(shù)f(x)的核密度估計(jì)表達(dá)式為：

1.2 確定聯(lián)合分布Copula函數(shù)類型

在確定了隨機(jī)變量的邊緣分布以后，需要進(jìn)一步通過(guò)Copula函數(shù)確定聯(lián)合分布。Copula函數(shù)分為正太分布的函數(shù)類型和非對(duì)稱的函數(shù)類型。金融事件學(xué)列的條件分布多呈現(xiàn)時(shí)變、偏斜、尖峰拖尾的特性，所以排除了正太Copula函數(shù)，利用阿基米德Copula函數(shù)中的非對(duì)稱Gumbel和Clayton函數(shù)來(lái)進(jìn)行擬合相關(guān)性參數(shù)。阿基米德分布函數(shù)表達(dá)式為：

其中，φ(u)是C(u1,u2，…,un)的生成元，滿足：φ(1)=0，對(duì)u∈[0,1]，有。φ′(u)<0,φ″(u)>0。

Copula函數(shù)通過(guò)把隨機(jī)向量X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,x2,…,Xn)與其單獨(dú)的邊緣分布函數(shù)Fx1(x1),…,Fxn(xn)連接后的連接函數(shù)，即函數(shù)C(μ1,μ2,…,μN(yùn))，使

F(x1,x2,…,xn)=C[Fx1(x1),Fx2(x2),…,Fxn(xn]

Gumbel-copula函數(shù)表達(dá)式為：

假設(shè)φ為連續(xù)遞減的凸函數(shù)φ[0,1]→[0,+∞]，其中φ(1)=0，φ(u)+φ(v)≤φ(0)。定義一個(gè)copula函數(shù)，函數(shù)φ有：

C(u,v)=φ-1[φ(u)+φ(v)]u,v∈[0,1]

如果φ(t)=(-logt)?，?∈[1,+∞]，則：

1.3 尾部相關(guān)分析與Copula函數(shù)的相關(guān)性分析

謝中華(2010)指出通過(guò)二元Copula函數(shù)檢驗(yàn)尾部相關(guān)性，即滿足定義域?yàn)閇0,1]×[0,1]，零基面且二維遞增、對(duì)于任何u,v∈[0,1]滿足C(u,1)=u,C(1,v)=v的函數(shù)C(u,v)，假設(shè)F(x)與G(y)為連續(xù)一元函數(shù)，令U=F(x)，V=G(y)，即U，V均服從[0,1]上的均勻分布，則C(u,v)為邊緣分布均為[0,1]上均勻分布的二元聯(lián)合分布函數(shù)，即定義域上的任何一個(gè)點(diǎn)(u,v)，有0≤C(u,v)≤1。

通常在研究隨機(jī)變量相關(guān)性分析時(shí)，多使用Kendall秩相關(guān)系數(shù)、Spearman秩相關(guān)系數(shù)和Pearson線性相關(guān)系數(shù)。公式定義為：

設(shè)定F(x),F(y)分別為隨機(jī)變量X，Y的邊緣分布，則X和Y的上尾、下尾的相關(guān)系數(shù)分別為：

其中：F-1(s)=inf{x|X>s},G-1(s)=inf{y|Y>s}。

如果：λup/λlo存在λup∈(0,1]，或：λlo∈(0,1]，則隨機(jī)變量X和Y存在漸進(jìn)上尾/下尾相關(guān)性。如果：λup≡0/λlo≡0，則二者間相互獨(dú)立。設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的邊緣分布分別為F(X)與G(Y)，則Copula函數(shù)為C(u,v)，則其與Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ、Speraman秩相關(guān)系數(shù)ρ、尾部相關(guān)系數(shù)λ的關(guān)系表達(dá)式為：

其中，U=F(x)～U(0,1),V=G(y)～U(0,1)

C(1-u,1-v)=P(U>u,V>v)=1-u-v+C(u,v)

