朱　捷，徐　源，陳孝國

(黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150022)

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區(qū)間梯形模糊軟集及其相關(guān)性質(zhì)

朱捷，徐源，陳孝國

(黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150022)

為進(jìn)一步豐富模糊軟集擴(kuò)展理論，提出了區(qū)間梯形模糊軟集的定義，并給出交、并、補(bǔ)等運(yùn)算性質(zhì)，得到結(jié)合律、分配律、對偶律等相關(guān)定理并給出證明。該研究成果對區(qū)間梯形模糊軟集理論完善和實(shí)際應(yīng)用起到一定的促進(jìn)作用。

軟集； 區(qū)間梯形模糊數(shù)； 區(qū)間梯形模糊軟集

0　引　言

隨著社會不斷發(fā)展，許多工程問題變得越來越復(fù)雜，影響因素眾多、數(shù)據(jù)量較大，常用的處理方法概率論[1]、區(qū)間數(shù)理論[2]、模糊理論[3]和粗糙集理論[4]都無法得到滿意的結(jié)果。為此，Molodtsov D[5]在1999年針對不確定性問題提出了軟集概念。軟集具有參數(shù)化更加靈活，能夠細(xì)膩地描述客觀事物的不確定性等優(yōu)勢，所以軟集被提出后迅速受到眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注，Majumdar等[6]提出了軟集的相似度概念。Ali等[7]研究了軟集的限制交集及限制并集。毛軍軍等[8]利用衰減函數(shù)定義了時(shí)序模糊軟集。在軟集擴(kuò)展方面，Maji等[9]將模糊集與軟集相結(jié)合提出模糊軟集理論。Kuang等[10-11]將三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)與軟集相結(jié)合提出了三角模糊軟集和梯形模糊軟集。陳孝國等[12]在上述研究基礎(chǔ)上提出了區(qū)間三角模糊軟集的概念，并討論了AND、OR等相關(guān)運(yùn)算及性質(zhì)。

雖然軟集的擴(kuò)展研究取得了豐碩成果，但是對區(qū)間梯形模糊軟集的研究相對較少，且文獻(xiàn)[12]提出的定理在運(yùn)算上較為復(fù)雜，需要進(jìn)一步改進(jìn)。因此，筆者提出區(qū)間梯形模糊軟集的概念，并探討區(qū)間梯形模糊軟集的運(yùn)算性質(zhì)和相關(guān)定理，以期豐富模糊軟集理論。

1　區(qū)間梯形模糊數(shù)及其性質(zhì)

如果0

定義2設(shè)s=[(a-,a+);b;c;(d-,d+)]和t=[(m-,m+);h;k;(g-,g+)]是兩個(gè)區(qū)間梯形模糊數(shù)，如果a-≤m-,a+≤m+,b≤h,c≤k,d-≤g-,d+≤g+，則稱s≤t。

定義3設(shè)s=[(a-,a+);b;c;(d-,d+)]和t=[(m-,m+);h;k;(g-,g+)]是兩個(gè)區(qū)間梯形模糊數(shù)，則

s∩t=[(min(a-,m-),min(a+,m+));min(b,h);min(c,k);(min(d-,g-),min(d+,g+))],

s∪t=[(max(a-,m-),max(a+,m+));max(b,h);max(c,k);(max(d-,g-),max(d+,g+))]。

定義4設(shè)t=[(m-,m+);h;k;(g-,g+)]是一區(qū)間梯形模糊數(shù)，則t的補(bǔ)集為

tc=[(1-g+,1-g-);1-k;1-h;

(1-m+,1-m-)] 。

定義5設(shè)s=[(a-,a+);b;c;(d-,d+)]和t=[(m-,m+);h;k;(g-,g+)]是兩個(gè)區(qū)間梯形模糊數(shù)，常數(shù)k>0，則

s+t=[(a-+m--a-m-,a++m+-a+m+);

b+h-bh;c+k-ck;(d-+g--

d-g-,d++g+-d+g+)],

ks=[(1-(1-a-)k,1-(1-a+)k);1-(1-b)k;1-(1-c)k;(1-(1-d-)k,1-(1-d+)k)]。

定義3至定義5能夠保證規(guī)范區(qū)間梯形模糊數(shù)運(yùn)算的封閉性。

2　區(qū)間梯形模糊軟集及其性質(zhì)

