張　旭，雷虎民，李　炯，翟岱亮，邵　雷

(1.空軍第一航空學(xué)院，信陽　464000；2.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安　710051)

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非奇異快速終端滑模有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律

張旭1，雷虎民2，李炯2，翟岱亮2，邵雷2

(1.空軍第一航空學(xué)院，信陽464000；2.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安710051)

針對普通快速終端滑模控制方法所產(chǎn)生的奇異問題，設(shè)計(jì)了考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的非奇異快速終端滑模有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律。首先，推導(dǎo)了考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的非線性彈目相對運(yùn)動學(xué)模型；其次，針對普通快速終端滑?？刂频钠娈悊栴}，設(shè)計(jì)了非奇異快速終端滑模面，推導(dǎo)了有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律，并對其穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；再次，結(jié)合有限時(shí)間穩(wěn)定性理論，對所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行了分析和證明。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律在目標(biāo)做不同類型和大小機(jī)動的情況下，均能實(shí)現(xiàn)視線角速率有限時(shí)間收斂并準(zhǔn)確命中目標(biāo)，且其脫靶量和攔截時(shí)間均小于傳統(tǒng)滑模制導(dǎo)律。

非奇異；快速終端滑模；自動駕駛儀；有限時(shí)間收斂；制導(dǎo)律

0　引言

近年來，彈道導(dǎo)彈、臨近空間高超聲速飛行器等多種新型高速打擊武器的不斷涌現(xiàn)，給各國已有的防空反導(dǎo)武器系統(tǒng)構(gòu)成了嚴(yán)峻的威脅和挑戰(zhàn)。新型目標(biāo)具有高速機(jī)動特性，留給攔截導(dǎo)彈末制導(dǎo)系統(tǒng)攔截的時(shí)間很短，因此研究使導(dǎo)彈-目標(biāo)視線角速率有限時(shí)間收斂的制導(dǎo)律，使導(dǎo)彈末制導(dǎo)段在有限時(shí)間收斂內(nèi)達(dá)到準(zhǔn)平行接近狀態(tài)，成為制導(dǎo)律研究的一種趨勢[1-8]；此外，為提高制導(dǎo)律的工程應(yīng)用能力以提高制導(dǎo)精度，研究考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的制導(dǎo)律，也成為末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的必要舉措[7，9-13]。

文獻(xiàn)[4]針對導(dǎo)彈的末制導(dǎo)問題，提出了一種基于連續(xù)有限時(shí)間控制技術(shù)的導(dǎo)引設(shè)計(jì)方案，并在導(dǎo)引律中引入了線性狀態(tài)反饋項(xiàng)來改善閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性能，但未考慮導(dǎo)彈的自動駕駛儀動態(tài)特性。文獻(xiàn)[5-6]結(jié)合導(dǎo)彈攔截的精確末制導(dǎo)問題，提出了基于非奇異Terminal滑模的魯棒制導(dǎo)律和非奇異終端滑模制導(dǎo)律，但是該研究仍然未考慮導(dǎo)彈的自動駕駛儀動態(tài)特性。文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的非奇異終端滑模制導(dǎo)律，但是該非奇異終端滑?？刂莆闯浞挚紤]滑模面的收斂速度。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)形式的非線性Terminal滑模制導(dǎo)律，但是未考慮終端滑模的非奇異特性及導(dǎo)彈的自動駕駛儀動態(tài)特性。

本文基于考慮導(dǎo)彈一階自動駕駛儀動態(tài)特性的非線性彈目相對運(yùn)動學(xué)模型，針對普通快速終端滑模控制方法[11]所產(chǎn)生的奇異問題，提出了一種非奇異快速終端滑?？刂品椒?，設(shè)計(jì)了一種基于非奇異快速終端滑模的有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律，并對其穩(wěn)定性和有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行了分析和證明。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的末制導(dǎo)律在目標(biāo)做不同類型和大小機(jī)動的情況下，均能夠?qū)崿F(xiàn)視線角速率有限時(shí)間收斂并準(zhǔn)確命中目標(biāo)，且其脫靶量和攔截時(shí)間均小于傳統(tǒng)滑模制導(dǎo)律。

