葉繼坤，韋道知，李　炯，邵　雷，雷虎民

(空軍工程大學 防空反導學院，西安　710051)

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基于分數(shù)階微積分理論的新型三維末制導律①

葉繼坤，韋道知，李炯，邵雷，雷虎民

(空軍工程大學 防空反導學院，西安710051)

針對機動目標攔截問題，設(shè)計了一種基于分數(shù)階微積分理論的新型三維末制導律。首先，介紹了分數(shù)階微積分理論的定義及其相關(guān)性質(zhì)，通過分析彈目攔截的空間幾何關(guān)系，基于傳統(tǒng)比例導引律(Proportional Navigation簡稱PN)，設(shè)計了分數(shù)階微積分比例制導律(Fractional order calculus proportional navigation簡稱FOCPN)；其次，對設(shè)計FOCPN制導律的過載特性及其能量控制特點進行研究，通過分析前置角的變化，研究了FOCPN制導律的彈道平穩(wěn)度；同時，運用小偏量運動學模型，分析了FOCPN對自動駕駛儀參數(shù)變化的魯棒特性。最后，通過仿真表明，新設(shè)計的FOCPN制導律制導精度高，攔截時間短，過載變化較為平穩(wěn)，解決了傳統(tǒng)PN末端視線角速率發(fā)散導致的過載激增問題，可有效攔截機動目標。

分數(shù)階微積分；制導；比例導引；過載；彈道

0　引言

比例導引因其使用簡單，而被廣泛應用[1-3]。然而，傳統(tǒng)的比例導引在攔截機動目標時，由于末端視線角速率快速旋轉(zhuǎn)，容易導致過載飽和[4-6]，許多學者對其進行了改進，設(shè)計了多種改進型比例導引律。文獻[7]利用李亞普諾夫方法，設(shè)計了針對機動目標和非機動目標改進型比例導引律，并對制導參數(shù)進行了優(yōu)化，解決了視線角速率延遲導致的制導精度低的問題。文獻[8]針對高速非機動目標，設(shè)計了一種可控制末端攻擊角的改進型比例導引律，并對制導律的捕獲區(qū)域進行了研究。文獻[9]通過最小化控制能量，設(shè)計了一種最優(yōu)化比例導引律，并研究了比例導引系數(shù)對最優(yōu)化的影響。以上制導律的設(shè)計主要是通過增加PN對目標機動加速度、視線角速率延遲誤差等控制項來改善傳統(tǒng)PN的制導性能，主要利用視線角速率的整數(shù)階微分項對視線角速度的非整數(shù)階微分，一直沒有深入研究和應用。

近年來，隨著分數(shù)階微積分理論的發(fā)展，分數(shù)階微積分理論在工程中得到越來越廣泛的應用。分數(shù)階系統(tǒng)特有的記憶功能、線性系統(tǒng)穩(wěn)定等特點，使其在制導控制領(lǐng)域也得到越來越多的應用。文獻[12]將分數(shù)階微積分理論在高超聲速飛行器控制中的應用進行總結(jié)，與傳統(tǒng)PID相比，分數(shù)階微積分控制具有更好的魯棒性和控制精度。文獻[13]將分數(shù)階理論用于擴散系統(tǒng)，解決輸入磁滯問題，通過最小化積分誤差思想，設(shè)計了比例型分數(shù)階微積分控制器，相對于整數(shù)型微積分控制器，分數(shù)階微積分控制器表現(xiàn)出更好的控制特性。文獻[14]基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計了分數(shù)階混沌控制器，該控制器具有較好的響應速度和控制精度，并通過仿真，對控制算法的有效性進行驗證。針對制導炮彈控制系統(tǒng)中系統(tǒng)參數(shù)出現(xiàn)較大的非線性和時變性等問題，文獻[15]將分數(shù)階控制器用于其飛行控制系統(tǒng)的設(shè)計中，提出了制導炮彈分數(shù)階控制器參數(shù)整定的一種方法，該方法整定出的控制器參數(shù)，使系統(tǒng)具有較強的魯棒性和抗干擾能力，為分數(shù)階控制器在制導炮彈控制系統(tǒng)中的應用提供了參考。文獻[16]提出了一種基于分數(shù)階傅里葉變換的彈載SAR成像算法，通過最優(yōu)化分數(shù)階微積分的階次，能對目標區(qū)域精確成像，為末制導提供更加準確的目標信息，提高了制導精度。文獻[17]將分數(shù)階微積分理論引入制導領(lǐng)域，設(shè)計了基于分數(shù)階微積分PDλ比例導引規(guī)律。研究表明，設(shè)計的PDλ制導律可有效提高導彈的攔截性能。文獻[18]通過對傳統(tǒng)比例導引進行改進，針對機動目標設(shè)計了分數(shù)階修正比例導引，并通過Lyapunov函數(shù)，證明了設(shè)計的制導律能在有效時間內(nèi)收斂。由于文獻[17-18]制導律研究主要是在二維平面且限制條件較多，在實際工程應用中，缺乏使用價值。

