蘭詩全

福建省古田縣第一中學(xué)　(352200)

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例談數(shù)學(xué)解題要“適法”

蘭詩全

福建省古田縣第一中學(xué)(352200)

通法，就是在解決問題(通常是某類問題)中具有普遍意義的方法．這種方法通常是以基礎(chǔ)知識為依據(jù)，以基本方法為技能，它的解法思想合乎一般的思維規(guī)律，其具體操作過程必須為全體學(xué)生所掌握．

巧法，著眼于提高．巧法的靈魂在于“巧”，即在于它整體地把握問題，靈活地運(yùn)用雙基，巧妙地使用條件，是抽象、概括、發(fā)散、合情推理的產(chǎn)物．巧法中的“關(guān)鍵一著”有不少不屬于學(xué)習(xí)內(nèi)容的主體，更有不少是一般學(xué)生不易掌握的，加之“巧”便意味著運(yùn)用面相對過窄，影響面小，所以教學(xué)中教師必須慎用．

適法，重在實(shí)用．適法的核心在于“適”，是具備實(shí)用性、針對性、靈活性、深刻性、本質(zhì)性的方法，是扎實(shí)數(shù)學(xué)功力的重要體現(xiàn)．所以師生在解題中必須立足通法，兼顧巧法，重在適法．

1.此法雖為通法但不是“適法”

例1設(shè)函數(shù)f(x)=logax.

(Ⅰ)若f(4)+f(2)=3，求a的值；

(Ⅱ)若f(2a)

解法1：(Ⅰ)(Ⅱ)略.

(1)m=0時，g(t)=-t+2在[-3,1]上單調(diào)遞減,∴g(t)min=g(1)=-1+2=1≥0,∴m=0滿足條件.

解法1是一權(quán)威考試卷中的標(biāo)準(zhǔn)答案．筆者認(rèn)為以上方法雖為通法，但不為“適法”．這種解法有點(diǎn)機(jī)械，顯得“笨手笨腳、呆頭呆腦”，達(dá)不到解題應(yīng)有的目的．

(mlog2x-1)=(log2x-2)(mlog2x-1)=

解法2簡捷明了，能針對本題特點(diǎn)，給人“且做且思”、“靈秀專業(yè)”之感，反映了思維的敏捷性、針對性、深刻性，應(yīng)稱為“適法”．

2.此法堪稱“巧法”但不為“適法”

例2一位教師在不等式證明例題教學(xué)中，引用下面例子，并展開師生對話．

生：因?yàn)椴坏仁絻蛇吘鶠闊o理式，因此可在兩邊平方……

師(打斷學(xué)生說法)：如果平方展開，那是多大的工作量??！這將是十分繁瑣的！難道有根號就一定要平方嗎？這是一種思維定勢！而這種思維定勢有可能將我們引入歧途，使問題復(fù)雜化．若突破這個定勢，將使我們豁然開朗，還有其他方法嗎？

學(xué)生顯然沒有足夠的思想準(zhǔn)備，一時找不到合適的方法，保持沉默．

師：不等式屬a+b>c結(jié)構(gòu)，與什么結(jié)論很相似？

生：三角形兩邊之和大于第三邊．

師：很好！那么根號下的x2+xy+y2與什么公式有密切聯(lián)系？

學(xué)生說法不一，有學(xué)生說距離公式，有學(xué)生說是圓錐曲線方程，有人說是余弦定理．

師：由不等式的結(jié)構(gòu)可聯(lián)想到三角形中的余弦定理，因此可構(gòu)造三角形求解，即過O作三條線段OA,OB,OC，使它們兩兩夾角為120°，并且長度分別是x、y、z，利用余弦定理，結(jié)合△ABC中兩邊之和大于第三邊可證．

在學(xué)生的一片驚嘆聲中，進(jìn)入下一個問題的講解……

這種解法曾一度被認(rèn)為是“好法”，被大量引用．筆者認(rèn)為，這種解法既牽強(qiáng)又附會，學(xué)生會驚呼數(shù)學(xué)真的好難，感嘆數(shù)學(xué)的神秘，數(shù)學(xué)方法的神奇，感到數(shù)學(xué)真的不容易學(xué)，甚至打擊一些同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心．其實(shí)，化“無理”為“有理”是解決無理問題的常規(guī)思路，而平方法是處理問題的常用手段．

這里平方法并非授課教師所說的“十分繁瑣”，實(shí)為本題“適法”．

證明：左式2=x2+xy+2y2+yz+z2+

平方以后進(jìn)行了簡單的放縮法處理，思路清晰，簡捷明了．

3.解題應(yīng)在通巧法中探求“適法”

解題的核心目的是培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、靈活性、深刻性、本質(zhì)性．過分“通法”，不利培養(yǎng)解題能力；過分“巧法”，無法提高解題能力；解題要力求“適法”，這才是提高解題能力的根本大法．

例3關(guān)于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,給出下列四個命題：

(1)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有2個不同的實(shí)根．

(2)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有4個不同的實(shí)根．

(3)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有5個不同的實(shí)根．

(4)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有8個不同的實(shí)根．

其中假命題的個數(shù)是().

(A)0( B)1(C)2(D)3

簡解：原方程整理為|x2-1|2-|x2-1|+k=0,設(shè)t=|x2-1|(1)，則已知方程化為t2-t+k=0(2)，問題轉(zhuǎn)化為方程(2)有多少個根及根是否在(0，1)內(nèi)，再判斷關(guān)于x的方程(1)的根個數(shù)問題．

例如當(dāng)k=0,得x2=2或x2=1或x2=0，滿足命題(3)，選(A).

以上原方程為四次且含絕對值的方程，直接研究困難大．通過換元化為兩基本方程，此換元將問題簡單化、基本化，是“好法”，也是“適法”，值得深思悟透．

以下習(xí)題將有助于練習(xí)用“適法”解好題，讀者不妨一試．

4.已知函數(shù)f(x)=x2-2asin(cosx)+a2( a為常數(shù))，若方程f(x)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的值．

5.設(shè)集合A={(x,y)|xcosθ+ysinθ=1,θ∈R}，全集U={(x,y)|x,y∈R}，求集合uA對應(yīng)的圖形面積．

[1]蘭詩全.有效課堂教學(xué)宜機(jī)智把握的“四個關(guān)鍵點(diǎn)”[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)，2011.7.

[2]徐樹成.新課程理念下數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐的反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005.7.

[3]陳兆華.新課程理念下“教學(xué)設(shè)計”的有效性問題與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009.6.