則對(duì)于二元非正太copula函數(shù)有：

λlo(Gumbel-copula)=0，λup(Gumbel-copula)=2-21/α

λlo(Clayton-copula)=2-1/α，λup(Clayton-copula)=0

1.4 模型檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)

最后，利用平方歐式距離檢驗(yàn)copula函數(shù)的的擬合優(yōu)度，值越小擬合程度也越好，平方歐式距離表達(dá)式為：

2.實(shí)證研究

首先，對(duì)三個(gè)變量的時(shí)間序列進(jìn)行對(duì)數(shù)收益率處理后確定邊緣分布，用參數(shù)法，為了確定變量的分部類型，對(duì)中國(guó)影子銀行規(guī)模、上證指數(shù)、上證成交量月對(duì)數(shù)收益率分別設(shè)定為X、Y、Z，并作出頻率直方圖，如下圖1：

上圖1可以顯著看出，三個(gè)變量的分布均不對(duì)稱。然后，對(duì)變量進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，如下表1，三個(gè)變量的偏度均偏離0，峰度均大于3，影子銀行和上證指數(shù)呈左偏拖尾現(xiàn)象，上證成交量呈現(xiàn)右偏拖尾現(xiàn)象，即三者都為尖峰厚尾的特點(diǎn)。而正態(tài)分布是薄尾分布，初步斷定X、Y和Z不服從正態(tài)分布。然后，利于jbtest、kstest和lillietest函數(shù)對(duì)X、Y和Z進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：三種檢驗(yàn)H值均為1，p值處kstest外，多數(shù)小于0.01，而上證指數(shù)和上證成交量的K-S的P值和Lillie的P值又大于0.01，但極小。說(shuō)明三者基本不服從正態(tài)分布。

表1　統(tǒng)計(jì)值檢驗(yàn)

繼續(xù)利用非參數(shù)法確定X、Y和Z的分布。通過(guò)經(jīng)驗(yàn)累積分布(ECDF)函數(shù)求樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，作為總體分布函數(shù)的近似，并利用核光滑密度(ksdensity)函數(shù)估計(jì)總體的分布。如下圖2，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖和核分布估計(jì)圖幾乎重合。

圖2　中國(guó)影子銀行、上證指數(shù)、上證成交量月收益率的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖和核分布估計(jì)圖

通過(guò)確定影子銀行與上證指數(shù)的邊緣分布U=F(x)、V=G(x)，可以通過(guò)(Ui,Vi)(i=1,2,…n)二元直方圖的形狀確定copula函數(shù)。頻率直方圖可以作為(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)的估計(jì)。如下圖所示：頻率直方圖的尾部并不對(duì)稱，即(U,V)的copula密度函數(shù)不具有對(duì)稱的尾部。所以用非對(duì)稱Gumbel-copula或者Clayton-copula將更符合分布要求。

由于隨機(jī)變量邊緣分布中通常會(huì)存在未知參數(shù)，即copula函數(shù)中也存在未知參數(shù)，所以，通過(guò)最大似然估計(jì)來(lái)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。利用copulafit函數(shù)估計(jì)Gumbel-copula函數(shù)中的影子銀行與上證指數(shù)線性相關(guān)參數(shù)為：

α=1.0028

將α代入二元Gumbel-copula函數(shù)：

C(u1,u2,…,un)=exp[-((-lnu)(1.0028)+

二元Clayton中的線性相關(guān)參數(shù)α和自由度k的估計(jì)值為：

α=-0.0241

利用copulafit函數(shù)估計(jì)Gumbel-copula函數(shù)中的影子銀行與月度上證成交量線性相關(guān)參數(shù)為：

α=1.0021

將α代入二元Gumbel-copula函數(shù)：

二元Clayton中的線性相關(guān)參數(shù)α和自由度k的估計(jì)值為：

α=1.0011

以上估計(jì)了Gumbel-copula和Clayton-copula函數(shù)的參數(shù)，然后利用copulapdf函數(shù)和copulacdf函數(shù)分別制作Copula密度函數(shù)和分布函數(shù)圖：

