英起志

（江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院，江蘇南通226011）

n維球體體積公式的推導(dǎo)方法綜述

英起志

（江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院，江蘇南通226011）

該文總結(jié)和歸納了n維球體體積公式的不同推導(dǎo)方法，并對(duì)它們進(jìn)行了分析比較。

n維；球體；體積公式；綜述

引言

n維球體是n維歐式空間中一種基本的幾何體，體積是它的一個(gè)基本屬性。文章通過分析國內(nèi)外關(guān)于n維球體體積公式的相關(guān)文獻(xiàn)，歸納了n維球體體積公式的不同推導(dǎo)方法，并進(jìn)行了分析和總結(jié)。

一、n維球體體積公式的推導(dǎo)方法

關(guān)于n維歐式空間中的球體體積的推導(dǎo)有不少文獻(xiàn)，其中的推導(dǎo)方法不盡相同，有直接積分法、遞歸公式法、待定系數(shù)法、用n維球體的表面積求其體積等方法。

（一）由n維超球面的表面積求n維球的體積公式

文獻(xiàn)［1］和［2］通過求解n維超球面的表面積公式得到n維球體的體積公式。

這一推導(dǎo)過程的關(guān)鍵在于求Sn。

（二）球面坐標(biāo)下的直接積分法

文獻(xiàn)［7］、［8］、［9］采用計(jì)算重積分的方法求n維球體的體積。廣義球面坐標(biāo)系包含徑坐標(biāo)r和角坐標(biāo)φ1，φ2，…，φn-1，其中φi∈［0，π］，1≤i≤n-2，φn-1∈［0，2π］。

廣義球面坐標(biāo)變換公式為

文獻(xiàn)［5］中給出了beta函數(shù)與Gamma函數(shù)的關(guān)系：

因此

（三）遞歸公式法

利用n維球體體積的1維和2維遞歸公式可以推導(dǎo)出n維球體的體積公式。

1.2維遞歸公式

文獻(xiàn)［3］中通過n維球體體積的2維遞歸公式推導(dǎo)出體積公式，通過計(jì)算

得到

上式即為2維的遞歸公式。借助遞歸公式，結(jié)合Γ（1）=1，等事實(shí)，可以推導(dǎo)出n維球體的體積公式。

2.1維遞歸公式

推導(dǎo)方法與2維遞歸公式類似。

（四）待定系數(shù)法文獻(xiàn)［9］、［11］中采用待定系數(shù)法推導(dǎo)n維球體的體積公式，其基本步驟是：先設(shè)半徑為R的n維球體的體積為V（R）=aRn，其中a為常數(shù)。通過積分計(jì)算，求出a的值：

Different derivations for volume formula of N-sphere were summarized，analyzed and compared in this paper.

N-sphere；ball；volume formula；summary

O186.5

A

2096-000X（2016）21-0259-02

英起志（1983-），男，江蘇連云港人，江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院，數(shù)學(xué)教研室主任，講師，碩士，研究方向?yàn)楦呗殧?shù)學(xué)教學(xué)。