侯小秋

(黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)

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多變量CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測(cè)濾波PID控制

侯小秋

(黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)

針對(duì)多變量CARMAX模型，采用系統(tǒng)的輸出預(yù)測(cè)值代替系統(tǒng)的當(dāng)前輸出值，提出具有預(yù)測(cè)控制性能的增量型預(yù)測(cè)濾波解耦PID控制算法。采用可克服病態(tài)的多變量系統(tǒng)的遺忘因子遞推最小二乘算法對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，利用自校正預(yù)報(bào)顯式算法對(duì)系統(tǒng)輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)，根據(jù)可克服算法病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)自適應(yīng)控制算法和Robbins-Monro算法，給出了具有在線修正PID控制參數(shù)和加快PID控制參數(shù)收斂性能的多變量CARMAX模型的自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波解耦PID控制算法。仿真結(jié)果表明：改進(jìn)的PID控制算法具有預(yù)測(cè)控制性能和在線修正參數(shù)性能，系統(tǒng)具有較好的控制品質(zhì)。

自適應(yīng)控制； 預(yù)測(cè)控制； PID控制； 參數(shù)估計(jì)； 自校正預(yù)報(bào)； 多變量系統(tǒng)

0　引　言

PID控制算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合現(xiàn)代先進(jìn)控制理論，如自適應(yīng)控制、智能控制、模糊控制等，至今學(xué)者們已提出了一些具有預(yù)測(cè)控制性能的在線修正參數(shù)和整定參數(shù)的PID控制算法，這些算法結(jié)合了PID控制和先進(jìn)控制的優(yōu)異性能。文獻(xiàn)[1]研究了單變量CARMAX模型的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制，但所提出的算法無(wú)預(yù)測(cè)控制性能和無(wú)濾波性能，并且不具有加快PID控制參數(shù)的收斂速度的性能。文獻(xiàn)[2]研究了具有預(yù)測(cè)控制性能和濾波性能，并且具有加快PID控制參數(shù)收斂速度的單變量CARMAX模型的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制，文中研究多變量CARMAX模型的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波解耦PID控制。

1　參數(shù)估計(jì)與預(yù)測(cè)算法

1.1多變量CARMAX模型

設(shè)系統(tǒng)由多變量CARMAX模型描述

A(q-1)y(t)=q-dB(q-1)u(t)+C(q-1)e(t)，

(1)

式中：y(t)——m維輸出；

u(t)——m維輸入；

e(t)——零均值 ，方差為σ2的白噪聲m維向量序列；

t——離散時(shí)刻；

q——后移算子；

d——系統(tǒng)的時(shí)滯；

A(q-1),B(q-1),C(q-1)——矩陣多項(xiàng)式。

而

A(q-1)=I+A1q-1+…+Anaq-na,

B(q-1)=B0+B1q-1+…+Bnbq-nb,

C(q-1)=I+C1q-1+…+Cncq-nc。

式中：Ai、Bi、Ci——系數(shù)矩陣；

na、nb、nc——階數(shù)。

1.2改進(jìn)的可克服病態(tài)的遞推最小二乘算法

將文獻(xiàn)[3]的可克服病態(tài)的遞推最小二乘算法推廣到多變量系統(tǒng)，應(yīng)用于文中進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，將待估參數(shù)準(zhǔn)則函數(shù)中的待估參數(shù)增量約束項(xiàng)的等權(quán)的加權(quán)因子改進(jìn)為不等權(quán)的時(shí)變的對(duì)角矩陣。

將式(1)寫為如下分量形式

yi(t+1)=fi[Y(t)，U(t-d+1)，E(t)，θi]+

ei(t+1),(i=1,2,…,m)

(2)

式中：yi(t+1)——y(t+1) 的分量；

ei(t+1)——e(t+1)的分量；

Y(t)——系統(tǒng)的輸出的集合；

U(t-d+1)——系統(tǒng)的輸入的集合；

E(t)——噪聲的集合；

θi——fi(…)中的未知參數(shù);

fi(…)——線性函數(shù)。

參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)則函數(shù)

(3)

式中：N——離散時(shí)刻；

μ——遺忘因子；

λi(N)——權(quán)重對(duì)角矩陣；

Ji,N(θi)——參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)則函數(shù)。

(4)