為克服上述制導律設(shè)計的缺點，本文針對三維空間中機動目標，研究分數(shù)階微積分理論在制導律設(shè)計中的應用。首先，介紹了分數(shù)階微積分的基礎(chǔ)知識和性質(zhì)；其次，將分數(shù)階微積分理論應用到飛行器制導律研究中，在三維空間設(shè)計新型FOCPN；最后，從過載特性、彈道平穩(wěn)度及制導系統(tǒng)魯棒性等方面，分析FOCPN的制導特性，并進行仿真驗證。

1　預備知識

定義：對于分數(shù)階微積分算子，通常有如下定義[10-11]：

(1)

式中α為上限；t為下限；p為分數(shù)階微積分算子的階數(shù)。

函數(shù)f(t)在定義域上n階可導，m-1

Caputo微分定義：

(2)

Caputo積分定義：

(3)

其中，Γ(x)表示伽馬函數(shù)，它是階乘函數(shù)n！的進一步推廣，即它允許n取非整數(shù)或者復數(shù)，伽馬函數(shù)的定義如下：

(4)

Caputo分數(shù)階導數(shù)的Laplace變換可表示為

(5)

設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間[a，t]內(nèi)連續(xù)，且n階連續(xù)可導，其n階導數(shù)可表示為

(6)

當用非整數(shù)p代替整數(shù)n，并由Γ函數(shù)取代二項式系數(shù)，就可得Grunwald-Letnikov導數(shù)定義：

(7)

從上面推導可看出，整數(shù)階微積分是分數(shù)階微積分的特殊形式。可以說，分數(shù)階導數(shù)與過去所有點的信息有關(guān)，包含著完整的歷史信息，而整數(shù)階導數(shù)與最近的幾個點的信息有關(guān)，只包含局部信息。從式(7)可看出，分數(shù)階導數(shù)不僅具有記憶功能，而且越近的點影響越大，越遠的點影響越小[10，19]。

因此，本文利用分數(shù)階線性系統(tǒng)的良好記憶功能及其穩(wěn)定性，將分數(shù)階微積分相關(guān)理論用于制導律設(shè)計中。

2　FOCPN制導算法設(shè)計

導彈和目標交戰(zhàn)時相對關(guān)系如圖1所示。

圖1中，M導彈，T為目標，OXMYMZM表示慣性坐標系，OXLYLZL表示視線坐標系，r為彈目相對距離，θL和φL表示視線傾角和視線偏角，θm和φm表示導彈的彈道傾角和彈道偏角，θt和φt表示目標航跡傾角和航跡偏角。

圖1　彈目相對運動關(guān)系

傳統(tǒng)TPN可表示為

(8)

(9)

(10)

(11)