定義6設(shè)U為論域，E為參數(shù)集，Г(U)表示論域U上所有區(qū)間梯形模糊集，A?E稱(F,A)為論域U上的一個(gè)區(qū)間梯形模糊軟集，其中映射F：A→Г(U)。即對?e∈A，有

F(e)={〈x,sF(e)(x)〉|x∈U}，

式中，SF(e)是F(e)中x所對應(yīng)的區(qū)間梯形模糊數(shù)。

定義7假設(shè)(F,A)和(G,B)是定義在論域U上的區(qū)間梯形模糊軟集，說(F,A)∩(G,B)=(H,C)為這兩個(gè)集合的交集，而且(F,A)∩(G,B)=(H,C)，這里C=A∩B 。對于?ε∈C，有

H(ξ)=F(ξ)∩G(ξ)={〈x,sF(ξ)(x)∩

sG(ξ)(x)〉|x∈U}，

sF(ε)(x)和sG(ε)(x)分別是F(ε)和G(ε)中x所對應(yīng)的區(qū)間梯形模糊數(shù)。

定義 8設(shè)(F,A)和(G,B)為論域U上的兩個(gè)區(qū)間梯形模糊軟集，有(F,A)∪(G,B)是這兩個(gè)集合的并集，而(F,A)∪(G,B)=(M,D)，這里D=A∪B。對于?ε∈D，有

M(ε)=F(ε)∪G(ε)={〈x,sM(ε)(x)〉|x∈U}，

這里，

其中，sF(ε)(x)和sG(ε)(x)分別為F(ε)和G(ε)中x所對應(yīng)的區(qū)間梯形模糊數(shù)。

3　區(qū)間梯形模糊軟集的相關(guān)定理

定理1設(shè)(F,A)和(G,B)是論域U上的區(qū)間梯形模糊軟集，有

(1)((F,A)∪(G,B))c=(F,A)c∩(G,B)c，

(2)((F,A)∩(G,B))c=(F,A)c∪(G,B)c。

證明(1)和(2)的證明過程相似，所以只證(1)。假設(shè)

(F,A)∪(G,B)=(M,D)，

這里

((F,A)∪(G,B))c=(M,D)c=(Mc,D)，

而

(F,A)c∩(G,B)c=(Fc,A)∩(Gc,B)=(H,C)。

對于?ε∈D，有

Mc(ε)=(M(ε))c=({〈x,sM(ε)(x)〉|x∈U})c=

Fc(ε)∩Gc(ε)=H(ε)。

所以，

((F,A)∪(G,B))c=(F,A)c∩(G,B)c

成立。

定理2設(shè)((F,A)∪(G,B))c=(F,A)c∩(G,B)c(F,A),(G,B)和(L,C)為論域U上的兩個(gè)區(qū)間梯形模糊軟集，然后有:

(1)((F,A)∪(G,B))∪(L,C)=(F,A)∪((G,B)∪(L,C))，

(2)((F,A)∩(G,B))∩(L,C)=(F,A)∩((G,B)∩(L,C))。

證明(1)和(2)的證明過程類似，所以只證(1)。假設(shè)

