武澤平，王東輝，胡　凡，張為華

(國(guó)防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙　410073)

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基于代理模型的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥設(shè)計(jì)①

武澤平，王東輝，胡凡，張為華

(國(guó)防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410073)

提出一種基于代理模型的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。將代理模型技術(shù)用于基于Level Set的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥設(shè)計(jì)，并提出了基于Pareto前沿采樣的并行加點(diǎn)準(zhǔn)則，進(jìn)一步提升算法性能。以后翼柱型裝藥為例，以推力平穩(wěn)為設(shè)計(jì)目標(biāo)，得到了優(yōu)良的推力性能，驗(yàn)證了方法的有效性。

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)；代理模型；并行加點(diǎn)準(zhǔn)則；優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；LevelSet；裝藥設(shè)計(jì)

0　引言

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)是火箭/導(dǎo)彈設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容，發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)質(zhì)量好壞直接影響火箭/導(dǎo)彈性能。裝藥設(shè)計(jì)是固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)的重要組成部分，對(duì)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)性能的優(yōu)劣起著決定性作用[1]。裝藥設(shè)計(jì)與發(fā)動(dòng)機(jī)總體設(shè)計(jì)聯(lián)系密切，往往在發(fā)動(dòng)機(jī)總體方案論證時(shí)，就已確定了推進(jìn)劑的配方，甚至選定了藥型。在通常情況下，裝藥設(shè)計(jì)最主要的任務(wù)是確定藥型尺寸，使其滿足一定的內(nèi)彈道性能。在過(guò)去的幾十年里，形成了一系列的裝藥設(shè)計(jì)方法[2-4]，此類方法通常采用智能優(yōu)化方法驅(qū)動(dòng)計(jì)算量較小的低精度燃面退移仿真方法進(jìn)行裝藥設(shè)計(jì)，需要大量的迭代計(jì)算，且計(jì)算精度難以保證。

隨著高性能計(jì)算技術(shù)不斷發(fā)展和廣泛應(yīng)用，發(fā)動(dòng)機(jī)仿真計(jì)算精度明顯提高，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行發(fā)動(dòng)機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)，以尋求性能優(yōu)良、結(jié)構(gòu)可靠的發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)方案。然而，精確仿真模型往往具有計(jì)算復(fù)雜度高、計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng)的特點(diǎn)。此時(shí)，智能優(yōu)化方法的大量迭代計(jì)算通常難以接受[5]。代理模型技術(shù)可通過(guò)設(shè)計(jì)空間少量樣本點(diǎn)，對(duì)全空間輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)，在優(yōu)化過(guò)程中，能大量降低模型仿真次數(shù)，對(duì)基于大計(jì)算量高精度模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)，能顯著提高優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率。

本文將基于代理模型的高效優(yōu)化方法引入固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥設(shè)計(jì)過(guò)程中，為進(jìn)一步提升優(yōu)化性能，提出并行加點(diǎn)準(zhǔn)則。最后，以后翼柱型裝藥為例，驗(yàn)證本文方法的有效性。

1　優(yōu)化計(jì)算模型

1.1基于LevelSet的燃面計(jì)算方法

燃面計(jì)算是固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié)，其方法優(yōu)劣直接影響發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道性能的預(yù)估及發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥設(shè)計(jì)品質(zhì)。燃面推移是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，推移過(guò)程中伴有燃面的消失和新燃面的生成，導(dǎo)致燃面結(jié)構(gòu)劇烈變化[6]。

代理模型技術(shù)通過(guò)少量樣本點(diǎn)的輸入輸出特性，對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)空間響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，將其引入優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程，可有效減少模型調(diào)用次數(shù)。對(duì)基于復(fù)雜耗時(shí)模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可顯著提高設(shè)計(jì)效率。本文將代理模型技術(shù)引入基于LevelSet燃面計(jì)算的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥優(yōu)化設(shè)計(jì)，并提出高效的并行加點(diǎn)準(zhǔn)則，進(jìn)一步提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。

1.2彈道計(jì)算方法

零維內(nèi)彈道計(jì)算的基本微分方程組如下：

(1)

(2)

(4)

1.3優(yōu)化目標(biāo)與約束

以往的裝藥設(shè)計(jì)目標(biāo)通常是發(fā)動(dòng)機(jī)性能最優(yōu)，而不關(guān)心推力隨時(shí)間的變化規(guī)律。因此，在裝藥燃燒過(guò)程中，往往會(huì)出現(xiàn)由于燃面的消失和新燃面的生成導(dǎo)致推力發(fā)生震蕩的現(xiàn)象，而這往往是彈/箭總體設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免的。因此，本文將發(fā)動(dòng)機(jī)工作過(guò)程中的推力平穩(wěn)性作為優(yōu)化目標(biāo)，同時(shí)將發(fā)動(dòng)機(jī)的性能作為約束進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以期滿足彈/箭總體設(shè)計(jì)需求。具體實(shí)施過(guò)程中，本文將設(shè)計(jì)發(fā)動(dòng)機(jī)推力與總體要求平均推力之間的偏差最小化作為優(yōu)化目標(biāo)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(5)所示。其中，T為發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間，考慮到發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火和耗盡時(shí)不可避免會(huì)出現(xiàn)推力迅速變化的情況，本文略去開(kāi)始工作后5%和工作結(jié)束前10%的推力變化影響。

