王易南，陳　康，符文星，閆　杰

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安　710072)

?

帶有攻角約束的高超聲速飛行器航跡傾角跟蹤控制方法

王易南，陳康，符文星，閆杰

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安710072)

針對(duì)高超聲速飛行器高速飛行過程中受攻角的限制的控制問題，研究了一種基于障礙Lyapunov函數(shù)的狀態(tài)約束航跡傾角跟蹤控制方法。首先對(duì)飛行器航跡傾角模型進(jìn)行部分線性化，得到符合嚴(yán)反饋的條件的參數(shù)化方程。采用BLF反步法，設(shè)計(jì)了對(duì)攻角具有約束的航跡傾角跟蹤控制器，證明了控制器的穩(wěn)定性并給出攻角響應(yīng)范圍和控制器參數(shù)的關(guān)系。仿真中使用反步法和BLF方法進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，采用BLF方法設(shè)計(jì)的控制能在滿足高超聲速飛行器攻角約束條件下，實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行器航跡傾角的無差跟蹤。

攻角約束控制；傾角跟蹤；障礙李雅普洛夫函數(shù)；反步法

0　引言

以超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)及綜合推進(jìn)系統(tǒng)為動(dòng)力的高超聲速飛行器，能夠在大氣層內(nèi)以Ma>5的速度飛行，在軍事和民用兩方面都有重要的應(yīng)用價(jià)值，是未來航空航天領(lǐng)域主要的發(fā)展方向。美國X-43的試飛成功，表明超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)取得了突破性進(jìn)展。超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作時(shí)，需要進(jìn)氣道能捕獲足夠的空氣，而進(jìn)氣道捕獲空氣的能力與飛行器的攻角密切相關(guān)，需要飛行器保證攻角在±4°以內(nèi)，否則會(huì)導(dǎo)致超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)[1]，從而也對(duì)飛行器的控制系統(tǒng)提出了更高要求。

高超聲速飛行器在飛行時(shí)滿足攻角范圍要求，本質(zhì)上是一個(gè)具有狀態(tài)不等式約束的非線性控制問題。目前，解決帶有狀態(tài)約束控制問題的主要有參考軌跡調(diào)節(jié)器[2-3]、模型預(yù)測(cè)控制[4]、基于不變集原理[5]的控制器設(shè)計(jì)和極值搜索控制[6-7]。這些方法本質(zhì)上均基于數(shù)值方法，且計(jì)算較復(fù)雜。此外，障礙Lyapunov函數(shù)(Barrier Lyapunov Function，BLF)法也是解決具有約束條件控制問題的有效方法。Neo最早提出這種方法，在反步法中構(gòu)造BLF，解決了具有Brunovsky標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)約束控制[8]。而后Tee等基于Neo的思想，把BLF推廣到非線性領(lǐng)域，并做了更詳盡研究。Tee將BLF方法與自適應(yīng)控制結(jié)合，構(gòu)造了對(duì)稱與非對(duì)稱BLF，解決了帶有參數(shù)不確定性反饋非線性控制系統(tǒng)的輸出約束、全狀態(tài)約束和部分狀態(tài)約束的控制問題[9-12]。

飛行器控制中，航跡傾角跟蹤控制是實(shí)現(xiàn)飛行器高度控制的一種有效方法，本文針對(duì)以超然沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)為推進(jìn)系統(tǒng)的高超聲速飛行器模型，設(shè)計(jì)具有攻角約束的傾角跟蹤控制系統(tǒng)。首先對(duì)航跡傾角控制系統(tǒng)，通過忽略高超聲速飛行器氣動(dòng)力函數(shù)中關(guān)于小狀態(tài)量的高階項(xiàng)，把系統(tǒng)模型的化為嚴(yán)反饋形式。通過構(gòu)造BLF函數(shù)、反正切函數(shù)和反步法，設(shè)計(jì)了帶有攻角誤差狀態(tài)約束的控制器，結(jié)合帶有飽和限制的指令濾波器，實(shí)現(xiàn)了在攻角約束條件下的航跡傾角指令跟蹤。對(duì)控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，同時(shí)給出了攻角約束界限與控制器參數(shù)的關(guān)系。最后通過仿真驗(yàn)證，說明了控制器的有效性。

1　高超聲速飛行器縱向模型

高超聲速飛行器的縱向動(dòng)力學(xué)模型[13]可由下列方程描述：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中v、γ、α、q和h為方程狀態(tài)變量，分別表示速度、航跡傾角、攻角、俯仰角速度和高度；T、D、L和Myy為發(fā)動(dòng)機(jī)推力、阻力、升力和俯仰力矩；Iyy為飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m為飛行器質(zhì)量。