[3]的推導(dǎo)可得如下遺忘因子遞推最小二乘算法

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：Pi(N)——參數(shù)估計(jì)誤差協(xié)方差陣；

φi(N)——fi(…)關(guān)于θi的梯度；

1.3自校正預(yù)報(bào)顯示算法

B(q-1)u(t+j-d),

(9)

(10)

Fj(q-1)——矩陣多項(xiàng)式。

C (q-1)=A (q-1)Fj(q-1)+q-jGj(q-1),

式中，Gj(q-1)——矩陣多項(xiàng)式。

Fj(q-1)=1+Fj,1q-1+…+Fj,(j-1)q-(j-1),

Gj(q-1)=Gj,0+Gj,1q-1+…+Gj,ngiq-ngi,

式中：ngj——階數(shù)。

2　改進(jìn)直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法

2.1直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制

文獻(xiàn)[5]的算法應(yīng)用于文中，設(shè)控制器的形式為

u(t)=η{η,φ(t),φr(t)},

(11)

式中 ：η——控制器可調(diào)參數(shù)向量；

φ(t)——系統(tǒng)輸出和輸入構(gòu)成的集合；

φr(t)——系統(tǒng)輸入?yún)⒖夹盘?hào){r(t)}所形成的序列向量

η(…)——m維向量控制函數(shù)。

系統(tǒng)的輸入和輸出自然是隨η的改變而改變，以y(t，η)和 表示系統(tǒng)式(1)受式(11)控制時(shí)的輸出和輸入，要u(t,y)求選擇向量η使如下指標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小化，

V*(η)=Eg*{y(t,η),u(t,η),r(t)},

(12)

式中：V*(η)——指標(biāo)函數(shù)；

E(…)——求均值；

g*(…)——函數(shù)；

r(t)——m維輸入?yún)⒖夹盘?hào)。

(13)Q(t)=Q(t-1)+ρ(t)·

Q(t-1)]。

(14)

ρ(t)——收斂因子；

Q(t)——Hessian矩陣。

2.2改進(jìn)的可克服病態(tài)的自適應(yīng)控制算法

式(14)的Q(t)矩陣有時(shí)出現(xiàn)病態(tài)，導(dǎo)致式(13)(14)的算法出現(xiàn)病態(tài)，為了使算法能克服病態(tài)，參考文獻(xiàn)[3]的機(jī)理，對(duì)式(12)的指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，在其中加入控制器可調(diào)參數(shù)向量的增量約束項(xiàng)，提出一可克服病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法，其指標(biāo)函數(shù)為

(15)

式中：V(η)——指標(biāo)函數(shù)；

g(…)——函數(shù)；

η(t)——t時(shí)刻的η。

g*{y(t,η),u(t,η),r(t)}+

(16)

式中：λ(t)——控制器可調(diào)參數(shù)向量增量約束項(xiàng)的權(quán)重對(duì)角矩陣。

λ(t)=diag{λ1(t),λ2(t),…,λn(t)},

(17)

式中：n——η的維數(shù)。

由式(16)得

(18)

(19)

(20)

Q(t)=Q(t-1)+ρ(t)·

λ2(t)-Q(t-1)]。

(21)

3　預(yù)測(cè)濾波解耦PID控制及閉環(huán)方程

3.1多變量增量型預(yù)測(cè)濾波解耦PID控制

不失一般性研究m=2的情形，傳統(tǒng)的多變量增量型濾波解耦PID控制為

H(q-1)Δu1(t)=S1(q-1)[r1(t)-y1(t)],

(22)

式中： r1(t)——r(t)的分量；

H(q-1),Δ,S1(q-1)——多項(xiàng)式。

H(q-1)Δu2(t)=S2(q-1)[r2(t)-y2(t)]，

(23)

式中：r2(t)——r(t)的分量；

S2(q-1)——多項(xiàng)式。

H(q-1)=1+h1q-1,

Δ=1-q-1,

S1(q-1)=s1,0+s1,1q-1+s1,2q-2,

S2(q-1)=s2,0+s2,1q-1+s2,2q-2,

式中 ：h1,s1,0,s1,1,s1,2,s2,0,s2,1,s2,2為可調(diào)參數(shù)，則η為

ηT=[h1,s1,0,s1,1,s1,2,s2,0,s2,1,s2,2]。

H(q-1)Δu1(t)=S1(q-1)[r1(t+d-1)-

(24)