1　導(dǎo)彈-目標(biāo)空間攔截模型

導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動如圖1所示。圖中，IxI、IyI、IzI平行于慣性參考坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸方向，I為導(dǎo)彈的質(zhì)心；T為目標(biāo)，IT為視線，r為導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對距離，IxLyLzL為視線坐標(biāo)系，θL為視線傾角，φL為視線偏角，θI和φI分別為導(dǎo)彈的彈道傾角和彈道偏角，θt和φt分別為目標(biāo)的彈道傾角和彈道偏角。

圖1　導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運(yùn)動學(xué)關(guān)系

為了研究導(dǎo)引規(guī)律，末制導(dǎo)過程中的相對運(yùn)動可以解耦成縱向平面IxLyL內(nèi)的運(yùn)動和側(cè)向平面IxLzL內(nèi)的運(yùn)動。在某一時(shí)間區(qū)間Δt內(nèi)，ΔxL、ΔyL、ΔzL分別為xL、yL、zL的增量。

本文主要針對動能導(dǎo)彈縱向平面內(nèi)的制導(dǎo)律進(jìn)行研究，故給出縱向平面內(nèi)的相對運(yùn)動學(xué)方程。設(shè)在Δt內(nèi)，視線傾角的增量為ΔθL，則

(1)

式中r(t)為導(dǎo)彈與目標(biāo)在縱向平面內(nèi)的相對距離；ΔyL(t)為Δt時(shí)間內(nèi)oyL方向上的相對位移。

若時(shí)間區(qū)間Δt足夠小，則ΔθL(t)是一個(gè)很小的量。對式(1)進(jìn)行微分，并化簡得

導(dǎo)彈一階自動駕駛儀動態(tài)特性近似為

(3)

式中u(t)導(dǎo)彈的制導(dǎo)指令；τ為導(dǎo)彈自動駕駛儀延遲時(shí)間常數(shù)。

由式(4)可得

(6)

對式(4)進(jìn)行微分，并結(jié)合式(3)、式(5)，可得

(7)

故考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的彈目相對運(yùn)動學(xué)方程可表示為

(8)

其中

式中f為干擾量，且|f|≤F。

2　基于非奇異快速終端滑模的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1非奇異快速終端滑模面設(shè)計(jì)

快速終端滑模面比一般的終端滑模面收斂速度更高，其一般表達(dá)式為[11]

(9)

式中α>0、β>0、p和q為正奇數(shù)，且p>q。

該滑模面的微分為

(10)

取非奇異快速終端滑模面為

(11)

式中α>0、β>0、p和q為正的奇數(shù)，且1

2.2有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

根據(jù)Lyapunov方法求取制導(dǎo)律，則Lyapunov函數(shù)選擇為

(12)

對式(12)進(jìn)行微分，可得

A3x3+B1u+Cf))

(13)

(14)

式中λ>0、μ>0。

由于在實(shí)際應(yīng)用中，f可能無法取得，因此式(14)可表示為

(15)

將式(15)代入式(13)，可得

(16)

由于1

(17)

式中rb為導(dǎo)引頭的盲區(qū)距離。

式(15)所示的制導(dǎo)律中含有符號函數(shù)，由于導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的控制量切換不可能瞬時(shí)完成，因此容易造成抖振，為消除抖振，可對非奇異快速終端滑模制導(dǎo)律的符號函數(shù)進(jìn)行光滑處理，這里用飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù)sign(s)。satΔ(s)的表達(dá)式如下：

(18)

因此，考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀延遲的非奇異終端滑模制導(dǎo)律的最終表達(dá)式為

(19)

3　制導(dǎo)律有限時(shí)間收斂特性分析

該制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的目的，就是在考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的前提下，設(shè)計(jì)導(dǎo)彈視線角速率有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律，因此需要對其有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行分析。首先給出如下引理[12]。

(1)V(x)為正定函數(shù)；

(2)存在實(shí)數(shù)c>0和κ∈(0,1)，以及一個(gè)定義在原點(diǎn)的鄰域U0∈U，使得下列條件成立：

則上述自治系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的；若U=U0=Rn，則該自治系統(tǒng)為全局有限時(shí)間穩(wěn)定。

