柏　準(zhǔn)

(解放軍理工大學(xué)國防工程學(xué)院爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京　210007)

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Eshelby夾雜理論在巖石損傷本構(gòu)研究中的應(yīng)用★

柏準(zhǔn)

(解放軍理工大學(xué)國防工程學(xué)院爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京210007)

結(jié)合巖石本構(gòu)的研究歷程，論述了Eshelby夾雜理論在巖石損傷力學(xué)應(yīng)用研究中的最新進(jìn)展，分析了不同平均場方法的優(yōu)缺點(diǎn)，探討了夾雜理論在巖石損傷本構(gòu)研究中的應(yīng)用前景，指出Mori-Tanaka法進(jìn)行巖石細(xì)觀損傷研究的優(yōu)越性。

夾雜理論，巖石損傷力學(xué)，等效彈性模量

巖體本構(gòu)是外界荷載引起巖體變形的數(shù)學(xué)描述，是解決工程實(shí)踐中巖石力學(xué)問題的基礎(chǔ)。在研究初期，巖石被看作均勻完整的連續(xù)介質(zhì)，一般采用經(jīng)典的彈塑性力學(xué)來描述其應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系，用強(qiáng)度準(zhǔn)則來表征巖體破壞的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)。隨著認(rèn)識水平的發(fā)展，巖石內(nèi)部微觀缺陷對其力學(xué)行為的影響越來越受到研究者的重視，損傷力學(xué)隨即被引入巖石力學(xué)。

巖石損傷力學(xué)主要用于描述巖體的非線性和非連續(xù)性，因其立足點(diǎn)和研究尺度不同可分為宏觀損傷力學(xué)(CDM)和細(xì)觀損傷力學(xué)(MDM)，兩者的不同主要體現(xiàn)在損傷變量的定義上。宏觀損傷力學(xué)唯象地將巖石缺陷演化與力學(xué)行為聯(lián)系起來，定義宏觀損傷變量，由K.yoya[1]于1985年首次引入巖體力學(xué)，將損傷變量定義為巖石不連續(xù)面面積的減少；在國內(nèi)，周維垣等[2]首次將損傷力學(xué)用于構(gòu)建巖石本構(gòu)，基于裂隙統(tǒng)計(jì)定義損傷張量；李新平[3]將斷裂力學(xué)引入巖石損傷研究，較好地解決了巖體內(nèi)部裂隙的損傷效應(yīng)。20世紀(jì)90年代以來，因細(xì)觀損傷力學(xué)能解釋巖石細(xì)觀結(jié)構(gòu)的變化而逐漸獲得重視，其中王金龍等[4]將損傷變量定義為裂紋引起的體積應(yīng)變和基體體積應(yīng)變之比，分析巖石裂紋的擴(kuò)展作用；馮夏庭等[5]以孔隙率為微損傷變量，建立化學(xué)腐蝕下的巖石細(xì)觀損傷本構(gòu)關(guān)系；謝和平[6]首次運(yùn)用分形幾何定量損傷，用于研究巖石微觀斷裂機(jī)理與宏觀變形的關(guān)系。Eshelby夾雜理論作為研究非均質(zhì)材料的重要細(xì)觀理論模型，也引起了巖石力學(xué)研究者的注意，本文將對Eshelby夾雜理論及其衍生的Mori-Tanaka平均場方法在巖石損傷力學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)狀及前景進(jìn)行綜述與展望。

1　Eshelby夾雜理論的基本概念

Eshelby夾雜理論對于非均質(zhì)材料(如復(fù)合材料)的研究有著非常重要的意義。由于缺乏對于材料微觀結(jié)構(gòu)的全面描述，細(xì)觀力學(xué)及其復(fù)合材料力學(xué)只能根據(jù)材料有限的微結(jié)構(gòu)信息建立局部化關(guān)系，利用平均化思想，選取代表性體積單元RVE，將非均質(zhì)轉(zhuǎn)換為均質(zhì)，進(jìn)而對材料的性質(zhì)進(jìn)行近似界限分析和近似預(yù)測[7]。而大多數(shù)平均場方法都是將多個(gè)夾雜問題轉(zhuǎn)換為代表性體積單元中的單夾雜問題，則關(guān)于單夾雜問題的Eshelby解成為許多細(xì)觀模型，如Mori-Tanaka模型[8]，Taylor模型[9]，自洽模型[10]的重要基礎(chǔ)。1957年英國科學(xué)家Eshelby首次給出橢球夾雜問題的顯示解，提出本征應(yīng)變概念，指出夾雜物應(yīng)變場與基體應(yīng)變場之差ε差與本征應(yīng)變ε*之間存在以下關(guān)系[11]：