假設(shè)1：在高超聲飛行器高度控制中，飛行器的速度近似為常數(shù)，且速度大小的變化率近似為零。

假設(shè)2：飛行器的攻角α很小，做近似sinα≈α，且在氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩系數(shù)中忽略與α高次項(xiàng)有關(guān)的系數(shù)。

在假設(shè)1和假設(shè)2的條件下得到高超聲速飛行器航跡傾角反饋參數(shù)控制模型：

(6)

(7)

(8)

其中

2　攻角受限條件下航跡傾角跟蹤

2.1帶有攻角限制的航跡傾角跟蹤控制器設(shè)計(jì)

Step 1：定義對(duì)傾角跟蹤誤差信號(hào)，并對(duì)其求導(dǎo)：

(9)

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)，并對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo):

(10)

定義攻角誤差信號(hào)：

(11)

式中u1為虛擬控制輸入。

設(shè)計(jì)u1：

(12)

式中c1為控制器參數(shù)。

(13)

通常在反步法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，把虛擬控制u1設(shè)計(jì)成如下形式：

(14)

得到具有二次形式的Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(15)

由于本文目的是設(shè)計(jì)攻角約束條件下的控制器，從攻角誤差的定義中可得到α=e2+u1，攻角的邊界是與虛擬控制輸入u1有關(guān)，如果使用式(14)作為虛擬輸入，|u1|的邊界很難計(jì)算，所以在這使用有界的反正切函數(shù)設(shè)計(jì)虛擬控制輸入u1。

Step 2：設(shè)計(jì)對(duì)攻角誤差具有限制作用的Lyapunov函數(shù)：

(16)

式中kb為函數(shù)的參數(shù)，用于限制誤差的變化范圍。

定義俯仰角速度誤差e3：

e3=q-u2

(17)

式中u2為虛擬控制輸入，用于鎮(zhèn)定狀態(tài)α。

設(shè)計(jì)u2：

(18)

式中c2為控制器參數(shù)。

(19)

Step 3：設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)V3：

(20)

設(shè)計(jì)控制器輸入：

(21)

把δ代入設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)V3的導(dǎo)數(shù)，得

(22)

由此得到高超聲速飛行器攻角限制下的傾角跟蹤控制系統(tǒng)閉環(huán)控制器：

(23)

相對(duì)應(yīng)的Lyapunov函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)：

(24)

(25)

2.2穩(wěn)定性分析

引理1：對(duì)于正數(shù)kbi，i=1，2，…，n，存在開集E={e∈Rn：|ei|

(26)

其中，f：R+×N→Rn且f(t，e)為關(guān)于t的分段連續(xù)函數(shù)。在R+×N上f(t，e)關(guān)于e滿足局部Lipschitz條件，關(guān)于t一直連續(xù)。假設(shè)在開集Ei：={ei∈R：|ei|

(27)

式中γ1和γ2為K∞類函數(shù)。

令

如果下列不等式成立：

(28)

那么ei(t)滿足對(duì)任意t∈[0，∞]，ei∈(-kbi，kbi)。

假設(shè)3：所給定的跟蹤指令γd及γd的各階導(dǎo)數(shù)有界，即存在正數(shù)A0，A1，A2，…，An，…滿足：

定理：在系統(tǒng)的輸入指令為γd且滿足假設(shè)3的條件下，由式(6)～式(8)及式(23)所組成的閉環(huán)系統(tǒng)，若初始條件e(0)∈Ωe，e=[e1，e2，e3]，Ωe={e(0)∈R3：e2(0)

(1)所有的誤差信號(hào)e(t)有界；

(2)狀態(tài)α有界，且滿足

(3)閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)有界；

(4)當(dāng)t→∞時(shí)，γ→γd，即閉環(huán)系統(tǒng)誤差跟蹤信號(hào)漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明：

(29)

不等式(29)等價(jià)于：

(30)

同理，可得誤差信號(hào)e1(t)和e3(t)的上界：

(31)

(32)

(3)由結(jié)論1可知，所有誤差信號(hào)是有界的，根據(jù)假設(shè)3可知，輸入指令是有界的，由誤差信號(hào)e1的定義可得到狀態(tài)γ是有界的。虛擬控制輸入u1中，γd、γ、e1有界。所以u(píng)1有界。同理可依次推出各控制信號(hào)和各狀態(tài)有界。

