程夢(mèng)飛,李　博,齊　昕

北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京，100094

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用卡爾曼濾波方法進(jìn)行氫鐘鐘差預(yù)報(bào)的方法與結(jié)果

程夢(mèng)飛,李博,齊昕

北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京，100094

鐘差預(yù)報(bào)是實(shí)現(xiàn)時(shí)間同步的重要基礎(chǔ)，本文以原子鐘時(shí)間模型為理論基礎(chǔ)，研究主動(dòng)型氫原子鐘與協(xié)調(diào)世界時(shí)UTC(k)的鐘差預(yù)報(bào)方案。線性最小二乘模型與卡爾曼濾波模型均可進(jìn)行氫鐘參數(shù)估計(jì)和鐘差預(yù)報(bào)。線性最小二乘模型只能估計(jì)鐘的確定性參數(shù)，不能及時(shí)適應(yīng)氫鐘信號(hào)的變化；卡爾曼濾波模型不僅可以濾除測(cè)量噪聲等部分噪聲，減小頻差和頻漂波動(dòng)，提高信號(hào)的短期穩(wěn)定度，及時(shí)適應(yīng)氫鐘信號(hào)的變化，準(zhǔn)確預(yù)報(bào)時(shí)差值、頻差值和頻率漂移值，而且有助于提高時(shí)間溯源精度和穩(wěn)定度。

原子鐘時(shí)間模型；鐘差預(yù)報(bào)；線性最小二乘模型；卡爾曼濾波模型

1　引　言

原子鐘是時(shí)間頻率系統(tǒng)的基礎(chǔ)，主動(dòng)型氫原子鐘因其優(yōu)良的短、中長(zhǎng)期穩(wěn)定度和高的相位噪聲指標(biāo)在衛(wèi)星導(dǎo)航等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。以原子鐘時(shí)間模型為理論基礎(chǔ)，將氫鐘輸出信號(hào)視為時(shí)標(biāo)A，通過調(diào)整其頻率向協(xié)調(diào)世界時(shí)UTC(k)進(jìn)行時(shí)間同步，鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)結(jié)果對(duì)溯源精度有著重要的影響。

溯源過程中可以采用線性最小二乘擬合模型進(jìn)行鐘差結(jié)果預(yù)報(bào)，該鐘差數(shù)學(xué)模型中只包含鐘差的確定性部分，無法量化隨機(jī)性部分(噪聲部分)對(duì)鐘差的影響。然而在高精度溯源中，誤差項(xiàng)對(duì)于鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)結(jié)果有顯著影響，需要改進(jìn)鐘差預(yù)報(bào)模型，在模型中加入對(duì)原子鐘時(shí)間模型隨機(jī)性部分的計(jì)算。卡爾曼濾波模型根據(jù)時(shí)差值、頻率偏差、頻率漂移和誤差項(xiàng)進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)值估計(jì)，每得到一個(gè)新的測(cè)量值，就可以對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)值更新一次，實(shí)現(xiàn)鐘差的實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)。因此，采用卡爾曼濾波模型替代線性最小二乘擬合模型進(jìn)行鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)，有助于提高溯源精度。

2　原子鐘時(shí)間模型

原子鐘模型可以準(zhǔn)確描述主動(dòng)型原子鐘在運(yùn)行過程中輸出信號(hào)與協(xié)調(diào)世界時(shí)UTC(k)信號(hào)時(shí)差的變化規(guī)律，體現(xiàn)了鐘速與鐘漂在運(yùn)行過程中對(duì)時(shí)差的影響，為頻率調(diào)整量的計(jì)算提供了依據(jù)。原子鐘時(shí)間模型分為確定性部分和隨機(jī)性部分(噪聲部分)[1]。其表達(dá)式為：

(1)

氫原子鐘相對(duì)于基準(zhǔn)鐘具有頻率偏差和較為明顯的一次頻率漂移，二次及以上頻率漂移很小，可以忽略不計(jì)。因此，用原子鐘二次時(shí)間模型描述氫原子鐘：

(2)

原子鐘二次時(shí)間模型的隨機(jī)性部分由測(cè)量噪聲和相位噪聲組成，如下式所示：

εx(t)=Δε1(t)+Δε2(t)

(3)

其中，Δε2(t)為測(cè)量白噪聲，均值為零，方差為測(cè)量精度的平方；Δε1(t)為相位噪聲，根據(jù)經(jīng)典相位噪聲理論，相位噪聲Δε1(t)由五種獨(dú)立噪聲(相位白噪聲n2、相位閃爍噪聲n1、頻率白噪聲n0、頻率閃爍噪聲n-1和頻率隨機(jī)游走噪聲n-2)線性疊加構(gòu)成：

Δε1(t)=n2+n1+n0+n-1+n-2

(4)

3　線性最小二乘擬合模型

(5)

(6)