(5)

其中，x為設(shè)計(jì)變量，即裝藥的幾何構(gòu)型參數(shù)。設(shè)計(jì)約束為裝藥性能參數(shù)，包括馬赫數(shù)M、裝填系數(shù)J、喉通比η以及裝藥質(zhì)量mp。

上述參數(shù)均為裝藥幾何構(gòu)型參數(shù)的函數(shù)。因此，本文構(gòu)建的優(yōu)化模型如式(6)所示。其中，M0、J0、η0和mp0為總體設(shè)計(jì)給出的各參數(shù)臨界值。

min:f(x)

J(x)>J0

(6)

2　基于代理模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

LevelSet對(duì)復(fù)雜三維藥型燃面計(jì)算有較高精度。然而，由于計(jì)算相對(duì)較為耗時(shí)，目前對(duì)基于該方法的裝藥設(shè)計(jì)方法僅有少量研究。本文將代理模型技術(shù)引入裝藥設(shè)計(jì)過(guò)程中，可有效減少LevelSet燃面計(jì)算模型調(diào)用次數(shù)，實(shí)現(xiàn)基于LevelSet的固體發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥優(yōu)化設(shè)計(jì)。基于代理模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法主要由數(shù)據(jù)與處理、近似建模和序列加點(diǎn)3部分構(gòu)成，算法流程如圖1所示。

數(shù)據(jù)預(yù)處理階段進(jìn)行采樣點(diǎn)的選擇，不同設(shè)計(jì)變量尺度的統(tǒng)一，以及在采樣點(diǎn)運(yùn)行模型得到模型輸出，為近似建模提供訓(xùn)練樣本。

近似建模階段分為近似模型的構(gòu)造和驗(yàn)證。首先，通過(guò)插值或擬合技術(shù)，根據(jù)訓(xùn)練樣本對(duì)設(shè)計(jì)空間的輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)；其次，最小化驗(yàn)證樣本點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行參數(shù)選優(yōu)與模型驗(yàn)證。

采樣點(diǎn)更新階段的核心是構(gòu)造用于加密采樣點(diǎn)的優(yōu)化問(wèn)題，即加點(diǎn)準(zhǔn)則。當(dāng)加點(diǎn)準(zhǔn)則確定后，采用一種高效的內(nèi)優(yōu)化算法(通常為全局優(yōu)化能力較強(qiáng)的智能優(yōu)化算法)，根據(jù)加密準(zhǔn)則，選擇下一采樣點(diǎn)。

收斂準(zhǔn)則用來(lái)終止算法迭代，高效的收斂準(zhǔn)則可大量減少不必要的計(jì)算消耗。本文采用二步收斂判定方法[16]：新點(diǎn)的加入對(duì)代理模型是否起到更新作用；新點(diǎn)的加入能否夠提高最優(yōu)點(diǎn)處代理模型近似性能。

該收斂判定準(zhǔn)則能有效減少?gòu)?fù)雜模型調(diào)用次數(shù)，提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。

圖1　基于代理模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

2.1最優(yōu)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

基于代理模型的優(yōu)化方法中，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是其前處理步驟，合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)手段可有效選擇初始采樣點(diǎn)，提高近似模型對(duì)樣本點(diǎn)信息的利用效率[7]。由于拉丁超立方設(shè)計(jì)(Latin Hypercube Sampling, LHS)任意設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)均能自由設(shè)計(jì)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù),因此在安排計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用最廣。

LHS在采樣空間中，將每一個(gè)設(shè)計(jì)變量等分成個(gè)間隔(水平)。首先，在每個(gè)變量的N個(gè)等間隔中，隨機(jī)選取一個(gè)不重復(fù)的間隔，按均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)樣本點(diǎn)，循環(huán)N次，即可得到N個(gè)樣本點(diǎn)。為了保證采樣點(diǎn)的空間均勻分布特性，需要對(duì)拉丁超立方進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，即優(yōu)化拉丁超立方設(shè)計(jì)。近年來(lái)，有大量學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究[8-14]，本文不再贅述，僅將其成果用于構(gòu)造優(yōu)化拉丁超立方設(shè)計(jì)。

