黃青群

（河池學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西宜州546300）

淺談最優(yōu)化方法在數(shù)學建模中的應用*

黃青群

（河池學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西宜州546300）

文章介紹了數(shù)學建模的含義、起源、發(fā)展及建模過程，還有最優(yōu)化方法的相關理論，最后研究了最優(yōu)化方法在數(shù)學建模中的具體應用。

數(shù)學建模；最優(yōu)化方法；優(yōu)化算法

一、什么是數(shù)學建模

（一）數(shù)學建模的含義

從上個世紀40年代出現(xiàn)第一臺計算機開始，短短的幾十年，計算機技術得到了快速發(fā)展，數(shù)學的重要性也隨之在工程技術以及自然科學等領域逐步體現(xiàn)。目前，數(shù)學正在以驚人的速度和深度向金融、建筑、地質(zhì)、管理、證券、生物、人口、環(huán)境、交通等新領域滲透，有專家在相關文獻中說到：數(shù)學技術已經(jīng)在當代高新技術中充當一個重要角色，必然會給當代高新技術的快速發(fā)展注入新的動力。

數(shù)學模型從本質(zhì)上說是一種現(xiàn)實模擬，用戶以數(shù)學符號、數(shù)學公式、算法、圖形、表格等形式對實際問題的本質(zhì)屬性進行抽象和簡化，其主要目的大概有三個方面：（1）以直觀形象的方式解釋某些客觀現(xiàn)象；（2）預測事物在未來的發(fā)展規(guī)律；（3）在某種意義下提供控制某一現(xiàn)象發(fā)展的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學建模就是通過計算得到的數(shù)據(jù)來詮釋實際問題，并且在實際應用中檢驗該結果，進而建立數(shù)學模型的全過程。用戶定量分析和研究一個實際問題有一些前提要求和步驟，就是首先要進行深入調(diào)查研究對象進而了解對象的具體信息，接著作出簡化的假設，然后分析對象的內(nèi)在規(guī)律等，最后一步是用數(shù)學符號和語言建立數(shù)學模型。

（二）數(shù)學建模的起源和發(fā)展

早在20世紀60和70年代數(shù)學建模就已經(jīng)在西方一些國家初次出現(xiàn)，而在中國出現(xiàn)的稍晚，大概在80年代初期中國的幾所大學將其引入課堂。經(jīng)過二十多年的發(fā)展，中國高校中絕大多數(shù)本?？圃盒６奸_設了各種各樣的數(shù)學建模講座和課程［1］，開拓了一條培養(yǎng)學生利用數(shù)學方法分析和解決實際問題能力的良好途徑。

1985年，首屆大學生數(shù)學建模競賽在美國誕生。經(jīng)過一些從事數(shù)學建模教育的教師的精心組織和積極推動，1989年，中國有幾所大學的學生首次參加美國的數(shù)學建模競賽，而且大學生的參加競賽的積極性也越來越高。數(shù)據(jù)顯示，近幾年來中國數(shù)學建模有了快速發(fā)展，參加數(shù)學建模競賽的學校數(shù)量以及組隊數(shù)量越來越大?？梢哉f，數(shù)學建模競賽是誕生在美國、開花、結果在中國。

1992年，10個城市的大學生數(shù)學模型聯(lián)賽由中國工業(yè)與應用數(shù)學學會組織舉辦，其中參賽單位有74所院校共計314個參賽隊。教育部的領導目光長遠，大力扶持、精心培育了這一新生競賽，從1994年起，全國大學生數(shù)學建模競賽由教育部高教司和中國工業(yè)與應用數(shù)學學會共同主辦，每年一屆。

（三）數(shù)學建模的建模過程

數(shù)學建模的建模過程可以歸納為以下幾個步驟：

1.數(shù)學建模模型的前期準備工作

作者在建模前就要做一些準備工作，比如：了解需要處理問題的實際背景以及現(xiàn)實意義，盡可能多的掌握處理對象的各種相關信息；接著用數(shù)學思想來分析問題的最本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，把數(shù)學思維與問題的全過程充分結合；最后用以數(shù)學語言的形式來描述具體問題，并且所描述的結果有具體的要求：首先是符合數(shù)學理論和習慣，其次是清晰準確。