采用線性最小二乘擬合模型進(jìn)行鐘差結(jié)果預(yù)報(bào)，該鐘差數(shù)學(xué)模型中只包含鐘差的確定性部分，無法量化隨機(jī)性部分對(duì)鐘差的影響。在高精度溯源中，誤差項(xiàng)對(duì)于鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)結(jié)果有顯著影響，需要在模型中加入對(duì)原子鐘時(shí)間模型隨機(jī)性部分的計(jì)算。

4　卡爾曼濾波模型

4.1基本原理

卡爾曼濾波是一種高效率的遞歸濾波器(自回歸濾波器)，能夠從一系列的不完全及包含噪聲的測(cè)量中，估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)?？柭鼮V波要建立狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，其實(shí)現(xiàn)過程包括兩個(gè)階段：預(yù)測(cè)與校正。在預(yù)測(cè)階段，濾波器使用上一狀態(tài)的估計(jì)，做出對(duì)當(dāng)前狀態(tài)的估計(jì)；在校正階段，濾波器利用測(cè)試得到的觀測(cè)值，對(duì)狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行校正，獲得一個(gè)更精確的新估計(jì)值，是一個(gè)反饋過程?？柭鼮V波的流程如圖1所示。

圖1　卡爾曼濾波流程圖

4.2數(shù)學(xué)模型

原子鐘有三個(gè)狀態(tài)變量分別為：時(shí)差x(t)、頻差y(t)、頻率漂移率D(t)，而鐘差為X(t)，原子鐘的基本模型[3,4]可以由下式給出：

(7)

離散化的原子鐘狀態(tài)變量矩陣為X(k)，包括時(shí)差、頻差、頻率漂移率，建立原子鐘的狀態(tài)方程為：

X[k+1]=Φ·X[k]+η[k]

(8)

其中，Φ為轉(zhuǎn)移矩陣，η[k]為驅(qū)動(dòng)噪聲。設(shè)η[k]的協(xié)方差矩陣為Q，則

(9)

原子鐘的觀測(cè)方程為：

Z[k]=H·X[k]+V

(10)

根據(jù)原子鐘的時(shí)間模型，分析原子鐘的狀態(tài)變量、狀態(tài)方程、觀測(cè)方程，建立卡爾曼濾波遞推方程，進(jìn)行原子鐘的鐘差預(yù)報(bào)[3,4]，公式如下：

(11)

最小預(yù)測(cè)均方誤差

(12)

(13)

狀態(tài)修正

(14)

Pk,k=(I-Kk×Hk)×Pk,k-1最小均方誤差

(15)

4.3噪聲系數(shù)的計(jì)算

由卡爾曼濾波模型的五個(gè)方程(式(11)～(15))可知，進(jìn)行卡爾曼濾波的關(guān)鍵是得出矩陣Q和R里的參數(shù)。測(cè)量噪聲方差可以由測(cè)量精度計(jì)算得到，而驅(qū)動(dòng)噪聲方差矩陣?yán)锏脑隅姷脑肼暦讲羁梢杂葾llan方差反演法得到。

計(jì)算原子鐘鐘差的Allan方差[1]：

(16)

其中，N是時(shí)差xi的個(gè)數(shù)；τ為平滑時(shí)間，平滑時(shí)間為測(cè)量時(shí)間的整數(shù)倍。

由原子鐘噪聲理論[3,4]，原子鐘五種噪聲對(duì)Allan方差的貢獻(xiàn)如下式所示：

(17)

(18)

(19)

(20)

5　鐘差預(yù)報(bào)

將上海天文臺(tái)生產(chǎn)的SOHM-4型氫原子鐘輸出的信號(hào)視為某時(shí)標(biāo)信號(hào)(時(shí)標(biāo)A)，選取另一時(shí)標(biāo)為協(xié)調(diào)世界時(shí)UTC(k)(時(shí)標(biāo)B)，調(diào)整時(shí)標(biāo)A，將其向時(shí)標(biāo)B同步，以2016年1月8日至1月19日的鐘差數(shù)據(jù)為例，估計(jì)原子鐘二次時(shí)間模型的參數(shù)并進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)。

5.1線性最小二乘擬合模型

圖2　1月8日至1月17日時(shí)差圖

圖3　1月10日至1月19日時(shí)差圖

由圖2、圖3以及頻率調(diào)整控制量的對(duì)比可知：用最小二乘法擬合10天的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)，在1月18日前后的預(yù)報(bào)結(jié)果之差為ΔU=0.58×10-13，與實(shí)際的頻差變化量-1.4×10-13不一致。因此，選取一段時(shí)間的時(shí)差數(shù)據(jù)，利用最小二乘擬合法進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)，如果氫鐘發(fā)生頻率變化，最小二乘擬合法將無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)頻率調(diào)整控制量。

