張文景,馮志剛

(江蘇大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江　212013)

?

遞歸分形插值曲面的變差

張文景,馮志剛

(江蘇大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江212013)

在求解函數(shù)圖像維數(shù)過(guò)程中，分形插值函數(shù)的變差可以代替盒維數(shù)公式中最少盒子數(shù),從另一個(gè)角度得到函數(shù)圖像的盒維數(shù)公式.從研究二元連續(xù)函數(shù)的變差性質(zhì)入手,給出了矩形區(qū)域上遞歸分形插值曲面(RFIS)的變差估計(jì),為遞歸分形圖形維數(shù)的研究提供一種新方法.

二元遞歸分形插值函數(shù);二元連續(xù)函數(shù);分形插值曲面;變差

MSC 2010：37C45;28A80;41A05

分形插值是分形幾何理論及其應(yīng)用研究中的一個(gè)重要內(nèi)容,由美國(guó)數(shù)學(xué)家Barnsley[1]首先提出,在圖像壓縮、非光滑曲線和曲面的擬合等研究領(lǐng)域中顯示出了獨(dú)特的優(yōu)越性.1989年,在原分形插值的基礎(chǔ)上Barnsley[2]首先介紹遞歸分形插值函數(shù)并給出平面上遞歸分形插值函數(shù)圖像的計(jì)盒維數(shù)公式.和傳統(tǒng)的插值函數(shù)相比,遞歸分形插值函數(shù)是發(fā)展起來(lái)的一種更靈活、更優(yōu)越的分形插值函數(shù),更能刻畫出自然界中復(fù)雜的隨機(jī)性和不確定性.沙震等[3]對(duì)Barnsley的遞歸FIF(分形差值函數(shù))分形維數(shù)加以改進(jìn),去掉關(guān)聯(lián)矩陣不可約的限制條件,得出新的維數(shù)公式.

變差是刻畫粗糙程度的一種重要參數(shù),用來(lái)研究各種尺度下函數(shù)的粗糙度,而粗糙度在材料學(xué)、力學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域中有著非常廣泛的應(yīng)用[4-7].求分形圖像的維數(shù)是分形理論研究的重要內(nèi)容,計(jì)算盒維數(shù)一般都是按照它的定義來(lái)證明的,即找出覆蓋圖像的最少盒子數(shù).而引入變差的概念,通過(guò)研究平面上連續(xù)分形函數(shù)的變差性質(zhì),可以得到平面上連續(xù)函數(shù)圖像的計(jì)盒維數(shù)計(jì)算公式,為計(jì)算函數(shù)圖像的計(jì)盒維數(shù)提供了新的工具.

文志英[8]研究了平面上連續(xù)函數(shù)變差的性質(zhì),并給出平面上連續(xù)函數(shù)圖像的計(jì)盒維數(shù)計(jì)算公式.馮志剛等[9]研究了一類分形插值函數(shù)δ-變差的性質(zhì),用δ變差代替維數(shù)定義中的最少盒子數(shù),得到了一種證明分形圖形維數(shù)的新方法.Feng[10]介紹了矩形區(qū)域上分形插值曲面的構(gòu)造方法,并給出了二元連續(xù)函數(shù)的振幅以及變差的定義,證明了二元分形插值函數(shù)變差的一些性質(zhì),并運(yùn)用連續(xù)函數(shù)圖像的盒維數(shù)與變差的關(guān)系,得出了分形曲面的維數(shù)公式.徐惠等[11]討論了一類網(wǎng)格上二元連續(xù)分形插值曲面,研究二元連續(xù)函數(shù)的振幅與變差性質(zhì),給出變差估計(jì)從而得到分形插值曲面計(jì)盒維數(shù)的準(zhǔn)確值.王偉從連續(xù)函數(shù)的變差性質(zhì)入手,得到了一元遞歸分形插值函數(shù)的變差性質(zhì),運(yùn)用變差階的估計(jì)得到遞歸分形插值曲線的維數(shù)定理.

本文在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上討論二元連續(xù)函數(shù)的變差性質(zhì),研究矩形區(qū)域上二元遞歸分形插值函數(shù)(δ,γ)變差的估計(jì),為遞歸分形插值曲面的維數(shù)計(jì)算進(jìn)一步提供理論基礎(chǔ).

1　二元遞歸分形插值函數(shù)

考慮矩形區(qū)域上的二元遞歸分形插值函數(shù).給定閉區(qū)間I=J=[0,1],0=x0

(1)

其中sij為給定的常數(shù),φij(x,y)為D上的二元連續(xù)函數(shù).可得一個(gè)遞歸迭代函數(shù)系(RIFS)

(2)

(3)

其中對(duì)任意i,j=1,2,…,MN,規(guī)定

(4)

2　二元連續(xù)函數(shù)的變差

根據(jù)連續(xù)函數(shù)(δ,γ)-變差定義,Feng[10]證明了下面的引理.

