王興平

時(shí)變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定

王興平1

研究滿足駐留時(shí)間條件的時(shí)變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定問題.在一致完全可控條件下，引入帶權(quán)可控性格拉姆矩陣設(shè)計(jì)出參數(shù)化的反饋控制器，利用比較原理給出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的超調(diào)估計(jì).針對駐留時(shí)間已知和未知兩種情況，通過選擇設(shè)計(jì)參數(shù)消除切換產(chǎn)生的超調(diào)影響，建立了兩個(gè)指數(shù)鎮(zhèn)定結(jié)論.最后以仿真實(shí)例驗(yàn)證本文結(jié)論.

時(shí)變線性切換系統(tǒng)，駐留時(shí)間，超調(diào)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，指數(shù)鎮(zhèn)定

引用格式王興平.時(shí)變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定.自動化學(xué)報(bào)，2016，42（9）：1440-1444

切換系統(tǒng)由一組有限個(gè)子系統(tǒng)和一個(gè)描述子系統(tǒng)如何切換的切換規(guī)則組成.工程中有許多系統(tǒng)，如化工系統(tǒng)、機(jī)電系統(tǒng)、多智能體系統(tǒng)等，在不同階段或不同條件需以不同的系統(tǒng)模型來描述，它們都可歸結(jié)為切換系統(tǒng).由于這些工程應(yīng)用背景的推動，近年來，切換系統(tǒng)的研究在控制理論領(lǐng)域備受關(guān)注.

共同二次Lyapunov函數(shù)方法是切換系統(tǒng)研究最基本的方法［1-4］.這一方法與一般系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)方法平行，思路最為簡明，得到的結(jié)果可以適用于任意切換規(guī)則，但這一方法對系統(tǒng)有相當(dāng)高的要求，文獻(xiàn)［5］利用Lie代數(shù)理論給出共同二次Lyapunov函數(shù)存在的條件.對一般切換系統(tǒng)，共同二次Lyapunov函數(shù)并不總是存在［6］.在文獻(xiàn)［7］中，作者針對切換系統(tǒng)的特點(diǎn)引入多Lyapunov函數(shù)方法，這一方法擴(kuò)展了Lyapunov函數(shù)方法應(yīng)用的范圍，是切換系統(tǒng)研究的重要方法［8-10］.文獻(xiàn)［11］將LaSalle不變原理推廣到一類線性切換系統(tǒng)，對多Lyapunov函數(shù)方法作出進(jìn)一步的補(bǔ)充完善.還有一些文獻(xiàn)不使用Lyapunov函數(shù)方法研究切換系統(tǒng)［12-14］，其中文獻(xiàn)［12］的方法比較富有啟發(fā)性.切換系統(tǒng)在系統(tǒng)切換時(shí)會出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，它能使一個(gè)由穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)變得不穩(wěn)定.文獻(xiàn)［12］對切換超調(diào)做出估計(jì)并給出消除超調(diào)的方法，建立了線性切換系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定的結(jié)論.

本文在駐留時(shí)間假設(shè)下研究時(shí)變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定問題.在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，關(guān)于這一問題的結(jié)論尚不多見.在時(shí)變系統(tǒng)中應(yīng)用Lyapunov函數(shù)方法往往會牽涉復(fù)雜的數(shù)學(xué)處理，本文的研究方法追隨文獻(xiàn)［12］.切換系統(tǒng)不同于一般系統(tǒng)的一個(gè)特點(diǎn)是系統(tǒng)在切換時(shí)會發(fā)生超調(diào)，這會使由穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)變得不穩(wěn)定.所以，實(shí)現(xiàn)切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定除實(shí)現(xiàn)子系統(tǒng)的鎮(zhèn)定外，還需消除切換超調(diào)的不利影響.本文引入帶權(quán)格拉姆可控性矩陣，對滿足一致完全可控性條件的時(shí)變線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)出含設(shè)計(jì)參數(shù)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器，然后利用微分方程的比較原理給出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣在切換時(shí)的超調(diào)估計(jì).在駐留時(shí)間已知和未知兩種情況下，通過選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)參數(shù)消除超調(diào)的不利影響，給出兩個(gè)時(shí)變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定結(jié)論.這兩個(gè)結(jié)論可看作文獻(xiàn)［12］中的結(jié)果在時(shí)變情景下的推廣.本文結(jié)論證明使用基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的矩陣分析技術(shù)比基于Lyapunov函數(shù)的分析方法更簡潔，同時(shí)這一方法建立在對系統(tǒng)狀態(tài)的直接分析上，相同的條件下可以得到更直接的結(jié)果.