2.3指令濾波器

由BLF反步法傾角跟蹤控制器設(shè)計(jì)的表達(dá)式可知，控制器完成閉環(huán)穩(wěn)定跟蹤，不僅需要被控對(duì)象的各個(gè)狀態(tài)信息，而且還需要跟蹤指令的各階導(dǎo)數(shù)。對(duì)于三階控制系統(tǒng)，控制器的輸入為系統(tǒng)狀態(tài)和跟蹤指令以及指令的一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)。為實(shí)時(shí)計(jì)算指令的導(dǎo)數(shù)，在此引入三階指令濾波器：

(33a)

(33b)

指令濾波器的輸出作為控制系統(tǒng)的跟蹤指令，其中輸出y1為指令，y2為指令的一階導(dǎo)數(shù)，y3為指令二階導(dǎo)數(shù)，指令的三階導(dǎo)數(shù)可表示為

a1(y1+r)+a2y2+a3y3

由式(25)可知，在BLF控制器控制下，控制系統(tǒng)響應(yīng)中攻角的響應(yīng)范圍與控制器參數(shù)和輸入指令的一階導(dǎo)數(shù)有關(guān)。所以為了跟蹤過程中實(shí)現(xiàn)對(duì)攻角的約束控制，還需要對(duì)控制指令的一階導(dǎo)數(shù)加以限制。指令濾波器的輸出y2是指令的一階導(dǎo)數(shù)，所以在指令濾波器的輸出y2上加入飽和限制：

(34)

式中ks為待定的參數(shù)。

3　控制器仿真驗(yàn)證

仿真中使用的飛行器模型是NASA公布的winged-cone，仿真中使用的氣動(dòng)數(shù)據(jù)是在表1的條件下計(jì)算獲得，表1中同時(shí)列出飛行器參數(shù)。BLF控制器參數(shù)見表2。仿真中使用的指令濾波器為式(35)。

飛行控制任務(wù)：

(1)完成對(duì)航跡傾角的無差跟蹤；

(2)在跟蹤過程中滿足飛行器攻角不超出±4°。

表1　飛行器初始條件

表2　BLF控制器參數(shù)

(35a)

(35b)

根據(jù)航跡傾角跟蹤時(shí)對(duì)攻角的要求|α|<4和式(32)可得

(36)

把根據(jù)表1計(jì)算而得的氣動(dòng)系數(shù)和表2中的控制參數(shù)代入式(36)可得

(37)

所以，把指令濾波器設(shè)y2的飽和限制參數(shù)設(shè)為ks=0.265。

下面給出飛行器跟蹤不同航跡傾角指令的跟蹤仿真結(jié)果。

圖1和圖2顯示，當(dāng)航跡傾角指令不斷變大時(shí)，飛行器響應(yīng)的攻角峰值也不斷變大，且不斷趨近于4°，但在BLF控制器的約束下，攻角始終小于4°。指令濾波器的輸出y2的限幅是一種理想的閾值截止限制方法，這使得航跡傾角的跟蹤過程中出現(xiàn)了不平滑的現(xiàn)象。

圖1　航跡傾角

圖2　攻角

下面用反步法航跡傾角跟蹤控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真，并將反步法和BLF方法的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，來驗(yàn)證BLF控制方法的控制性能。仿真中，航跡傾角指令為5°。

圖3顯示2種方法都能使飛行器無穩(wěn)態(tài)誤差的跟蹤階躍指令，但BLF方法的瞬態(tài)響應(yīng)速度不如反步法。圖4顯示，反步法在跟蹤5°航跡傾角指令時(shí)，攻角的峰值已經(jīng)超出了控對(duì)攻角的要求范圍，但BLF方法中，攻角被限制在要求范圍內(nèi)。BLF方對(duì)航跡傾角跟蹤響應(yīng)中的攻角運(yùn)動(dòng)范圍進(jìn)行了限制，使得提供給飛行器的氣動(dòng)力的大小受到了限制，造成了BLF方法在跟蹤航跡傾角時(shí)動(dòng)態(tài)響應(yīng)變慢。這種響應(yīng)變慢并不是由于控制器造成的，而是控制要求對(duì)攻角的限制造成。圖5給出了飛行器俯仰角速度響應(yīng)曲線，圖6是飛行器舵偏曲線，圖7是控制器設(shè)計(jì)中引入的虛擬控制指令，這些曲線說明閉環(huán)系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)和控制信號(hào)都是穩(wěn)定的。