2.對數(shù)學建模模型進行假設

作者要充分了解問題中實際對象的具體特征，明確建模的目的，對問題進行抽象和簡化，用精準的語言做出符合要求的假設。

3.數(shù)學建模模型的建立

在已經(jīng)進行合理假設的情況下，就可以建立數(shù)學建模模型，具體操作步驟如下：首先采用恰當?shù)臄?shù)學公式、算法、表格以及圖示等工具來表征各變量及常量之間的數(shù)學關系，然后根據(jù)數(shù)學關系采用盡可能簡單的數(shù)學工具來建立相應的數(shù)學模型。

4.數(shù)學建模模型的求解

充分利用前面采集到的數(shù)據(jù)信息，用數(shù)學思維方法對模型所列舉的全部參數(shù)進行計算或者近似計算；如果通過高性能的計算機參與計算效果會更好，可以提高計算的效率和精度。

5.數(shù)學建模模型的分析

撰寫數(shù)學建模模型的分析報告，敘述建立模型的具體思路和具體方法，從數(shù)學的角度詳細分析前面所得的結果是否科學合理。

6.數(shù)學建模模型的檢驗

數(shù)學建模模型應具有一定的準確性、適用性和合理性，可以通過比較模型分析結果和實際情況進行驗證。如果模型與實際情況基本吻合，則描述計算結果的實際意義，并在不容易理解的地方還要進行各種各樣的解釋。如果模型與實際相差甚遠，那么就應該對假設進行修改，然后再次重復前面的建模過程。

7.數(shù)學建模模型的應用與推廣

不同的問題特性和不同的建模目的對應不同的模型應用方式，模型的推廣即在現(xiàn)有模型的基礎上，通過更加全面的考慮，建立一個更符合現(xiàn)實情況的模型。

二、什么是最優(yōu)化方法

最優(yōu)化方法，也稱做運籌學方法，是數(shù)學的一個分支，是在上個世紀第二次世界大戰(zhàn)前后逐步形成的一門學科。最優(yōu)化方法最核心的內(nèi)容是通過運用數(shù)學方法來對各種系統(tǒng)的優(yōu)化途徑以及方案進行研究，為決策者提供科學決策依據(jù)，以便做出科學合理的決策。最優(yōu)化方法的主要研究對象是形式多樣的有組織系統(tǒng)的管理問題以及生產(chǎn)經(jīng)營活動。最優(yōu)化方法的目的是為所研究的系統(tǒng)，找出一個最優(yōu)方案，此方案能最大限度地保障人力、物力和財力三者協(xié)調(diào)運用的合理性，盡可能去發(fā)揮和提高此系統(tǒng)的效益及效能，最終實現(xiàn)此系統(tǒng)的最理想目標。現(xiàn)實生活中的各種事情說明，在科學技術的日益先進和生產(chǎn)經(jīng)營的日益完善的趨勢下，最優(yōu)化方法已經(jīng)充當現(xiàn)代管理科學中重要理論基礎的角色，也是現(xiàn)代管理科學中不可或缺的方法，而且在經(jīng)濟管理、項目規(guī)劃、交通設計、生態(tài)建設等各個領域得到廣泛的應用，發(fā)揮著不可取代的巨大作用［2］。

從數(shù)學角度上來說，最優(yōu)化方法的本質(zhì)就是一種求極值的方法，具體的說就是在一組約束條件為等式或者不等式的情形下，使得系統(tǒng)的目標函數(shù)要么達到最大值，要么達到最小值。從經(jīng)濟角度上來說，有兩種情形：（1）是在一些客觀的資源條件下，比如：人力、財力、物力等等，產(chǎn)生最大的經(jīng)濟效益，比如：利潤最大或者產(chǎn)值最高；（2）如果生產(chǎn)或者經(jīng)濟任務是預先固定的，讓投入的人力、財力和物力等資源支出減到最少，換句話說，這種情形就相當于節(jié)約成本。