1　基本概念和問題敘述

考慮時(shí)變連續(xù)線性系統(tǒng)

的解為系統(tǒng)（1）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為Φ（t，s）.系統(tǒng)（1）的可控性格拉姆矩陣（簡稱格拉姆矩陣）定義為

稱時(shí)變線性系統(tǒng)（1）是完全可控的（Completely controllable），如在任意時(shí)刻t0，任給初值，都存在定義在某一區(qū)間［t0，tf］上的控制輸入，將系統(tǒng)狀態(tài)在tf時(shí)刻驅(qū)動至0［15］.系統(tǒng)（1）是完全可控的一個(gè)充要條件是：對任給t0≥0，都存在tf＞t0使得G（t0，tf）＞0是正定的［15］.進(jìn)一步如存在ε2＞ε1＞0，δ＞0使對所有t≥0都成立

就稱系統(tǒng)（1）關(guān)于完全可控性是一致的（Uniform with respect to complete controllability）［16］.

考慮包含N個(gè)n維時(shí)變線性系統(tǒng)的切換系統(tǒng)

其中切換函數(shù)σ（t）：［0，∞）→｛1，2，···，N｝是一個(gè)右連續(xù)的分段常值函數(shù)，對k=1，···，N，所有矩陣Ak（t），Bk（t）的元素都是分段連續(xù)的.切換函數(shù)σ（t）的切換時(shí)刻0=t0＜t1＜···定義為

記τk=tk+1-tk.在本文我們對切換函數(shù)σ（t）提出駐留時(shí)間假設(shè).

假設(shè)1.切換函數(shù)σ（t）的駐留時(shí)間τ=infkτk＞0.

本文研究時(shí)變線性切換系統(tǒng)（5）的指數(shù)鎮(zhèn)定問題.在切換函數(shù)σ（t）滿足假設(shè)1的條件下，分別就τ已知和τ未知兩種情況設(shè)計(jì)具有時(shí)變增益陣的狀態(tài)反饋控制器

指數(shù)鎮(zhèn)定時(shí)變線性切換系統(tǒng)（5）.

2　主要結(jié)論

2.1基本引理

仿照文獻(xiàn)［16］，引入帶權(quán)格拉姆矩陣

如存在δ＞0，使得對所有t≥0系統(tǒng)（1）的格拉姆矩陣G（t，t+δ）＞0，則對任意t≥0，

取反饋增益陣

以Φ（α，δ，t，s）表示系統(tǒng)（9）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，下面引理給出一個(gè)Φ（α，δ，t，s）的范數(shù)估計(jì).

引理1.如果存在ε2＞ε1＞0，δ＞0使得系統(tǒng)（1）的格拉姆矩陣G（t，s）對所有t≥0滿足式（4），則對任意α＞0和任意t≥s≥0都有

從引理1的結(jié)論可以推出，當(dāng)α＞0時(shí)，控制器（8）可以指數(shù)鎮(zhèn)定系統(tǒng)（1）.另外，當(dāng)t→s時(shí)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣會出現(xiàn)瞬態(tài)超調(diào)［12］.引理1對這一超調(diào)也給出估計(jì)，這一超調(diào)具有上界.超調(diào)現(xiàn)象對切換系統(tǒng)的穩(wěn)定控制有著不利的影響，它能使由穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)經(jīng)切換變?yōu)椴环€(wěn)定，實(shí)現(xiàn)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定必須要消除超調(diào)的影響.從引理1可以看出，當(dāng)t＞s時(shí)，只要選取充分大的α，自t時(shí)刻之后超調(diào)對轉(zhuǎn)移矩陣的影響就會被指數(shù)衰減項(xiàng)e-2α（t-s）任意抵消.這一事實(shí)是后面主要結(jié)論證明的基礎(chǔ).引理的證明在附錄中給出.

2.2主要定理

以Φi（t，s），Gi（t，s）分別表示切換系統(tǒng)（5）的第i個(gè)子系統(tǒng)

的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和格拉姆矩陣，相應(yīng)的帶權(quán)格拉姆矩陣Gi（α，t，s）定義為

定理1.假定時(shí)變線性切換系統(tǒng)（5）的切換函數(shù)σ（t）滿足假設(shè)1且τ已知.如果存在δ＜τ和ε2＞ε1＞0使對所有i=1，2，···，N和所有t≥0都有

則當(dāng)

時(shí)，狀態(tài)反饋控制器

指數(shù)鎮(zhèn)定時(shí)變線性切換系統(tǒng)（5）.

證明.記

將反饋控制器（15）作用到切換系統(tǒng)（5）得到

下面證明如α滿足條件（14），系統(tǒng)（17）是指數(shù)漸近穩(wěn)定的.