H(q-1)Δu2(t)=S2(q-1)[γ2(t+d-1)-

(25)

3.2系統(tǒng)的閉環(huán)方程

不失一般性研究m=2的情形，將式(1)寫成分量形式

A11(q-1)y1(t)+A12(q-1)y2(t-1)=

q-dB11(q-1)u1(t)+

q-dB12(q-1)u2(t)+ω1(t),

(26)

A21(q-1)y1(t-1)+A22(q-1)y2(t)=

q-dB21(q-1)u1(t)+

q-dB22(q-1)u2(t)+ω2(t),

(27)

式中：ω1(t),ω2(t)——隨機(jī)干擾。

Aij(q-1)由A(q-1)確定，Bij(q-1)由B(q1-)確定，ωi(t)由C(q-1)e(t)確定。

將式(24)(25)代入式(26)(27)得系統(tǒng)的閉環(huán)方程為

ΔHA11y1(t)+ΔHA12y2(t-1)=B11S1[r1(t-1)-

(28)

ΔHA21y1(t-1)+ΔHA22y2(t)=B21S1[r1(t-1)-

(29)

式中，H,A11等為H(q-1)和 A11(q-1)等的簡(jiǎn)寫。

4　η的梯度與二階導(dǎo)數(shù)矩陣

4.1梯度表達(dá)式

推導(dǎo)可得

u1(t)+q-d-1[A'12ΔB22q-1-

A'22ΔB12]u2(t)，

(30)

u1(t)+q-d-1[A'21ΔB12q-1-

A'11ΔB22]u2(t)

(31)

式中：T(q-1),A'11,A'12,A'21,A'22——多項(xiàng)式。

A'11=ΔHA11+q-1B11S1,

A'12=ΔHA12+q-1B12S2,

A'21=ΔHA21+q-1B21S1,

A'22=ΔHA22+q-1B22S2,

T(q-1)=A'11A'22-q-1A'12A'21),

(32)

(33)

同理，可得?y1(t)/?s2,i和?y2(t)/?s2,i。

綜上，可得?y(t)/?η。

由式(1)兩邊對(duì)ηi(i=1，2，…，7)求偏導(dǎo)得

(34)

由式(10)兩邊對(duì)ηi(i=1,2,…,7)求偏導(dǎo)得

(35)

4.2二階導(dǎo)數(shù)矩陣表達(dá)式

推導(dǎo)可得

q-d-2(A12Δ2B21q-1-A22Δ2B11)u1(t)+

q-d-2(A12Δ2B22q-1-A22Δ2B12)u2(t)。

(36)

由式(34)兩邊對(duì)ηp求偏導(dǎo)可得

(37)

由式(35)兩邊對(duì)ηp求偏導(dǎo)可得

(38)

5　在線修正參數(shù)的預(yù)測(cè)濾波PID控制

為加快PID參數(shù)收斂的速度，選取

(39)

由式(10)參考文獻(xiàn)[7，8]的機(jī)理，式(39)的指標(biāo)函數(shù)等價(jià)于如下指標(biāo)函數(shù)

(40)

式中：pi、λi——加權(quán)因子。

將式(40)代入式(20)、(21)可得如下自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制

[ui(t)-ui(t-1)]},

(41)

[ui(t)-ui(t-1)]+λ2(t)-Q(t-1)},

(42)

(43)