為了避免不同變量之間數(shù)量級(jí)差異對(duì)近似模型精度的影響，在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)之前，對(duì)所有變量進(jìn)行歸一化處理；之后，所有過(guò)程均在歸一化后的N維單位超立方中進(jìn)行。

2.2代理模型構(gòu)造方法

代理模型的本質(zhì)是多變量函數(shù)逼近，徑向基函數(shù)插值方法本質(zhì)上采用一元函數(shù)來(lái)對(duì)多元函數(shù)進(jìn)行描述[15]，在多變量函數(shù)逼近中發(fā)揮著重要作用。徑向基插值可表示為

(7)

其中，N為采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)；wk為每個(gè)樣本點(diǎn)的權(quán)系數(shù)；φk(rk)為基函數(shù)。其中，rk表示點(diǎn)x距中心點(diǎn)xk的歐氏距離。將所有采樣點(diǎn)xk的響應(yīng)值yk代入式(7)，得方程組

(8)

其中，φk(rik)為基函數(shù)，本文采用式(9)所示的高斯函數(shù)。

(9)

c為基函數(shù)的形狀參數(shù)，本文采用Wang等[16]提出的方法進(jìn)行確定。為了增加徑向基函數(shù)插值對(duì)帶隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)點(diǎn)的逼近能力，在求解方程組(8)時(shí)，引入正則化項(xiàng)，即在系數(shù)矩陣加上充分小的對(duì)角陣Λ(通常取0.001I)，使其能夠處理帶有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)，其物理意義為在考慮模型對(duì)樣本點(diǎn)的逼近程度的同時(shí)，增加模型的光滑性。此時(shí)，徑向基插值的模型為

(10)

通過(guò)求解方程組(10)，可得系數(shù)w，將其代入式(7)，可得輸出的代理模型。

2.3并行加點(diǎn)準(zhǔn)則

加點(diǎn)準(zhǔn)則的構(gòu)造是基于代理模型優(yōu)化設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵技術(shù)，合理的加點(diǎn)準(zhǔn)則不僅能有效提高代理模型的全局精度，而且能對(duì)最優(yōu)解做出快速預(yù)測(cè)，已有的加點(diǎn)準(zhǔn)則多為單點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則[17-19]，效率低下。本文針對(duì)此問(wèn)題，提出一種基于Pareto前沿采樣的并行加點(diǎn)準(zhǔn)則。

目前，單點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則主要有探索準(zhǔn)則、開(kāi)發(fā)準(zhǔn)則和平衡準(zhǔn)則，探索準(zhǔn)則側(cè)重在采樣點(diǎn)稀疏區(qū)域進(jìn)行加點(diǎn)，開(kāi)發(fā)準(zhǔn)則側(cè)重在代理模型的最優(yōu)解處加點(diǎn)，平衡準(zhǔn)則是對(duì)二者的折中。本文提出的并行加點(diǎn)準(zhǔn)則使加點(diǎn)過(guò)程同時(shí)具備探索和開(kāi)發(fā)能力，具體實(shí)施如下。

構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(11)，其解為圖2所示的Pareto前沿。

(11)

其中，s(x)為代理模型輸出，最大化s(x)導(dǎo)致采樣點(diǎn)向代理模型預(yù)測(cè)的最優(yōu)區(qū)域聚集，使該準(zhǔn)則具備開(kāi)發(fā)能力，d(x)為下一采樣點(diǎn)與歷史采樣點(diǎn)之間的最小距離，最大化d(x)導(dǎo)致采樣點(diǎn)向未采樣區(qū)域探索，使該準(zhǔn)則具備探索能力。因此，通過(guò)求解問(wèn)題(11)得到的最優(yōu)解(即圖2中Pareto前沿上的點(diǎn))，同時(shí)具備探索和開(kāi)發(fā)能力；之后，在Pareto最優(yōu)解中，選取n個(gè)點(diǎn)進(jìn)行下一輪迭代計(jì)算，n為并行計(jì)算節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

圖2　基于Pareto前沿加點(diǎn)示意圖

3　測(cè)試算例分析

3.1藥柱參數(shù)化建模方法

后翼柱型裝藥構(gòu)型如圖3所示。在不考慮加工過(guò)程中倒圓倒角的情況下，圖3中尺寸、前后封頭橢球比以及后翼個(gè)數(shù)與翼寬，可唯一確定裝藥的幾何構(gòu)型。

圖3　后翼柱型裝藥幾何構(gòu)型

由于實(shí)際應(yīng)用中，上述參數(shù)彼此不能獨(dú)立變化。因此，優(yōu)化過(guò)程中，獨(dú)立參數(shù)選擇L1、L13、L12、D1、R6、翼寬Bw，其余參數(shù)固定不變。