圖3　航跡傾角

圖4　攻角

圖5　俯仰角速度

4　結(jié)論

(1)本文針對(duì)超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)作為推力裝置的高超聲速飛行器，使用障礙Lyapunov函數(shù)(BLF)方法，設(shè)計(jì)了一種帶有攻角限制的飛行器航跡傾角跟蹤控制器。該方法可有效保證高超聲速飛行器在飛行控制過程中，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)工作所需要的攻角約束條件。文中在給出控制方法設(shè)計(jì)的同時(shí)，對(duì)控制器穩(wěn)定性給出了分析，并給出控制狀態(tài)|α|的上界和控制器參數(shù)的關(guān)系。

圖6　舵偏

圖7　虛擬控制信號(hào)

(2)在對(duì)不同航跡傾角的跟蹤響應(yīng)中，BLF控制器可實(shí)現(xiàn)飛行器對(duì)航跡傾角的無差跟蹤。對(duì)比仿真中的結(jié)果顯示在響應(yīng)過程中，使用傳統(tǒng)反步法控制的飛行性的攻角超出了4°，破壞了超然沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的正常工作對(duì)攻角的要求；而BLF控制方法控制的飛行器，在跟蹤過程中，攻角能按照控制要求將攻角限制在約束范圍內(nèi)。

[1]常軍濤,于達(dá)仁,鮑文.攻角引起高超聲速進(jìn)氣道不起動(dòng)/再起動(dòng)特性分析[J].航空動(dòng)力學(xué)報(bào),2008,(23)5:289-295.

[2]Kogiso K,Hirate K.Reference governor for constrained systems with time-varying refereces[J].Robotics and Autonomous systems,2009,57(3):289-295.

[3]Alicia Zinnecker,Andrea Serrani.Combined reference governor and anti-windup design for constrained hypersonic vehicles models[R].AIAA 2009-6283.

[4]Mayne D Q,Rawlings J B,Rao C V,et al.Constrained model predictive control:Stability and optimality[J].Automatica,2000,36(6):789-814.

[5]Blanchini F.Set invariance in control[J].Automatica,1999,35(11):1747-1767.

[6]Dehaan D,Guay M.Extremum-seeking control of state-constrained nonlinear systems[J].Automatic,2005,41(9):1567-1575.

[7]Adetola V,Guay M. Parameter convergence in adaptive extremum-seeking control[J].Automatic,2007,43(1) 105-110.

[8]Ngo K B,Mahony R,Jiang Z P.Integrator backstepping using barrier functions for systems with multiple state constraints[C]//Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control,and the European Control Conference.Seville,Spain:IEEE,2005.8306-8312.

[9]Tee k P,Gea S S,Tay E H.Barrier Lyapunov functions for the control of output-constrained nolinear systems[J].Automatica,2009,45(4):915-927.

[10]Ren B,Ge S S,Tee K P,et al.Adapticve neural control for output feedback nonlinear systems using a barrier Lyapunov functions[J].IEEE Transactions on Neural Networks,2010,21(9):1335-1339.

[11]Tee K P,Ge S S.Control of nonlinear systems with full state constraint using a barrier Lyapunov functions[C]//Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control.Piscataway,NJ:IEEE Press,2009:8616-8623.

[12]Tee K P,Ge S S.Control of nonlinear systems with partial state constraints using a barrier Lyapunov function [J].International Journal of Control,2011,84(12):2008-2023.

[13]Fiorentini L,Serrani A.Adaptive restricted trajectory tracking for a non-minimum phase hypersonic vehicle model [J].Automatica,2012,48:1248-1261.

(編輯：呂耀輝)

Hypersonic flight vehicle’s flight path angle tracking control with attack angle constraints

WANG Yi-nan，CHEN Kang，F(xiàn)U Wen-xing，YAN Jie

(School of Astronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi’an710072,China)

To overcome the attack angle constraints,this paper uses the barrier Lyapunov function(BLF)to study an flight path tracking control method under attack angle constraints.The hypersonic flight vehicle model was partially linearized to obtained the parameterized control model that agrees with the strict feedback form.BLF backstepping method is used to design the flight path angle tracking controller that has attack angle constraints.Stability of closed loop system was proved and the relationship between scope of attack response and controller’s parameters was established.The flight path angle tracking simulation uses the backstepping method so as to compare it with the BLF.The simulation results show that the BLF similar performances in term of steady-state error, but the BLF can restrict the attack angle within the required condition.

attack constraint；flight path angle tracking；barrier Lyapunov function；backingstepping controller

2015-07-09；

2015-10-25。

國家自然科學(xué)基金青年基金(61503302)。

王易南(1969—)，男，博士，研究方向?yàn)轱w行器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。E-mail：domo_fin@163.com

V249.1

A

1006-2793(2016)01-0125-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.01.023