下面，對所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行證明。

證明：

(20)

根據(jù)引理1，可知式(20)滿足有限時(shí)間穩(wěn)定的相關(guān)條件，因此，式(19)所示的考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀延遲的非奇異終端滑模制導(dǎo)律是有限時(shí)間收斂的。

收斂時(shí)間tr與系統(tǒng)狀態(tài)初始值x(0)有關(guān)，其上界為

(21)

(22)

故s可在有限時(shí)間tr內(nèi)收斂到零。下面證明當(dāng)t=tr、s(tr)=0、x2(tr)≠0時(shí)，x2可在有限時(shí)間ts內(nèi)收斂到零。

取Lyapunov函數(shù)為

(23)

對式(23)進(jìn)行微分，可得

(24)

由于當(dāng)t≥tr時(shí)，s(tr)=0，故x2+αx3+βx3p/q=0。

(25)

由于1

根據(jù)引理1，可知x2可達(dá)到有限時(shí)間收斂，其收斂時(shí)間為

證畢。

由于采用飽和函數(shù)法對制導(dǎo)律的繼電特性進(jìn)行了連續(xù)化，因此會對系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂特性產(chǎn)生一定的影響。如下式所示：

但是，當(dāng)|s|>Δ時(shí)，satΔ(s)=sign(s)，對系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂特性并無影響。因此，可以選擇適當(dāng)小的Δ，一方面可保證降低或去除制導(dǎo)律中的抖振現(xiàn)象，另一方面可保證系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到[-Δ,Δ]的鄰域內(nèi)，從而保證系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂特性及制導(dǎo)精度。

4　仿真結(jié)果分析

(1)at=atmax，目標(biāo)做圓弧型機(jī)動。

圖2　目標(biāo)做圓弧型機(jī)動時(shí)的彈道曲線

圖3　目標(biāo)做圓弧型機(jī)動時(shí)的視線角速率曲線

機(jī)動過載atmax1g2g3g4gSMG脫靶量/m0.02090.17321.214010.644攔截時(shí)間/s15.49615.71116.01616.447NFTG脫靶量/m0.01650.06080.20200.5064攔截時(shí)間/s15.42215.58915.82216.137

(2)at=atmaxsin(πt/3)，目標(biāo)做正弦型機(jī)動。

圖4　目標(biāo)做正弦型機(jī)動時(shí)的彈道曲線

圖5　目標(biāo)做正弦機(jī)型動時(shí)的視線角速率曲線

機(jī)動過載atmax1g2g3g4gSMG脫靶量/m0.55621.22511.94782.7143攔截時(shí)間/s15.36315.37815.39315.409NFTG脫靶量/m0.00810.01250.02020.0237攔截時(shí)間/s15.32015.33315.34615.361

(3)at=atmaxsign(12-t)，目標(biāo)做方波型機(jī)動。

圖6　目標(biāo)做方波型機(jī)動時(shí)的彈道曲線

圖7　目標(biāo)做方波型機(jī)動時(shí)的視線角速率曲線

機(jī)動過載atmax1g2g3g4gSMG脫靶量/m0.06200.44892.50469.3013攔截時(shí)間/s15.47515.64815.87116.152NFTG脫靶量/m0.01910.03740.10320.2119攔截時(shí)間/s15.40715.54515.72515.951

由圖2、圖4和圖6可知，當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行圓弧型機(jī)動、正弦型機(jī)動和方波型機(jī)動時(shí)，NFTG的飛行彈道均低于SMG的飛行彈道，且比SMG提前命中目標(biāo)；而產(chǎn)生這種彈道的主要原因是NFTG可保證視線角速率有限時(shí)間收斂；由圖3、圖5和圖7可知，NFTG可保證視線角速率有限時(shí)間收斂，而SMG卻難以達(dá)到。由表1～表3可知，當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行不同大小的機(jī)動時(shí)，NFTG的脫靶量和攔截時(shí)間均小于SMG；當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行圓弧型和方波型機(jī)動且atmax為3g和4g時(shí)，SMG出現(xiàn)了脫靶；當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行正弦型機(jī)動且atmax為2g和4g時(shí)，SMG亦出現(xiàn)脫靶；而NFTG在各種情形下均能以極低的脫靶量準(zhǔn)確命中目標(biāo)。