引理1[10]令z=f1(x,y),z=f2(x,y)分別為D上的二元連續(xù)函數(shù),C1,C2為給定的任意常數(shù),有

1)Vc1f1+c2;δ,γ(D)=|c1|Vf1;δ,γ(D),

2)Vf1;δ,γ(D)-Vf2;δ,γ(D)≤Vf1+f2;δ,γ(D)≤Vf1;δ,γ(D)+Vf2;δ,γ(D).

引理2[10]令D=[a,b]×[c,d],z=f(x,y)為D上二元連續(xù)函數(shù),a

(5)

其中Vf(D)=supDf(x,y)-infDf(x,y).

3　遞歸分形插值曲面的變差

(6)

其中s=A-1(x)∈Ik,t=B-1(x)∈Jl.在區(qū)間D′上,有

(7)

證由式(1)得

(8)

由式(8)和引理1 得

(9)

由定理1得

(10)

(11)

φij為D上的連續(xù)可微函數(shù)且φij?Pr,令Mij=max(x,y)∈I×J|φij(x,y)|,則

(12)

由引理2

(13)

由式(9-13)得不等式(7)左邊可證.

由引理2得

(14)

類似地，由式(9-12)和式(14),可證不等式(7)右邊.

[1]BARNSLEY M F.Fractal everywhere[M].New York:Academic Press,1988.

[2]BARNSLEY M F,ELTON J H,HARDIN D P.Recurrent iterated function systems[J].Constr Approx,1989,5:3-31.

[3]沙震,阮火軍.Bamsley-Elton Hantin的一個(gè)定理的修正[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯,2000,15(2):157-162.

SHA Z,RUAN H J.A revision of the theorem of the Bamsley-Elton Hantin[J].Appl Math J Chinese Univ Ser A,2000,15(2):157-162.

[4]TRICOT C.Curves and fractal dimension[M].New York:Spinger,1995.

[5]DUBUC B,TRICOT C.Variation d’une Function et Dimension de son graph[J].C R Math Acad Sci ParisSer I,1998,306:531-533.

[6]TRICOT C .Funtion norms and fractal dimension[J].Siam J Math Anal,1997,28(1):189-212.

[7]DUBUC B,ZUKER S W,TRICOT C,et al.Evaluating the fractal dimension of surfaces[J].Proc R Soc Lond Ser A,1989,425:113-127.

[8]文志英.分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].上海：科學(xué)出版社,2000.

WEN Z Y.The mathematical basis of fractal geometry[M].Shanghai:Science Press,2000.

[9]馮志剛,王磊.分形差值函數(shù)的變差的性質(zhì)[J].江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,26(1):49-52.

FENG Z G,WANG L.Properties of variation of fractal interpolation function[J].Journal of Jiangsu University(Natural Science),2005,26(1):49-52.

[10]FENG Z G.Variation and Minkowski dimension of fractal interpolation surface[J].Math Anal Appl,2008,345(1):3222-344.

[11]徐惠,馮志剛.一類分形插值函數(shù)的變差和計(jì)盒維數(shù)[J]．安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,25(4)：444-447．

XU H,FENG Z G.A class of variation and box-counting dimension of fractal interpolation function[J].Journal of Anhui University of Technology(Natural Science),2008,25(4)：444-447．

[12]王偉,馮志剛.遞歸分形插值函數(shù)的計(jì)盒維數(shù)[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009,26(2):187-189.

WANG W,FENG Z G.Box-counting dimension of recurrent fractal interpolation function[J].Journal of Anhui University of Technology(Natural Science),2009,26(2):187-189.

[13]BOUBOULIS P,DALLA L.A general construction of recurrent bivariate fractal interpolation surfaces and computation of their box-counting dimension[J].Japprox Theory,2006，141：99-117.

(責(zé)任編輯：王蘭英)

Variation of recurrent fractal interpolation surface

ZHANG Wenjing,FENG Zhigang

(College of Science,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)

To calculate the dimension of grap of function, the minimum boxes can be replaced by the variation of fractal interpolation function, and the box-dimension formula can be proved from another angle.Based on the study of the properties of variation of bivariate continuous function,the variation of recurrent fractal interpolation function is estimated on the rectangular domain,which provides a new method to study dimension of recurrent fractal graph.

bivariate recurrent fractal interpolation function;bivariate continuous function;fractal interpolation surface;bivariate.

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.04.003

2015-06-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51079064)

張文景(1988—)，女，江蘇徐州人，江蘇大學(xué)在讀碩士研究生.E-mail:656780786@qq.com

馮志剛(1962—)，男，江蘇常州人，江蘇大學(xué)教授，主要從事分形幾何理論的研究.E-mail:zgfeng@ujs.edu.cn

O184

A

1000-1565(2016)04-0349-04