設(shè)σ（t）具有切換時(shí)刻0=t0＜t1＜t2＜···，系統(tǒng)（17）可以寫成分段形式

其中Φi（α，δ，t，s）是系統(tǒng)

的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.于是，由式（19），得

利用條件（14）可以推出兩個(gè)不等式，

根據(jù)引理1，得到（20）中狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的估計(jì)

將式（23）代入式（20），并應(yīng)用式（21）、（22）化簡整理可得

此即閉環(huán)系統(tǒng)（17）是指數(shù)漸近穩(wěn)定的.

下面考慮切換函數(shù)σ（t）滿足假設(shè)1但駐留時(shí)間τ未知這一情況.由于定理1中的τ和δ需要滿足條件δ＜τ，在τ未知時(shí)，這一條件是無法驗(yàn)證的，所以，定理1的結(jié)論在這一情況下是不可用的.下面我們給出新的反饋控制設(shè)計(jì)方法.這一方法是在每一切換時(shí)刻tk給出τ的估計(jì)值，根據(jù)估計(jì)值選擇滿足的δk及合適的αk，再由選定的αk和δk分別按式（12）、（16）計(jì)算Gσ（tk）（αk，t，s）及反饋增益矩陣Kσ（tk）（αk，δk，t）.

為保證Kσ（tk）（αk，δk，t）的計(jì)算對所有可能的τ＞0都有意義，這里提出條件，要求對任意小的δ＞0都存在ε1，ε2＞0使式（13）成立，也即存在定義在正實(shí)數(shù)集上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)ε2（δ）＞ε1（δ）＞0，使對所有i=1，2，···，N，t≥0和δ＞0都有

定義函數(shù)

則h（δ）＞1且在（0，1］上是連續(xù)單調(diào)下降的.

依照上面描述的思路，下面給出在每一切換時(shí)刻設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器的遞歸步驟.

初始化.在系統(tǒng)初始時(shí)刻t0=0，直接取作為τ的估計(jì)值，然后定義

按式（12）和式（16）分別計(jì)算格拉姆矩陣Gσ（t0）（α0，t，s）和反饋增益矩陣Kσ（0）（α0，δ0，t），定義t0=0時(shí)刻狀態(tài)反饋控制器為

步驟1.在切換時(shí)刻t=t1，取作為τ的估計(jì)值并定義

按式（12）和式（16）分別計(jì)算格拉姆矩陣Gσ（t1）（α1，t，s）和反饋增益矩陣Kσ（t1）（α1，δ1，t），定義t1時(shí)刻狀態(tài)反饋控制器為

步驟k.在切換時(shí)刻t=tk，取作為τ的估計(jì)值并定義

按式（12）和式（16）分別計(jì)算格拉姆矩陣Gσ（tk）（αk，t，s）和反饋增益矩陣Kσ（tk）（αk，δk，t），定義tk時(shí)刻狀態(tài)反饋控制器為

按這樣的遞歸程序，我們在每一切換時(shí)刻都設(shè)計(jì)出狀態(tài)反饋控制器.下面證明，如條件（25）成立，這樣遞歸設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器可以在τ未知時(shí)實(shí)現(xiàn)切換系統(tǒng)（5）的指數(shù)鎮(zhèn)定.

定理2.假定時(shí)變線性切換系統(tǒng)（5）的切換函數(shù)σ（t）滿足假設(shè)1但τ未知.如果存在定義在正實(shí)數(shù)集上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)ε2（δ）＞ε1（δ）＞0，使得式（25）對所有i=1，2，···，N，t≥0和δ＞0都成立，則按以上遞歸步驟設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器指數(shù)鎮(zhèn)定時(shí)變線性切換系統(tǒng)（5）.

證明.在每一切換時(shí)刻將如上遞歸設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器作用于切換系統(tǒng)（5），其閉環(huán)系統(tǒng)可以寫成分段形式

令k=max｛i：ti＜t｝并記系統(tǒng)（29）在初始0時(shí)刻的初值為，閉環(huán)系統(tǒng)（29）的狀態(tài)可以表示為

其中Φσ（ti）（αi，δi，t，s），i=0，1，···是系統(tǒng)

的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.