(4)前3種機(jī)動情形下的視線角速率收斂時(shí)間分析。

如表4所示，目標(biāo)做圓弧型機(jī)動、正弦型機(jī)動和方波型機(jī)動時(shí)的視線角速率收斂時(shí)間隨著目標(biāo)最大機(jī)動過載atmax的增大而增大，這表明目標(biāo)的機(jī)動過載越大，則導(dǎo)彈使視線角速率達(dá)到有限時(shí)間收斂狀態(tài)所花費(fèi)的時(shí)間越長。同時(shí)，正弦型機(jī)動情況下的收斂時(shí)間比圓弧型的時(shí)間短，這主要是由于正弦型機(jī)動的過載均值小于圓弧型機(jī)動所造成的；方波型機(jī)動由于其目標(biāo)機(jī)動過載波動的時(shí)間距離攔截結(jié)束較近，因此其視線角速率收斂時(shí)間與圓弧型機(jī)動相同。此外，與圖3、圖5和圖7進(jìn)行對比可知，本文所設(shè)計(jì)的非奇異有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律可在較短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)視線角速率有限時(shí)間收斂，而SMG沒有這種能力。

表4　不同目標(biāo)機(jī)動情形下的收斂時(shí)間

5　結(jié)論

(1) 針對普通快速終端滑模控制的奇異問題，推導(dǎo)了考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性的彈目非線性相對運(yùn)動學(xué)模型，提出了一種非奇異快速終端滑模面設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)了非奇異快速終端滑模有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律，并對制導(dǎo)律的穩(wěn)定性及其有限時(shí)間收斂特性進(jìn)行了分析和證明。

(2) 仿真結(jié)果表明，在目標(biāo)進(jìn)行圓弧型機(jī)動、正弦型機(jī)動和方波型機(jī)動的情形下，所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律可實(shí)現(xiàn)視線角速率有限時(shí)間收斂，且比普通滑模制導(dǎo)律具有更小的脫靶量和更短的攔截時(shí)間；尤其在目標(biāo)進(jìn)行3～4g機(jī)動時(shí)，普通滑模制導(dǎo)律會產(chǎn)生脫靶，而所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律仍然能夠保持較高的制導(dǎo)律精度。

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(編輯：呂耀輝)

Nonsingular fast terminal sliding mode guidance law with finite-time convergence

ZHANG Xu1, LEI Hu-min2, LI Jiong2, ZHAI Dai-liang2, SHAO Lei2

(1.The First Aeronautic Institute of Air Force, Xinyang464000, China; 2.Air and Missile Defense College, Air Force Engineering University, Xi'an710051, China)

A nonsingular fast terminal sliding mode guidance law with finite-time convergence incorporating dynamics of missile autopilots was proposed for the singular problems of common fast terminal sliding mode control. Firstly, the nonlinear target-missile dynamic model incorporating dynamics of missile autopilots was derived. Secondly, the nonsingular fast terminal sliding mode surface was proposed for the singular problems of common fast terminal sliding mode control, and then the guidance law with finite-time convergence was derived, whose stability was analyzed subsequently. Thirdly, the finite-time convergent character of the proposed guidance law was analyzed and proved combining with the finite-time stable theorem. Simulation results show that the proposed guidance law could achieve finite-time convergence of line-of-sight rate and impact the target correctly in the case of different types and different magnitudes of target maneuvers, whose miss distances and interception time are lower than the common sliding mode guidance law.

nonsingular；fast terminal sliding mode；autopilot；finite-time convergence；guidance law

2014-11-21；

2015-04-30。

航空科學(xué)基金(20130196004，20140196004)。

張旭(1988—)，男，博士，主要研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)與控制技術(shù)。E-mail:dragonhorse12345@163.com

V448

A

1006-2793(2016)02-0281-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.02.023