5.2卡爾曼濾波模型

圖4　卡爾曼濾波前后的時(shí)間偏差值

圖5　卡爾曼濾波前后的頻率偏差值

圖6　卡爾曼濾波前后的頻率漂移值

圖7　卡爾曼濾波前后的Allan方差曲線

選取2016年1月10日至1月19日共計(jì)10天的時(shí)差數(shù)據(jù)，其中1月18日氫鐘頻差變化了約-1.4×10-13，如圖8～11所示，藍(lán)色實(shí)線表示卡爾曼濾波前的時(shí)差值、頻差值、頻率漂移值和Allan方差，紅色虛線表示卡爾曼濾波后的時(shí)差值、頻差值、頻率漂移值和Allan方差。將預(yù)報(bào)頻差fE作為頻率調(diào)整控制量，U=-fE=4.80×10-13。

圖8　卡爾曼濾波前后的時(shí)間偏差值

圖9　卡爾曼濾波前后的頻率偏差值

圖10　卡爾曼濾波前后的頻率漂移值

圖11　卡爾曼濾波前后的Allan方差曲線

由圖4～7、圖8～11以及頻率調(diào)整控制量的對(duì)比可知:(1)卡爾曼濾波器可以濾除部分噪聲，濾波后的頻差和頻漂波動(dòng)明顯減小，短期穩(wěn)定度得到提高。(2)卡爾曼濾波的適應(yīng)性很強(qiáng)，計(jì)算得到的鐘差、頻差、頻漂等參數(shù)能及時(shí)反映氫鐘的實(shí)際性能，如圖9所示，氫鐘頻差在1月18日變化了-1.4×10-13，卡爾曼濾波法在1月18日前后的預(yù)報(bào)結(jié)果之差為ΔU=1.31×10-13，與實(shí)際的頻差變化量基本一致。在實(shí)際應(yīng)用中，用卡爾曼濾波擬合鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)，如果氫鐘發(fā)生頻率變化，仍將準(zhǔn)確預(yù)報(bào)頻率調(diào)整控制量。

6　結(jié)　論

以原子鐘信號(hào)模型為理論基礎(chǔ)，進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)，再進(jìn)行頻率調(diào)整控制，從而實(shí)現(xiàn)兩個(gè)時(shí)標(biāo)之間的溯源。線性最小二乘擬合模型和卡爾曼濾波模型均可進(jìn)行氫鐘參數(shù)估計(jì)和鐘差預(yù)報(bào)。線性最小二乘擬合模型只能估計(jì)鐘的確定性參數(shù)：初始頻差和一次頻率漂移，擬合結(jié)果反映的是整段擬合數(shù)據(jù)的特性，當(dāng)頻差出現(xiàn)變化時(shí)，若不能及時(shí)剔除頻差變化前的數(shù)據(jù)，無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)鐘差?？柭鼮V波模型不僅可以及時(shí)適應(yīng)氫鐘信號(hào)的變化，準(zhǔn)確預(yù)報(bào)時(shí)差值、頻差值、頻率漂移值，還可以濾除測(cè)量噪聲等部分噪聲，減小頻差和頻漂的波動(dòng)，提高信號(hào)的短期穩(wěn)定度。卡爾曼濾波模型有助于提高時(shí)間溯源精度和穩(wěn)定度。

[1]董紹武.守時(shí)中的若干重要技術(shù)問題研究[D].西安：中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，2007.[2]朱陵鳳,李超,劉利等.基于國(guó)產(chǎn)氫原子鐘的鐘差預(yù)報(bào)方法研究[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2009(1)：148-151.[3]伍貽威.衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)間尺度的研究與應(yīng)用[D].長(zhǎng)沙：國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2011.

[4]朱祥維,肖華,雍少為等.衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的Kalman算法及其性能分析[J].宇航學(xué)報(bào)，2008，29(3)：966-970.

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Hydrogen Clock Bias Prediction Method and Its Result Based on Kalman Filter Model

Cheng Mengfei, Li Bo, Qi Xin

Beijing Satellite Navigation Center, Beijing 100094, China

Clock bias prediction is the foundation for time synchronization. Based on the atomic clock time model, the clock bias prediction schemes of Hydrogen Clock SOHM-4 and UTC(k) are studied in this paper. Both linear least square model and Kalman filter model can estimate Hydrogen clock's parameters and predict clock bias. However, the former model can only estimate the definite parameters of clock, but not adjust to the change of clock signal in time. The latter one can filter some noises like measuring noise, reduce fluctuations of frequency difference and drift, and improve the short-term stability of clock signals. In addition, it can adjust to the change of clock signal in time, and accurately predict values of clock bias, frequency difference and frequency drift. It comes to the conclusion that Kalman filter model is helpful in improving the accuracy and stability of time tracing.

atomic clock time model; clock bias prediction; linear least square model; Kalman filter model

2016-01-25。

程夢(mèng)飛(1987—)，女，碩士研究生，主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)間頻率方面的研究。

P228

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