給定裝藥配方后，裝藥密度已知，L1、D1的范圍根據(jù)裝藥體積Vp、馬赫數(shù)M及裝填系數(shù)J等性能指標(biāo)確定，如式(12)所示。為防止尺寸欠約束導(dǎo)致建模干涉，本算例不以實(shí)際尺寸為設(shè)計(jì)變量，采用比例映射方式處理其余各尺寸參數(shù)，優(yōu)化過(guò)程中，除L1、D1外，各設(shè)計(jì)變量如(13)所示。

(12)

(13)

經(jīng)過(guò)式(13)處理后的各設(shè)計(jì)變量范圍均可在0～1之間變化，且有效避免了建模干涉問(wèn)題，是對(duì)此類構(gòu)型進(jìn)行參數(shù)化的有效方法。

根據(jù)本文提出的方法，裝藥優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算步驟如下：

(1)采用優(yōu)化拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)選取采樣點(diǎn)，在樣本點(diǎn)出計(jì)算目標(biāo)函數(shù)和所有約束值；

(2)通過(guò)樣本點(diǎn)的輸出值，根據(jù)2.2節(jié)的方法構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和約束的代理模型；

(3)采用NSGA-II算法，運(yùn)行2.3節(jié)的并行加點(diǎn)，采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)選擇為6；

(4)計(jì)算終止判定，是，停止計(jì)算，輸出最優(yōu)解；否，返回(2)，重新構(gòu)造代理模型。

3.2優(yōu)化設(shè)計(jì)與分析

本算例采用8片翼的后翼柱裝藥構(gòu)型，設(shè)計(jì)輸入指標(biāo)如表1所示。其中，推力、總沖、工作時(shí)間為設(shè)計(jì)指標(biāo)，裝藥相關(guān)參數(shù)由裝藥配方給出，喉徑和膨脹比為總體優(yōu)化設(shè)計(jì)給出的最優(yōu)結(jié)果。

優(yōu)化設(shè)計(jì)初始采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為48，并行計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)為6，最大模型仿真次數(shù)設(shè)置為300，目標(biāo)函數(shù)迭代曲線如圖4所示，當(dāng)模型調(diào)用次數(shù)為198次時(shí)，算法收斂。最優(yōu)解如表2所示。

圖4　優(yōu)化目標(biāo)迭代曲線

表2　優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

最優(yōu)裝藥構(gòu)型對(duì)應(yīng)的內(nèi)彈道曲線和燃面-時(shí)間曲線如圖5和圖6所示。

圖5　最優(yōu)推力曲線

圖6　最優(yōu)燃面曲線

由圖5和圖6可得，推力和燃面曲線較平穩(wěn)，無(wú)明顯波動(dòng)，表明優(yōu)化算法性能良好。

根據(jù)最終得到的推力曲線，與設(shè)計(jì)輸入的總體指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3所示。由表3可得，各相對(duì)誤差均在1%以內(nèi)，二者吻合較好。表明該方法是對(duì)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥設(shè)計(jì)的有效方法。

表3　計(jì)算性能結(jié)果對(duì)比

4　結(jié)論

(1)將代理模型引入固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥設(shè)計(jì)，使基于LevelSet高精度燃面計(jì)算的應(yīng)用成為現(xiàn)實(shí)，提高了固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥設(shè)計(jì)精度。

(2)提出了基于Pareto前沿并行加點(diǎn)的序列加點(diǎn)準(zhǔn)則，將其用于基于代理模型的裝藥設(shè)計(jì)，僅一百多次高精度仿真，即可找到最優(yōu)解。相比常規(guī)智能算法，大大減少了迭代次數(shù)。

(3)基于推力匹配的思想，對(duì)后翼柱裝藥進(jìn)行優(yōu)化，完成固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)推力與推力需求能很好地匹配，且總體指標(biāo)也能很好的吻合，驗(yàn)證了算法的有效性，豐富了固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥設(shè)計(jì)方法。

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(編輯：崔賢彬)

Surrogate based grain design optimization for solid rocket motor

WU Ze-ping, WANG Dong-hui, HU Fan, ZHANG Wei-hua

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha410073, China)

An optimization design method for solid rockot motor grain based on surrogate model was proposed. To enhance the efficiency of surrogate based SRM grain design, a Pareto front based parallel infill criteria was proposed. Taking a finocyl grain design as an example, the variance of the thrust was minimized and a smooth thrust-time curve was obtained, which proves the effectiveness of the method.

solid rocket motor；surrogate model；parallel infill criteria；design optimization method；LevelSet；grain design

2015-04-20；

2015-06-15。

武澤平(1990—)，男，博士生，研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。E-mail:zeping90315@126.com

V438

A

1006-2793(2016)03-0321-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.03.005