由定義，δk滿足0＜δk≤1且是單調(diào)下降的，其極限為

進(jìn)一步，由定義函數(shù)h（δ）在區(qū)間0＜δ≤1連續(xù)單調(diào)下降，所以h（δk）單調(diào)上升收斂到h（δ）＞1.再由αk定義，αk單調(diào)上升且具有極限

于是，根據(jù)極限定義可知，存在正整數(shù)k0，當(dāng)k≥k0時(shí)，下面三個(gè)不等式同時(shí)成立

利用式（31），首先有

因?yàn)閠≥kτ及2δ≤τ，所以k≤t/τ≤t/（2δ）.于是，利用上面兩個(gè)不等式可以得到

其中C3=2C1-2C2.將此不等式代入式（30）即有

3　仿真實(shí)例

下面給出一個(gè)仿真實(shí)例驗(yàn)證定理2的結(jié)論.取

考慮二階時(shí)變線性切換系統(tǒng)

其中切換函數(shù)σ（t）如下定義：在［0，1］隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)a，然后在［a，2a］中重復(fù)獨(dú)立隨機(jī)選取數(shù)列τ0，τ1，···.令

定義

這樣，σ（t）的駐留時(shí)間τ=infkτk≥a且以概率1大于0，但τ不能提前預(yù)知.對任意t≥0，δ＞0，可驗(yàn)證兩個(gè)子系統(tǒng)的格拉姆矩陣都滿足一致完全可控性條件（25）.

按定理2中給出的步驟設(shè)計(jì)反饋控制器并應(yīng)用于切換系統(tǒng)（32）.在平面區(qū)域［-10，10］×［-10，10］內(nèi)隨機(jī)選取系統(tǒng)初值，然后運(yùn)行仿真.為顯示控制策略的有效性，仿真程序獨(dú)立運(yùn)行兩次，兩次仿真中隨機(jī)產(chǎn)生的駐留時(shí)間τ以概率1是不同的，每次運(yùn)行系統(tǒng)執(zhí)行四次切換.仿真結(jié)果如圖1及圖2所示.

圖1　第一次仿真運(yùn)行結(jié)果Fig.1Simulation results in the first run

圖2　第二次仿真運(yùn)行結(jié)果Fig.2Simulation results in the second run

4　結(jié)語

切換系統(tǒng)與一般系統(tǒng)的一個(gè)不同之處就是切換動作對系統(tǒng)行為的影響，其中最為常見的就是超調(diào)的影響.超調(diào)會使由穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)經(jīng)切換變?yōu)椴环€(wěn)定，所以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定需消除超調(diào)對系統(tǒng)的不利影響.本文研究一類具有一致完全可控性的時(shí)變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定問題.通過引入帶權(quán)格拉姆可控陣，設(shè)計(jì)出含有設(shè)計(jì)參數(shù)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器，并利用比較原理給出閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的超調(diào)估計(jì).在切換規(guī)則滿足駐留時(shí)間假設(shè)的前提下，對駐留時(shí)間已知和未知兩種情況分別選擇設(shè)計(jì)參數(shù)消除切換超調(diào)的影響，建立了兩個(gè)時(shí)變線性切換系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定的結(jié)論.這兩個(gè)結(jié)論將駐留時(shí)間條件下的定常線性切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定結(jié)論推廣至?xí)r變情形.

附錄引理1的證明

對這一微分不等式應(yīng)用比較定理［17］，得出

根據(jù)G（α，t，t+δ）定義及e4α（t-σ）的單調(diào)性，有

所以

于是

代入式（A2）整理可得

因?yàn)棣担é?，δ，t，s）是系統(tǒng)（A1）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，所以，代入式（A3）并利用矩陣范數(shù)定義就可得到

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王興平海軍航空工程學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)研究所副教授.主要研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)和多智能體系統(tǒng).E-mail：wangxpyan@hotmail.com（WANG Xing-PingAssociate professor at the Institute of Systems Science and Mathematics，Naval Aeronautical and Astronautical University.His research interest covers nonlinear systems and multi-agent systems.）

Exponential Stabilization of Switched Time-varying Linear Systems

WANG Xing-Ping1

The paper considers the exponential stabilization problem for switched time-varying linear systems with dwell time.Under the uniformly complete controllability condition，parameterized feedback controllers are designed by introducing the weighted controllability Gramian.Furthermore，an estimation of overshoots of the state transition matrix is derived using the comparison principle.By choosing the parameters to absorb the resulting overshoots，two exponential stabilization results are given for the cases of known and unknown dwell time.Finally，the effectiveness of the results is illustrated by a numerical example.

Switched time-varying linear systems，dwell time，overshoot，state transition matrix，exponential stabilization

Manuscript August 31，2015；accepted February 15，2016

10.16383/j.aas.2016.c150540

Wang Xing-Ping.Exponential stabilization of switched time-varying linear systems.Acta Automatica Sinica，2016，42（9）：1440-1444

2015-08-31錄用日期2016-02-15

本文責(zé)任編委孫希明

Recommended by Associate Editor SUN Xi-Ming

1.海軍航空工程學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)研究所煙臺264001

1.Institute of Systems Science and Mathematics，Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001