ε差=S∶ε*

(1)

其中，S為Eshelby張量，與夾雜物的形狀和基體性質(zhì)有關(guān)，其長徑比α不同可表示針狀(α→∞)、球狀(α=1)或者裂紋(α=0)等。而細(xì)觀力學(xué)平均場方法是基于多尺度的，將夾雜應(yīng)變ε和宏觀應(yīng)變E通過局部化張量A聯(lián)系起來：

ε(x)=A(x)∶E

(2)

其中，A取決于不同的平均場方法，其中Taylor法計(jì)算方便，但無法考慮夾雜相互作用，只適合稀疏夾雜的情況；自洽法形式簡單，但過高估計(jì)夾雜相互作用對材料剛度的影響；IDD和PCW可考慮夾雜間空間分布，但計(jì)算較為復(fù)雜。而Mori-Tanaka法采用背應(yīng)力概念考慮夾雜相互作用，該方法物理概念清晰，逐次迭代可提高精度，針對非圓形夾雜，利用正交化可考慮夾雜各向異性等多方面優(yōu)越性，受到廣泛關(guān)注。Mori-Tanaka平均場方法還被進(jìn)一步拓展，用于研究復(fù)合材料的細(xì)觀損傷機(jī)理，例如趙穎華[12]以Eshelby夾雜理論和Mori-Tanaka法為基礎(chǔ)，針對不同的細(xì)觀損傷模式，建立了復(fù)合材料損傷彈性和彈塑性力學(xué)理論。復(fù)合材料損傷理論的不斷發(fā)展，為其他非均質(zhì)材料的研究提供了有益的借鑒與啟示。

2　Eshelby夾雜理論在巖石損傷本構(gòu)研究中的應(yīng)用現(xiàn)狀

巖石內(nèi)部存在著孔隙、裂隙和節(jié)理等細(xì)微觀缺陷，作為非均質(zhì)材料的力學(xué)行為越來越受到學(xué)者的重視。隨著CT等技術(shù)用于巖石內(nèi)部探測，人們對巖石細(xì)觀結(jié)構(gòu)有了更加直觀的認(rèn)識。細(xì)觀損傷力學(xué)作為研究巖石細(xì)觀結(jié)構(gòu)變化的主要理論不斷獲得發(fā)展，采用Eshelby夾雜理論分析巖石的損傷力學(xué)特性也正處于積極探索階段。比如針對脆性巖石內(nèi)部已有裂紋的擴(kuò)展與新裂紋的萌生是非線性力學(xué)行為產(chǎn)生的主要原因，ZHU[13]運(yùn)用Eshelby夾雜問題解，將微裂紋近似為幣形夾雜(α=0)，構(gòu)建了細(xì)觀力學(xué)損傷模型的熱動(dòng)力學(xué)框架，考慮基體的彈性應(yīng)變εm和裂紋產(chǎn)生的非彈性應(yīng)變εc，得到代表性體積單元自由能的一般形式：

(3)

其中，Cm為基體模量；Cb為四階有效彈性張量。

該細(xì)觀損傷模型能夠很好的解釋巖石材料損傷的各項(xiàng)異性、裂紋的閉合和張開等現(xiàn)象，但無法考慮裂紋的空間分布效應(yīng)和不同族裂紋間相互影響。陳益峰等[14]將上述模型拓展到非等溫條件，引入微裂紋的法向閉合條件和滑動(dòng)剪漲條件，分別運(yùn)用M-T法和Taylor法推導(dǎo)出有效熱傳導(dǎo)張量，建立了熱—力耦合條件下巖石的細(xì)觀損傷力學(xué)模型。而針對節(jié)理巖體內(nèi)部結(jié)構(gòu)面廣泛分布、數(shù)量多而規(guī)模小的特點(diǎn)，朱福巍[15]將結(jié)構(gòu)面簡化為圓盤夾雜，利用本構(gòu)積分算法，得到節(jié)理巖體的增量型本構(gòu)關(guān)系：

(4)

(5)

該損傷本構(gòu)關(guān)系雖然考慮了破壞巖體的承載力，但是由于Eshelby理論解不適用夾雜比例較大的情況，造成模型模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果在后期有較大出入。

3　Eshelby夾雜理論在巖石損傷本構(gòu)研究中的前景分析

(6)

L等=L0{I-φ[(L1-L0)(φ+(1-φ)S+L0)]-1(L1-L0)-1}

(7)