6　仿真結(jié)果與分析

被控對(duì)象為

a1,11=-0.2+0.08t/400,

a1,12=-0.14-0.08t/400,

a1,21=-0.1-0.05t/400,

a1,22=-0.13-0.05t/400,

c1,11=0.6+0.1cos(2πt/200),

c1,22=0.5+0.1sin(2πt/200)。

隨機(jī)干擾ei(t)～N(0,1/10),i=(1,2)。

系統(tǒng)的參考輸入

輸入的飽和限幅為：

U1max=0.6,

U2max=0.4。

PID控制的初始參數(shù)為：

直接極小化算法中的Q(0)=10I,

λ1=λ2=p1=p2=1,

收斂因子

參數(shù)估計(jì)的遺忘因子

μ=0.98,P(0)=106I,

待估參數(shù)的初始參數(shù)為

采用MATLAB7.0語(yǔ)言編程仿真，圖1為系統(tǒng)響應(yīng)曲線，圖2為PID控制參數(shù)的修正曲線，限于篇幅只給出h1,s1,0,s2,0的修正曲線。由圖1a、b可知，采用無(wú)修正的初始參數(shù)控制的響應(yīng)曲線超調(diào)大，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，并且產(chǎn)生振蕩。由圖1c、d可知，在0≤t<100 時(shí)，因PID控制參數(shù)還沒(méi)有收斂到有效值，故響應(yīng)的超調(diào)大，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，在100≤t≤400 時(shí)，因PID控制參數(shù)已修正到有效值，故響應(yīng)的超調(diào)小，調(diào)節(jié)時(shí)間短。由圖2可知，參數(shù)在動(dòng)態(tài)時(shí)進(jìn)行修正，在穩(wěn)態(tài)時(shí)停止修正，符合算法的物理性。

a　無(wú)修正的y1(t)

b　無(wú)修正的y2(t)

d　有修正的y2(t)

a　參數(shù)h1的修正曲線

b　參數(shù)s1,0的修正曲線

c　參數(shù)s2,0的修正曲線

7　結(jié)　論

(1)提出可克服病態(tài)的多變量系統(tǒng)的遺忘因子

遞推最小二乘算法。

(2)給出多變量系統(tǒng)的增量型預(yù)測(cè)濾波解耦PID控制。

(3)算法的指標(biāo)函數(shù)中含有系統(tǒng)的輸出預(yù)測(cè)值，使算法具有加快PID控制參數(shù)收斂到有效值速度的性能。

(4)具有柔化控制量變化減少對(duì)系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)沖擊的性能。

(5)進(jìn)一步需研究算法的穩(wěn)定性和算法的收斂性，將算法推廣到非線性系統(tǒng)(雙線性系統(tǒng)、Hammerstein模型、NARMAX模型)。

參考文獻(xiàn):

[1]侯曉秋.直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào), 2008,18(1): 47-50.

[2]侯小秋.CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測(cè)濾波PID控制[J]. 黑龍江科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2015， 25(6)： 686-691.

[3]蕭德云.系統(tǒng)辨識(shí)理論及應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014: 126-127.

[4]馮純伯， 史維. 自適應(yīng)控制[M].北京：電子工業(yè)出版社，1986:104-105.

[5]JUNG L, TRULESSON L E.Adaptive control based on explicit crirerion minimization[J]. IFAC 81 World Congress, Preprints , 1981, 1(7): 1-6.

[6]蕭德云.系統(tǒng)辨識(shí)理論及應(yīng)用[M].北京： 清華大學(xué)出版社，2014: 189-192.

[7]韓正之， 陳彭年， 陳樹(shù)中.自適應(yīng)控制[M].北京： 清華大學(xué)出版社， 2014: 115-120.

[8]CHEN YENMING，WU YUNGCHUN. Modified recursive least-squares agorithm for parameter identification[J]. Int.J.System Sci., 1992, 23(2): 187-205.

(編輯李德根)

Prognosis-filtering PID control with on-line modifying parameter for multi-variables CARMAX model

HOUXiaoqiu

(School of Electronical & Control Engineering, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China)

This paper proposes a novel algorithm for prognosis-filtering-decoupling PID control with on-line modifying parameter——an algorithm developed by using the forecast output values of the system instead of the current output values of the system in response to multi-variable CARMAX model. The algorithm study involves developing a multi-variable forgetting factor recursive least squares algorithm with solving ill-controlled; estimating the parameter of the controlled model by employing the algorithm; and developing an adaptive prognosis-filtering-decoupling PID control algorithm with the characterizations of on-line modifying parameter and speeding the convergence of PID control parameter for CARMAX Model with multivariable by employing the self-tuning prediction explicit algorithm to predict the system output, and drawing on the adaptive control algorithm with solving ill-controlled for direct minimization index function and the Robbins-Monro algorithm. The results indicate that the improved algorithm capable of prediction control and on-line parameters correction offers better control quality.

adaptive control; predictive control; PID control；parameter estimation；self-tuning prediction; multi-variable system

2015-12-16

侯小秋(1965-)，男，黑龍江省雙城人，副教授，碩士，研究方向：非線性控制，預(yù)測(cè)控制，自適應(yīng)控制，E-mail：hxq71265@163.com。

10.3969/j.issn.2095-7262.2016.01.016

TP273

2095-7262(2016)01-0068-07

A