由式(10)和式(11)可知，分數(shù)階比例型制導律主要由兩項組成：一項是與視線角速率整數(shù)階成正比的比例項；第二項是視線角速率分數(shù)階微分的修正項，P為分數(shù)階微分項，作為比例導引的修正補償系數(shù)。這樣設(shè)計的制導律克服了傳統(tǒng)PN制導時只含有整數(shù)階視線角速率值的情形，包含有視線角速率的歷史信息，能更加全面地描述彈道特性，同時也更有利于對導彈的控制。下面將對設(shè)計制導律的彈道特性、過載特性以及魯棒特性進行分析討論。

3　FOCPN制導的彈道特性分析

3.1FOCPN平均過載分析

在式(10)和式(11)中，令

此時，F(xiàn)OCPN可表示為

(12)

(13)

根據(jù)FOCPN表達式可知，制導律的平均過載可表示為

(14)

在式(14)中，令

其中

同理可得

因此，垂直平面內(nèi)平均過載可表示為

(15)

同理，可得

(16)

因此，F(xiàn)OCPN的平均過載可以表示為

(17)

傳統(tǒng)的TPN過載可表示為

(18)

其中，KTPN1和KTPN2為TPN平均過載的系數(shù)。

根據(jù)式(17)和式(18)可知，平均過載的大小與彈目視線角變化密切相關(guān)，當彈目視線角變化較大時，平均過載變化較大。數(shù)值仿真運算表明，當FOCPN與PN比例系數(shù)大小接近時，分數(shù)階TPN與傳統(tǒng)TPN平均過載大小接近。

3.2FOCPN彈道平直性分析

彈道的起伏大小與視線角增量密切相關(guān)，如果彈目視線角在一個較小區(qū)域變化，那么導彈的彈道較為平直，這對導彈執(zhí)行機構(gòu)要求降低，有利于導彈的設(shè)計。

導彈和目標構(gòu)成的彈道前置角可分別表示為

(19)

(20)

由于垂直平面和水平面內(nèi)彈道特性分析相似，在此只對垂直平面內(nèi)的彈道特性進行理論分析，利用同樣方法，可求取水平面內(nèi)的前置角變化，分析彈道平直性，將式(19)兩邊微分，可得

(21)

導彈的彈道傾角變化率可表示為

對式(21)兩邊積分，可得

(22)

(23)

如果初始ηm0=0，則式(23)變形后，可得

(24)

對于傳統(tǒng)的TPN制導，在垂直平面內(nèi)，其前置角變化可表示為

(25)

根據(jù)式(24)和式(25)可知，在攔截的過程中，分數(shù)階項的引入，使得FOCPN前置角變化較小，即在整個攔截過程中，彈道變化幅度較小，這也進一步加大了彈道的平穩(wěn)度，降低了對于執(zhí)行機構(gòu)的過載要求。如果使設(shè)計的制導律保持彈道平直，同時降低導彈的過載要求，則必須滿足下列條件：

(26a)

(26b)

根據(jù)式(26a)、式(26b)可知，F(xiàn)OCPN過載滿足下列關(guān)系式：

(27)

(28)

由于漸近滿足式(26a)、式(26b)，可得

(29)

(30)

導彈垂直方向和水平方向的需用過載極值，可分別表示為Nmy=max{|Ua|}/g和Nmz=max{|Ub|}/g。根據(jù)式(24)和式(26)可知，導彈的彈道較為平直時，視線傾角和偏角都變化較小，滿足Nmy→0，Nmz→0。這說明設(shè)計的分數(shù)階比例導引律可保持導彈的指令及過載漸近趨于極小。因此，采用FOCPN制導具有最小能量控制的特點，并可使彈道變化更平穩(wěn)。

4　FOCPN制導魯棒性能分析

為簡化分析過程，將三維制導律分解到垂直和水平平面分別研究。下面在垂直二維平面內(nèi)，對FOCPN的魯棒特性進行研究，水平面內(nèi)分析方法類似。

垂直平面內(nèi)小偏量運動學模型如圖2所示。

相關(guān)運動學方程為

(31)

(32)

導彈自動駕駛儀/彈體的傳遞函數(shù)G(s)表示如式(33)所示：

(33)