以最優(yōu)化方法對實際問題進行求解，大概可以按下面五個步驟進行：

1.明確最優(yōu)化問題是什么，盡量多收集與問題相關的一些數(shù)據(jù)以及資料；

2.建立最優(yōu)化問題的數(shù)學模型，即找出具體變量，還需列舉目標函數(shù)和約束條件；

3.分析建立好的數(shù)學模型，找出符合要求的最優(yōu)化方法；

4.對問題進行求解，目前普遍做法是先用一種程序語言來編寫程序，然后在計算機運行，從而求得最優(yōu)解；

5.對最優(yōu)解進行檢驗和實施。

實際問題錯綜復雜，前面五個步驟也涉及到很多因素，它們是相互支持同時也相互制約，幾十年的實踐證明這種五個步驟不是線性的，它們經(jīng)常需要反復交叉進行。

三、最優(yōu)化方法在數(shù)學建模中的應用

總的來說，數(shù)學建模就是將實際問題進行整理、分析、假設等手段后得到數(shù)學模型，通過求解數(shù)學模型得到最優(yōu)解決方案。眾所周知，數(shù)學模型的求解過程是一個既關鍵又困難的過程，而很多數(shù)學模型都是最優(yōu)化模型，即在一定的約束條件下，求目標函數(shù)的最優(yōu)解。最優(yōu)化方法就是一種求解最優(yōu)化問題的方法，它提供了不同算法來解決各種各樣的優(yōu)化問題。

最優(yōu)化模型有三要素，就是目標函數(shù)、變量和約束條件：（1）目標函數(shù)：評價任何一個事物好不好，首先要有一個評價標準，也不例外；目標函數(shù)就是對問題的最優(yōu)化評價標準的數(shù)學描述；目標函數(shù)非常多，比如：系統(tǒng)功能的函數(shù)、費用的函數(shù)等等。但所有函數(shù)必須滿足一個規(guī)則：在滿足規(guī)定的約束條件下得到最大值或最小值。（2）變量是指最優(yōu)化問題中將要確定的一些參數(shù)。（3）約束條件就是在求解最優(yōu)解時對變量提出的一些限制，主要有幾個方面：比如時間上的約束、資源上的約束和技術上的約束等等；要想求得的系統(tǒng)最優(yōu)解越接近實際最優(yōu)解，就必須讓列出的約束條件越接近實際系統(tǒng)，兩者關系是密切相關的。

最優(yōu)化模型的一般形式如下：

其中x=（x1，xn）T∈Rn是決策變量，f（x）是目標函數(shù)，gi（x），hj（x）分別是不等式約束和等式約束函數(shù)。最優(yōu)化模型根據(jù)目標函數(shù)和約束函數(shù)的特性可分為不同類型的問題，如線性規(guī)劃問題、非線性規(guī)劃問題、均衡約束問題、整數(shù)規(guī)劃問題、目標規(guī)劃問題、動態(tài)規(guī)劃問題等等。最優(yōu)化問題和最優(yōu)化方法求解兩者是多對多的關系，一種最優(yōu)化問題可以用一種或者多種最優(yōu)化方法求解，反過來，某種最優(yōu)化方法可對一種或者多種不同類型的最優(yōu)化問題進行求解。

線性規(guī)劃問題、非線性規(guī)劃問題和無約束規(guī)劃問題都可以利用Matlab中的優(yōu)化工具箱來求解。例如

1.使用Matlab求解線性規(guī)劃模型：

可使用命令linprog，調(diào)用格式如下：

其中X為n維向量，Ceq（X）與G（X）皆為非線性函數(shù)組成的函數(shù)。可以使用fmincon函數(shù)，其命令格式為：

x=fmincon（'fun'，X0，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB）。

傳統(tǒng)優(yōu)化方法以及前面講到的處理方法在優(yōu)化模型規(guī)模較大或復雜性較高有些情況下是不能取得令人滿意的效果。優(yōu)化模型規(guī)模較大或復雜性較高有以下幾個方面：（1）優(yōu)化模型中夾雜某些很復雜的非線性函數(shù)；（2）數(shù)據(jù)需要預先進行擬合預測；（3）優(yōu)化模型包含了隨機變量；（4）需要對優(yōu)化模型按分類進行鑒別。在優(yōu)化模型規(guī)模較大或復雜性較高的情況下，就可采用最優(yōu)化理論的非經(jīng)典算法進行求解。最優(yōu)化理論的非經(jīng)典算法包括神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳算法、模擬退火算法、蒙特卡羅算法和支持向量機方法。