其中，I為四階單位張量；S為Eshelby張量。將式(7)代入式(6)可知孔隙巖石的損傷變量是孔隙度的函數(shù)，只要選取合適的孔隙動(dòng)態(tài)演化模型就可探究孔隙巖石細(xì)觀損傷規(guī)律。此外，Eshelby夾雜理論還可用于巖石動(dòng)態(tài)特性及其本構(gòu)特性的研究，從細(xì)觀損傷角度分析巖石內(nèi)部缺陷在動(dòng)態(tài)荷載作用下的力學(xué)響應(yīng)。從細(xì)觀損傷角度出發(fā)，主要是指不考慮巖石的粘性，基于夾雜理論和動(dòng)態(tài)斷裂理論，根據(jù)裂紋擴(kuò)展速率公式和平均場方法建立模型。同樣為準(zhǔn)脆性材料的混凝土已有此方面的研究，比如劉海峰等[17]將混凝土看成實(shí)體和裂紋組成的復(fù)合材料，基于Eshelby夾雜理論和M-T法建立了沖擊荷載作用下混凝土材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型，并進(jìn)行了應(yīng)變率相關(guān)性研究，該本構(gòu)模型具有物理概念清晰、參數(shù)便于試驗(yàn)確定的特點(diǎn)，對宏—細(xì)觀結(jié)合的巖石動(dòng)態(tài)損傷研究具有重要參考意義。

4　結(jié)語

[1]K.yoya,T.An alication of damage tensor for estimating mechanical properties of rock mass(in Japanese),civil conference,1985,10(6)：358-363.

[2]周維垣,楊若瓊,周力田.節(jié)理巖體和拱壩壩肩穩(wěn)定的斷裂力學(xué)分析[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),1986(4):377-388.

[3]李新平.多裂隙巖體的等效連續(xù)彈性損傷斷裂模型強(qiáng)度特性及有限元分析[D].武漢：中科院武漢巖土所博士論文,1990.

[4]王金龍,林卓英,吳玉山,等.脆性巖石的損傷與裂隙擴(kuò)展[J].巖土力學(xué),1990(3):1-8.

[5]馮夏庭,丁梧秀.灰?guī)r細(xì)觀結(jié)構(gòu)的化學(xué)損傷效應(yīng)及化學(xué)損傷定量化研究方法探討[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2005(8):1283-1288.

[6]謝和平.分形—巖石力學(xué)導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

[7]胥柏香.Eshelby夾雜問題特殊性質(zhì)的研究[D].北京：北京大學(xué),2008.

[8]Mori T,Tanaka K.Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusion[J].Acta Metall,1973(21):571-574.

[9]Hill R.Continuum micro-mechanics of elastoplastic polycrystals[J].Mech.phys.Solids,1965(13):89-101.

[10]Christensen R.M.Lo K.H.Solutions for effective shear properties in three phase sphere and cylinder models[J].Mech.Phy.Solids,1979,27(3)：15-330.

[11]Eshelby J D.The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion,and related problem[J].Proc Royal SocLond A,1957(421):376-396.

[12]趙穎華.復(fù)合材料損傷細(xì)觀力學(xué)分析[D].北京：清華大學(xué),1996.

[13]ZHU Q Z.Applications of homogenization approaches to 3D damage modelling of quasi-brittle materials：formulation，validations and numerical implantations[Ph.D.Thesis][D].Lille：Université des Sciences et Technologies de Lille，2006.

[14]陳益峰,李典慶,榮冠,等.脆性巖石損傷與熱傳導(dǎo)特性的細(xì)觀力學(xué)模型[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2011(10):1959-1969.

[15]朱福巍.節(jié)理巖體細(xì)觀損傷模型的理論研究與數(shù)值方法[D].北京：北京交通大學(xué),2011.

[16]賴勇.巖石(體)宏細(xì)觀復(fù)合損傷理論與應(yīng)用研究[D].重慶：重慶大學(xué),2008.

[17]劉海峰,寧建國.沖擊載荷作用下混凝土本構(gòu)模型(英文)[J].Journal of Southeast University(English Edition),2012(1):79-84.

On application of Eshelby hybrid theory in constitutive research on rock damages★

Bai Zhun

(KeyLabforExplosionShockDisasterPreventionandMitigation,DefenseEngineeringCollege,PLAUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210007,China)

Combining with the research on the rock constitutive structure, the paper indicates the latest progress of Eshelby hybrid theory in rock damage dynamics, analyzes the advantages and disadvantages of various mean fields, explores the application prospect for the theory in the constitutive research of rocks, and points out the priority of adopting Mori-Tanaka method in the microscopic damage of rocks.

hybrid theory, rock damage dynamics, effective elastic property

1009-6825(2016)08-0081-03

2016-01-07★：江蘇省自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號：BK20141067)

柏準(zhǔn)(1991- )，男，在讀碩士

P584

A