以末制導采用尋的制導為例，小偏量運動學模型下制導回路如圖3所示。

圖2　小偏量運動學關(guān)系

圖3　FOCPN尋的制導回路

令Uy(s)/Y(s)=Gy(s)，根據(jù)第2節(jié)中分數(shù)階微積分性質(zhì)可知：

(34)

因此，圖3中函數(shù)Gy(s)可表示為

(35)

(36)

在傳統(tǒng)的PN制導和比例微分(proportional differential簡稱PD)制導中，制導回路傳遞系數(shù)分別為

對比式(36)，可知：

(37)

水平面和垂直面分析類似，同樣可得：

(38)

根據(jù)式(37)和式(38)可知，F(xiàn)OCPN制導通過分數(shù)階項的引入，增大了傳遞函數(shù)的增益系數(shù)，相對于傳統(tǒng)的PN制導，這將加強對機動目標的導引能力，同時能減小對機動目標的系統(tǒng)誤差，進一步提高制導精度。

定義：系統(tǒng)T對參數(shù)K的靈敏度表示為

(39)

為分析方便，推導垂直平面內(nèi)的穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)靈敏度，計算可得

(40)

根據(jù)尋的制導系統(tǒng)回路圖3可知，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的誤差微分可表示為

(41)

(42)

(43)

其中，p(s)為中間計算項。因此，根據(jù)式(41)～式(43)，可知：

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

通過式(46)～式(49)可知，F(xiàn)OCPN對自動駕駛儀參數(shù)靈敏度由于分母項變大而導致絕對值變小。因此，相對于傳統(tǒng)PN制導，F(xiàn)OCPN對自動駕駛儀參數(shù)變化具有更強的魯棒性。

5　仿真分析

為檢驗設(shè)計FOCPN制導律的制導性能，在此選用比擴展比例導引(Appended Proportional Navigation簡稱APN)作為對比[20]，仿真中步長取為0.01 s，導彈和目標的初始仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示，APN制導的制導系數(shù)取為3.5，分數(shù)階微積分的階次在[0，1]范圍內(nèi)取值，參考文獻[18]，按照遍歷尋優(yōu)的方法，微分階次p最優(yōu)值取為0.6。在仿真過程中，選取視線轉(zhuǎn)率作為基準3σ的不確定性，同時選取到導引頭的測量誤差為0.01 (°)/s。參考文獻[21]，導彈的自動駕駛儀模型表示如下：

(50)

式中τ為時間常數(shù)，τ=0.5 s；ζ為阻尼常數(shù)，ζ=0.6；ωn為頻率，ωn=18 rad/s。

為有效驗證FOCPN制導性能，設(shè)置3種仿真情形，仿真1中目標不機動，直線飛行；仿真2中目標在傾斜平面做圓弧形機動，機動加速度設(shè)為40 m/s2；仿真3中目標機動加速度在水平和垂直方向機動加速度分別為atz=20 m/s2和aty=20 m/s2。攔截性能比較表如表2所示，其中脫靶量和攔截時間來自200次蒙特卡洛仿真。

根據(jù)仿真結(jié)果表2可知，APN和本文設(shè)計的FOCPN兩種制導律都能對機動目標實施有效攔截，保證擊落目標，在制導精度方面，當目標不機動時，兩者制導精度相差不大。然而，目標機動飛行時，F(xiàn)OCPN的制導精度優(yōu)于APN制導。根據(jù)2種制導律的仿真時間可知，新設(shè)計的FOCPN制導律攔截時間較短，這將使得導彈更早的將目標擊落。為方便分析彈道和導彈加速度變化，下面給出仿真條件3時仿真圖4～圖8，以描述FOCPN彈道特性和過載變化特點。

表1　仿真初始數(shù)據(jù)

