上海市寶山區(qū)同洲模范學(xué)校　(200435)　李　奕

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由y=f(x+1)的反函數(shù)引出的思考

上海市寶山區(qū)同洲模范學(xué)校(200435)李奕

y=f-1(x+1).

很多時(shí)候，題干中并不會(huì)給出函數(shù)的具體顯性解析式，那么就無法通過上面的方法去求出某個(gè)函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)的解析式了，我們另辟蹊徑，通過反函數(shù)的概念去尋找抽象函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù).由y=f(x+1)得到x+1=f-1(y)，進(jìn)而得到x=f-1(y)-1，把x，y互換位置可得y=f-1(x)-1，所以函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x)-1而并非之前猜測(cè)的y=f-1(x+1)，用前面的例子驗(yàn)證下也是正確的.

函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)會(huì)不會(huì)在某種巧合下恰好就是y=f-1(x+1)呢？我們抱著這一疑問來尋求函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)恰好就是y=f-1(x+1)的條件.如果真這樣，那么y=f-1(x+1)?f(y)=f(f-1(x+1))=x+1?x=f(y)-1，所以y=f-1(x+1)的反函數(shù)是y=f(x)-1，而命題要求y=f-1(x+1)的反函數(shù)是y=f(x+1)，所以得到f(x+1)=f(x)-1，即f(x+1)-f(x)=-1，這樣問題就解決了，只有在函數(shù)滿足f(x+1)-f(x)=-1的條件時(shí)，函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)恰好就是y=f-1(x+1).

函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)問題已經(jīng)清晰解決了，那么，面對(duì)更一般的表達(dá)式y(tǒng)=f(x+a)去求解它的反函數(shù)，可以效仿上面的做法一樣去求解，很容易得到答案是y=f-1(x)-a，也能得出若函數(shù)y=f(x+a)的反函數(shù)是y=f-1(x+a)，則f(x+a)-f(x)=-a這樣的類似結(jié)論來.

筆者認(rèn)為，函數(shù)y=f(x+a)的反函數(shù)的表達(dá)式不用去記憶，在學(xué)習(xí)的時(shí)候只要記住y=f(x+a)的反函數(shù)一般不是y=f-1(x+a)就可以了，這樣是以免在做題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，對(duì)于函數(shù)y=f(x+a)的反函數(shù)的求解更主要的還是要從反函數(shù)的概念出發(fā)去探求其解法.通過這個(gè)問題的思考，我們可以感受到反函數(shù)的學(xué)習(xí)中怎樣從函數(shù)解析式去求其反函數(shù)解析式只是個(gè)皮毛而已，反函數(shù)的真正內(nèi)涵還是在反函數(shù)的概念里，這也就是反函數(shù)難學(xué)但獨(dú)有魅力的原因所在.