神經(jīng)網(wǎng)絡算法主要原理是首先明確不同輸入?yún)?shù)間的依賴關系，再以比較高的精度盡量逼近復雜的非線性函數(shù)，然后從大量數(shù)據(jù)當中進行總結，找出一些基本規(guī)律。人工神經(jīng)網(wǎng)絡算法對非線性關系很復雜的數(shù)據(jù)進行擬合并估計相關參數(shù)這方面有獨到之處。此算法的擬和序列不但能夠模仿復雜的分段函數(shù)和非線性函數(shù)，而且不需要預先假定數(shù)據(jù)之間存在某種類型的函數(shù)關系，這樣可以顯著地提高信息的使用效率。另外，人工神經(jīng)網(wǎng)絡算法在模式識別、鑒定、分類等方面有廣泛的應用。

模擬退火算法和遺傳算法屬于全局優(yōu)化搜索算法，它們在組合優(yōu)化問題方面有著很大的適用性，在數(shù)學建模中的優(yōu)勢主要在于解決規(guī)模比較大復雜性較比高的問題。這兩種算法在現(xiàn)實當中也有一些應用，比如：CUMCM2000年B題“鋼管訂購和運輸”可建立非線性規(guī)劃模型，如果用傳統(tǒng)優(yōu)化算法進行求解會很困難，但采用遺傳算法求解則相對容易些；CUMCM2002年B題“彩票中的數(shù)學”：有建模者依據(jù)效用理論中的主觀概率以及彩票信息在人群中的傳播效應，很快制定了確定“更好”方案，這方案就是建立了三個規(guī)模較大并且很復雜的非線性規(guī)劃模型，這種情況下，可采用模擬退火算法取得全局最優(yōu)解［3］。

在建模過程中，有時會構建隨機規(guī)劃模型。例如CUMCM2005年D題“DVD在線租賃”問題，此時可用蒙特卡羅方法。

支持向量機算法比較適用于樣本有限的情況，它的原理是盡量提高學習機泛化能力，使得經(jīng)驗風險和置信范圍的最小化，最終為了達到在統(tǒng)計樣本量比較少的情況下，能夠獲得比較好的統(tǒng)計規(guī)律的目的，而要取得前面的效果的主要途徑是通過找尋結構化風險最小來實現(xiàn)的。

除此之外還有蟻群算法，它是一種用來在圖中尋找優(yōu)化路徑的機率型算法。

綜上所述，最優(yōu)化理論與數(shù)學建模之間的關系是緊密相連的，數(shù)學模型來源于生活和實踐，所建立的模型會越來越龐大復雜，因為實踐中的各種問題經(jīng)常是多種多樣且可能會隨時變化的。所以，一個好的數(shù)學模型的建立，有利于用最優(yōu)化理論解決實際問題，經(jīng)常會給實際問題帶來突破性的進展。

［1］王玉英，史加榮，王建國，等.數(shù)學建模及其軟件實現(xiàn)［M］.清華大學出版社，2015.

［2］袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法［M］.科學出版社，1997.

［3］徐慶娟，韋程東.淺談數(shù)學建模過程中優(yōu)化模型的處理方法［J］.廣西師范學院學報：自然科學版，2010，27（2）：102-105.

This paper introduces the definition，origin，development and modeling process of mathematical modeling.And then the relevant theories of optimization method are introduced.Finally，the application of optimization method in mathematical modeling is studied.

mathematical modeling；optimization method；optimization algorithm

G642

A

2096-000X（2016）21-0118-03

河池學院教改課題（編號：2014EB019）

黃青群（1980-），女，漢，廣西梧州人，河池學院數(shù)學與統(tǒng)計學院講師，碩士，主要研究方向：優(yōu)化理論與算法。