表2　APN和FOCPN性能比較

圖4　彈目相對運動軌跡

由仿真圖4可看出，相對于APN制導，F(xiàn)OCPN的彈道曲率變化較小，攔截彈飛行軌跡相對也較小，彈道的平直有利于導彈在飛行中的彈道控制。根據(jù)圖5和圖6可知，在攔截的初始階段，采用FOCPN時，導彈的彈道傾角和彈道偏角快速變化，保證了導彈姿態(tài)的調(diào)整，這也使得后續(xù)末端攔截時，彈道傾角和偏角變化幅度較小。因此，能保證彈道在作戰(zhàn)后期保持較為平穩(wěn)，而APN在攔截的后期，彈道傾角和偏角變化相對較大。

圖5　導彈彈道傾角變化曲線

圖6　導彈彈道偏角變化曲線

圖7　導彈法向加速度曲線

由圖7和圖8可知，采用APN制導時，在攔截的開始階段，導彈對目標機動沒有進行及時補償，這樣造成了制導后期的強制補償。因此，彈道較為彎曲，尤其在攔截的末端，隨著彈目距離的接近，橫向加速度的末端出現(xiàn)激增現(xiàn)象(圖8)，這也是導致脫靶量較大的重要原因。而FOCPN制導時，導彈加速度變化沒有出現(xiàn)過激現(xiàn)象，整體變化相對較小，在末制導的初始階段，導彈能利用增大自身加速度調(diào)整自身的飛行姿態(tài)，補償由目標機動引起的視線角速率變化，在攔截的末端，采用FOCPN制導能有效抑制視線的旋轉(zhuǎn)，解決了傳統(tǒng)比例導引末端視線角速率發(fā)散，導致加速度激增問題，這也降低了對導彈執(zhí)行機構(gòu)的設(shè)計要求。在圖7和圖8的33 s左右出現(xiàn)曲線變化，主要是因為目標機動的方向變化引起導彈過載出現(xiàn)變化。

圖8　導彈橫向加速度變化曲線

綜上可知，針對非機動目標，APN和FOCPN制導性能相當。然而，對于機動類目標， FOCPN能更好地控制飛行彈道，導彈加速度變化也較平穩(wěn)，表現(xiàn)出更加良好的制導性能。

6　結(jié)論

(1)文中以傳統(tǒng)PN制導為基礎(chǔ)，利用分數(shù)階微積分理論改進傳統(tǒng)PN，設(shè)計了FOCPN制導律。通過理論分析了FOCPN制導律的過載特性、彈道特性，以及對自動駕駛儀參數(shù)的魯棒性。

(2)針對機動目標，相對于APN制導，新設(shè)計FOCPN能夠針對機動目標進行有效攔截，且制導精度髙，攔截時間短，彈道變化較平穩(wěn)，能克服傳統(tǒng)比例導引因視線角速率發(fā)散導致的過載飽和問題。

(3)所設(shè)計的制導律主要針對大氣層內(nèi)機動目標，如何將分數(shù)階微積分理論引入到對臨近空間高超聲速目標或者導彈類目標實現(xiàn)直接碰撞攔截，是下一步研究的重點。

[1]Ghose D.True proportional navigation with maneuvering target[J].IEEE Transaction on aerospace and electronic systems,1994,30(1):229-237.

[2]Guelman M.A qualitative study of proportional navigation[J].IEEE Transaction on aerospace and electronic systems,1971,7(4):637-643.

[3]Guelman M,Shinr J.Optimal guidance law in the plane[J].IEEE Journal Guidance and Control Dynamic,1996,7(4):471-476.

[4]張旭,雷虎民,曾華,等.帶落角約束的自適應比例制導律[J].固體火箭技術(shù),2011,34(6):687-692.

[6]Talole S E,Banavar R N.Proportional navigation through predictive control[J].IEEE Journal Guidance and Control Dynamic,1998,21(6):1004-1006.

[7]Li C Y,Jing W X.Geometric approach to capture analysis of PN guidance law[J].Aerospace Science and Technology,2008,12:177-183.

[8]Dhananjay N,Lum Kai-yew,Xu Jian-xin.Proportional navigation with delayed line-of-sight rate[J].IEEE Trans.on control system technology,2013,21(1):247-253.

