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        一道幾何競賽題在圓錐曲線中的推廣

        2016-11-07 08:07:24張留杰王小平
        中學數(shù)學研究(江西) 2016年10期

        張留杰 王小平

        北京市陳經(jīng)綸中學 (100020)

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        一道幾何競賽題在圓錐曲線中的推廣

        張留杰王小平

        北京市陳經(jīng)綸中學(100020)

        圖1

        題目如圖1,A為⊙O外一點,過點A作⊙O的割線l與⊙O交于點B,C,B′為點B關于OA的對稱點.證明:OA與CB′的交點位置與直線l的選擇無關.

        這是第58屆白俄羅斯數(shù)學奧林匹克競賽的一道平面幾何題,問題結構雖然簡單,但是內涵十分豐富,尤其是將其推廣到圓錐曲線,能充分揭示圖中幾何元素之間的內在聯(lián)系,體現(xiàn)有心圓錐曲線的一類定值與定點問題.

        將圓壓縮為橢圓,可得

        圖2

        如果將橢圓改為雙曲線,利用參數(shù)法,同理可證此結論也是正確的;如果點A在y軸上,可得|OM|·|OA|=b2,點M的位置依然和直線l的選擇無關.

        所以可得如下結論:

        結論1已知中心在原點的有心圓錐曲線W,點A為曲線外x軸(y軸)上的一點,過A作曲線W的割線l,與曲線W交于點B、C,點B關于x軸(y軸)的對稱點為B′,連結CB′與x軸(y軸)交于點M,則點M的位置與直線l的選擇無關.

        根據(jù)推廣1,不難發(fā)現(xiàn)只要點A確定,點M就隨之唯一確定,點M和點A的這種對應關系中是否蘊含其它幾何特征呢?根據(jù)直線l的任意性,借助信息技術手段,我們發(fā)現(xiàn)當直線l運動為橢圓的切線時,點M恰好與過點A所引的兩條切線的切點共線.

        于是得出

        圖3

        若將橢圓改為雙曲線,同理可證此結論也是正確的.于是可得

        結論2已知中心在原點的有心圓錐曲線W,點A為曲線外x軸(y軸)上的一點,過A作曲線W的割線l,與W交于點B、C,點B關于x軸(y軸)的對稱點為B′,連結CB′與x軸(y軸)交于點M,過點A作直線l1⊥x軸(y軸),點P為l1上的任意一點,過點P作曲線W的兩條切線為PD,PE,切點分別為D,E,則點D,M,E三點共線.

        通過壓縮變換將圓中有關問題推廣到橢圓中,然后再推廣到雙曲線中,得到更有價值和意義的新問題,是我們研究幾何問題的一條途徑,也是探究有心圓錐曲線性質的一種常用方法.

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