圖5　影子銀行與上證指數(shù)二元Gumbel-copula密度函數(shù)和分布函數(shù)圖

圖6　影子銀行與上證指數(shù)二元Clayton-copula密度函數(shù)和分布函數(shù)圖

通過(guò)上圖中影子銀行與上證指數(shù)的密度函數(shù)圖可以看出，基于Gumbel的Copula函數(shù)的下尾有顯著性，而Clayton的Copula函數(shù)并沒(méi)有顯示出顯著的尾部相關(guān)性。正如謝中華(2010)指出的二元Gumbel Copula函數(shù)與二元Clayton Copula函數(shù)都可以描述隨機(jī)變量之間的非對(duì)稱的尾部相關(guān)性。如上圖所示，Gumbel Copula函數(shù)的密度函數(shù)呈現(xiàn)“J”字形，但本案例中“J”字形沒(méi)有十分顯著，也說(shuō)明影子銀行對(duì)上證指數(shù)的尾部相關(guān)性并不是很強(qiáng)，但仍然捕捉到了二者間上尾高和下尾低的敏感性變化，即上尾部具有相對(duì)下尾較強(qiáng)的相關(guān)性，而分布的下尾部變量間逐漸獨(dú)立。

圖8　影子銀行與上證成交量二元Clayton-copula密度函數(shù)和分布函數(shù)圖

通過(guò)上圖中影子銀行與上證成交量的密度函數(shù)圖可以看出，基于Clayton的Copula函數(shù)的下尾有顯著性，而Gumbel的Copula函數(shù)并沒(méi)有顯示出顯著的尾部相關(guān)性。如圖所示，Clayton Copula的密度函數(shù)呈現(xiàn)“L”形，即下尾高和上尾低的形態(tài)，這說(shuō)明了影子銀行與上證成交量的變化由Clayton Copula函數(shù)描述和捕捉到的下尾關(guān)系更好。同樣，Clayton Copula中下尾部有較強(qiáng)的相關(guān)性，而上尾部變量間是逐漸獨(dú)立的。這說(shuō)明產(chǎn)生正向收益率情況下，影子銀行與A股市場(chǎng)具有更高的相關(guān)性，也凸顯了影子銀行作為宏觀經(jīng)濟(jì)流動(dòng)性渠道會(huì)分流證券市場(chǎng)的流動(dòng)性。影子銀行對(duì)上證指數(shù)尾部相關(guān)性和對(duì)上證成交量尾部相關(guān)性分別為：

λup(Gumbel-copula)=2-21/α≈0.0039

λlo(Clayton-copula)=2-1/α=2-1/1.0011≈0.5004

有此參數(shù)可知，影子銀行對(duì)上證指數(shù)更適用于Gumbel Copula函數(shù)，即上尾部的影響性。參數(shù)值說(shuō)明當(dāng)影子銀行快速上升，上證指數(shù)發(fā)生相應(yīng)反饋的的概率為0.3%，影響性較小。比如央行突然收緊商業(yè)銀行信貸，導(dǎo)致影子銀行信貸規(guī)模短期快速增長(zhǎng)，這種影子銀行快速增長(zhǎng)的情況導(dǎo)致上證指數(shù)快速下跌的概率為0.3%，不是很顯著。同樣，影子銀行對(duì)上證成交量更適用于Clayton Copula函數(shù)，即下尾部的影響性。當(dāng)影子銀行快速下降，A股市場(chǎng)上海交易所上證成交量產(chǎn)生相應(yīng)反饋的概率為50%，其較為顯著。這也說(shuō)明了：影子銀行是金融市場(chǎng)流動(dòng)性的一個(gè)重要組成部分，對(duì)證券市場(chǎng)尤其是股市的存量資金或者增量交易資金有顯著影響性。