[9]Satadal Ghosh,Debasish Ghose and Soumyendu Raha.Three dimensional PN based impact angle control for higher speed nonmaneuvering targets[C]//2013 American Control Conference (ACC),Washington,DC,USA,June 17-19,2013:31-36.

[10]In Soo Jeon,Jin Ik Lee.Optimality of proportional navigation based on nonlinear formulation[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2010,46(4):2051-2055.

[11]Podlubny I.Fractional differential equations[M].San Diego: Acdamic Press,1999.

[12]Y Q Chen,K L Moore.Discretization schemes for fractional-order differentiators and integrators[J].IEEE Trans On Circuits and Systems-I:Fundamental Theory and Applications,2002,49(3):363-367.

[13]齊乃明,秦昌茂,宋志國.分數(shù)階PI～λD～μ在高超聲速飛行器姿態(tài)控制中的應用展望[J].航天控制,2010,28(5):93-98.

[14]Necati ?zdemir, Beyza BillurI skender.Fractional order control of fractional diffusion systems subject to input Hysteresis[J].Journal of Computational and Nonlinear Dynamics,2010,5:021002-1021002-5.

[15]Yang Jie,Qi Dong-lian.The feedback control of fractional order unified chaotic system[J].Chinese Physics B,2010,19(2):020508-1-020508-4.

[16]陳勇,趙惠昌,陳思,等.基于分數(shù)階傅里葉變換的彈載SAR成像算法[J].物理學報,2014,11(63):118403-1-118403-9.

[17]史金光, 王中原, 孫洪輝,等.制導炮彈分數(shù)階控制器參數(shù)整定方法研究[J].戰(zhàn)術(shù)導彈技術(shù),2013(5):76-80.

[18]王飛,雷虎民.基于分數(shù)階微積分PD～λ比例導引制導規(guī)律[J].控制理論與應用,2010,27(1):127-130.

[19]朱竹婷,廖增,彭程,等.一種分數(shù)階修正比例導引律[J].控制理論與應用,2012,29(7):945-949.

[20]張旭秀,邱天爽,盛虎.分數(shù)階微積分的一種物理解釋和定域長分數(shù)階微積分[J].電子學報,2013,41(3):508-512.

[21]侯明善,張金鵬.非線性比例導引系統(tǒng)研究[J].上海航天,2002(6):14-17.

[22]Rituraj S,Prabhakar N,Sarkar A K,et al.Three dimensional nonlinear inverse dynamics guidance law for parallel navigation[C]//AIAA Guidance,Navigation,and Control Conference and Exhibit.Rhode Island.2004-4904:1-8.

(編輯：呂耀輝)

Novel 3D terminal guidance law based on the theory of fractional order calculus

YE Ji-kun，WEI Dao-zhi，LI Jiong，SHAO Lei，LEI Hu-min

(Air and Missile Defense College of Air Force Engineer University，Xi’an710051，China)

A novel terminal guidance law based on the fractional calculus was derived aiming at intercepting the maneuvering target.Firstly,the definitions and properties of the fractional order calculus were introduced,the fractional order calculus proportional navigation(FOCPN)was proposed based on the traditional proportional navigation(PN) after analyzing the relative motion relation. Secondly, the characteristic of the load and the control effort of FOCPN were studied,and the trajectory stability of the FOCPN was researched through analyzing the change of leading angle,also the robust of FOCPN against autopilot parameters was analyzed by small deviator kinematics model.At last,simulation result shows that,compared with the traditional PN law,the new designed FOCPN has the higher guidance precision and the shorter intercept time,and it solves the problem of overload increasing sharply caused by divergence of line of sight rate.The new designed guidance law can intercept maneuvering target effectively.

fractional calculus；guidance；proportional navigation；load；trajectory

2015-05-03；

2015-07-17。

國家高科技計劃，航空科學基金項目(20130196004,20140196004)。

葉繼坤(1984—)，男，博士，研究方向為飛行器制導控制。E-mail：jikunbo@sina.com

V448

A

1006-2793(2016)03-0428-08

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.03.026