(F,A)∪(G,B)=(M1,D1),

(M1,D1)∪(L,C)=(M2,D2),

(G,B)∪(L,C)=(M3,D3),

(F,A)∪(M3,D3)=(M4,D4)。

這里D2=D4=A∪B∪C。對于?ε∈D1，有

M1(ε)={〈x,sM1(ε)(x)〉|x∈U}，

對于?ε∈D3，有

M3(ε)={〈x,sM3(ε)(x)〉|x∈U}，

對于?ε∈D2，有

M2(ε)={〈x,sM2(ε)(x)〉|x∈U}，

對于?ε∈D4，有

M4(ε)={〈x,sM4(ε)(x)〉|x∈U},

從以上運(yùn)算規(guī)則中，得到

sM2(ε)(x)=sM4(ε)(x)。

所以，

((F，A)∪(G，B))∪(L，C)=(F，A)∪((G，B)∪(L，C))成立。

定理3假設(shè)(F，A)，(G，B)和(L，C)為論域U上的區(qū)間梯形模糊軟集，有

(1)((F，A)∪(G，B))∩(L，C)=((F，A)∩(L，C)∪((G，B)∩(L，C))，

(2)((F，A)∩(G，B))∪(L，C)=((F，A)∪(L，C)∩((G，B)∪(L，C))。

證明只需證明(1)，因?yàn)?1)和(2)證明過程類似。假設(shè)

(F，A)∪(G，B)=(M1，D1)，

(M1，D1)∩(L，C)=(H1，D2)，

(F，A)∩(L，C)=(H2，D3)，

(G，B)∩(L，C)=(H3，D4)，

(H2，D3)∪(H3，D4)=(M2，D5)。

顯然，D2=D5=(A∪B)∩C。對于?ε∈D1，有:

M1(ε)={〈x，sM1(ε)(x)〉|x∈U}，

對于?ε∈D2，有:

H1(ε)={〈x，sH1(ε)(x)〉|x∈U}=

{〈x，sM1(ε)(x)∩sL(ε)(x)〉|x∈U}，sH1(ε)(x)=

對于?ε∈D3，有

H2(ε)={〈x，sH2(ε)(x)〉|x∈U}=

{〈x，sF(ε)(x)∩sL(ε)(x)〉|x∈U}。

對于?ε∈D4，有

H3(ε)={〈x，sH3(ε)(x)〉|x∈U}=

{〈x，sG(ε)(x)∩sL(ε)(x)〉|x∈U}。

對于?ε∈D5，有:

M2(ε)={〈x，sM2(ε)(x)〉|x∈U}，

從而，

sH1(ε)(x)=sM2(ε)(x)。

所以，

((F，A)∪(G，B))∩(L，C)=((F，A)∩

(L，C)))∪((G，B)∩(L，C))

成立。

4　結(jié)束語

在模糊軟集、梯形模糊軟集和區(qū)間三角模糊軟集的研究基礎(chǔ)上，給出了區(qū)間梯形模糊軟集的定義和交、并、補(bǔ)等運(yùn)算性質(zhì)，并探討了結(jié)合律、分配律、對偶律等相關(guān)定理，給出證明過程。所得研究成果進(jìn)一步擴(kuò)展了模糊軟集理論，也為解決參數(shù)值以區(qū)間梯形模糊數(shù)形式出現(xiàn)的不確定性決策問題提供理論依據(jù)和解決方法。

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(編輯王冬)

Interval-valued trapezoid fuzzy soft set and its properties

ZHU Jie,XU Yuan,CHEN Xiaoguo

(School of Sciences,Heilongjiang University of Science &Technology,Harbin 150022,China)

This paper is an effort to improve the extension study of the fuzzy soft set theory.The study produces the definition of the interval-valued trapezoid fuzzy soft;the operation properties of their intersection union and complementary set;and the relative theorem of its associative law,distributive law,dual law and the proofs.The results could contribute to promote the better application of the interval-valued trapezoid fuzzy soft set theory.

fuzzy soft set;interval-valued trapezoid fuzzy figures;interval-valued trapezoid fuzzy soft set

2016-04-28

黑龍江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(QC2015055)；黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(12531577)；中國礦業(yè)大學(xué)(北京)博士研究生拔尖創(chuàng)新人才培育基金項(xiàng)目(20150606)

朱捷(1964-)，女，浙江省寧波人，教授，博士，研究方向：統(tǒng)計(jì)應(yīng)用，E-mail：zhujie6411@163.com。

10.3969/j.issn.2095-7262.2016.03.020

O159;C934

2095-7262(2016)03-0332-04

A