通過(guò)估計(jì)了Copula中的參數(shù)之后，繼續(xù)利用copulastat函數(shù)估計(jì)Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)。

表2　各項(xiàng)相關(guān)系數(shù)值

將以上求出的Kendall-Gumbel秩相關(guān)系數(shù)和Spearson-Gumbel秩相關(guān)系數(shù)與corr-Kendall和corr-Spearson對(duì)比發(fā)現(xiàn)，說(shuō)明了線性相關(guān)參數(shù)為α=-0.0241和α=-0.0332的Clayton-Copula函數(shù)較好的反映了影子銀行與上證指數(shù)、上證成交量月度對(duì)數(shù)收益率的秩相關(guān)關(guān)系。

表3　歐式平方距離檢測(cè)表

3.結(jié)論

通過(guò)利用非對(duì)稱Copula函數(shù)實(shí)證檢驗(yàn)中國(guó)影子銀行對(duì)A股市場(chǎng)的尾部相關(guān)性，可以看出，Copula函數(shù)可以有效檢驗(yàn)單個(gè)金融資產(chǎn)經(jīng)常出現(xiàn)的厚尾情況下的結(jié)構(gòu)性相關(guān)性，而這種尾部風(fēng)險(xiǎn)有必要被長(zhǎng)期跟蹤，原因是中國(guó)的股票市場(chǎng)波動(dòng)性較大，而貨幣超發(fā)情況也極為顯著。金融資產(chǎn)間存在的非線性關(guān)系通過(guò)Copula函數(shù)有效檢驗(yàn)，可以使我們有效觀察特殊情況下影子銀行與A股市場(chǎng)的尾部結(jié)構(gòu)相關(guān)關(guān)系。尾部風(fēng)險(xiǎn)是不可能獨(dú)立存在的，其互相影響程度是可被捕捉到的，非對(duì)稱的Gumbel-copula和Clayton-copula顯然提高了尾部風(fēng)險(xiǎn)影響性的精度，二者在密度函數(shù)圖中各呈現(xiàn)“L”形和“J”形形態(tài)分布。影子銀行對(duì)上證指數(shù)的尾部相關(guān)性在利用Gumbel Copula函數(shù)時(shí)更有意義，但尾部相關(guān)性只有0.3%，說(shuō)明影子銀行短期快速增長(zhǎng)時(shí)，對(duì)上證指數(shù)的影響性較小。影子銀行對(duì)上證成交量的尾部相關(guān)性在利用Clayton Copula函數(shù)時(shí)更有意義，且尾部相關(guān)性高達(dá)50%，說(shuō)明影子銀行短期快速下跌時(shí)，對(duì)A股市場(chǎng)上證成交量的影響性較大。

同時(shí)，經(jīng)過(guò)matlab制作的資產(chǎn)邊緣分布的概率二元直方圖和概率密度圖可以看出：二元copula函數(shù)中基于正態(tài)分布條件的橢圓copula函數(shù)(包括Guassian-copula和t-copula)顯然不適于本文的度量方法，而基于非正態(tài)性阿基米德copula中的Gumbel-copula函數(shù)較適合描述本文研究的影子銀行和股市。

[1]何德旭，李錦成.中國(guó)影子銀行與A股市場(chǎng)的相關(guān)性分析[J].上海金融，2015，04：77-82.

[2]李錦成.對(duì)1996—2015年中國(guó)影子銀行月度規(guī)模數(shù)據(jù)的測(cè)算[J].中國(guó)市場(chǎng)，2016，24：71-80.

[3]劉曉星，王金定.我國(guó)商業(yè)銀行流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)研究——基于Copula和高階ES測(cè)度的分析[J].廣東商學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，05：26-33.

[4]謝中華.MATLAB統(tǒng)計(jì)分析與應(yīng)用：40個(gè)案例分析[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2010.6.