劉利軍，陳武華，盧小梅

(廣西大學數(shù)學與信息科學學院，廣西南寧 530004)

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一類非線性系統(tǒng)的非周期間歇H∞同步*

劉利軍，陳武華**，盧小梅

(廣西大學數(shù)學與信息科學學院，廣西南寧 530004)

基于H∞控制理論研究一類非線性系統(tǒng)的間歇H∞同步問題.針對間歇控制具有切換控制的特征，通過構造時變切換的Lyapunov函數(shù)并結合凸組合技術,分析誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性和L2-增益性能;基于線性矩陣不等式技術，設計非周期間歇H∞同步控制器；用數(shù)值例子驗證所提出方法的有效性.與以往結果相比，本文提出的間歇控制窗口寬度和休息窗口寬度是可變的，即非周期間歇控制，而且新提出的Lyapunov函數(shù)在閉環(huán)和開環(huán)模式上都是非增的，保證同步誤差系統(tǒng)是內指數(shù)穩(wěn)定并且具有規(guī)定L2-增益.

非線性系統(tǒng) 切換Lyapunov函數(shù) H∞同步 間歇控制

0 引言

混沌系統(tǒng)的控制與同步是當代非線性科學的研究熱點.隨著控制工程與控制理論的發(fā)展，人們提出了不同的控制策略.如文獻[1]和文獻[2]分別應用線性反饋和非線性反饋控制方法研究混沌系統(tǒng)的同步問題；文獻[3]利用自適應控制策略研究一類非線性系統(tǒng)的非光滑觀測器的設計問題；文獻[4]和文獻[5]分別運用反步設計和滑膜控制研究混沌系統(tǒng)的同步問題；文獻[6-10]基于線性矩陣不等式，通過脈沖控制策略建立混沌系統(tǒng)的同步判據(jù)；文獻[11-14]通過間歇控制探討系統(tǒng)的同步問題.在以上的控制策略中，不連續(xù)的控制有脈沖控制和間歇控制.與連續(xù)控制相比，不連續(xù)控制的控制成本低，容易實施并且具有較強的魯棒性.不連續(xù)控制中，脈沖控制只是在某些離散點處進行控制.間歇控制是控制器工作一段時間之后再休息一段時間，如此周而復始.間歇控制使系統(tǒng)具有更好的閉環(huán)性能和較高的控制成本.故間歇控制策略被廣泛應用于系統(tǒng)鎮(zhèn)定[15-17]與同步[18]研究以及觀測器設計[19]等方面.然而，上述文獻的間歇控制的控制窗口寬度與休息寬度都是固定的，也即周期間歇控制.但實際應用中要求控制是周期的，這是不合理的或者是不必要的.某些情況下，非周期間歇更符合實際系統(tǒng)的應用.例如，風能發(fā)電或太陽能發(fā)電系統(tǒng)是經典的非周期間歇控制系統(tǒng).文獻[20-21]應用非周期間歇控制研究系統(tǒng)的鎮(zhèn)定與同步.

而在實際操作過程中，噪音和外部干擾普遍存在.比如，同步信號從驅動系統(tǒng)傳輸?shù)巾憫到y(tǒng)的工程中，外部環(huán)境中的干擾不可避免.然而，干擾的存在可能會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性與同步現(xiàn)象.故干擾抑制同步控制器的設計就成為一個尤為重要的問題.在干擾輸入信號平方可積的情況下，L2-增益概念提供了L2擾動輸入信號對輸出信號靈敏度的數(shù)值度量.H∞同步控制是消除外部干擾對系統(tǒng)性能影響的有效方法.文獻[22]得到了不確定神經網(wǎng)絡時滯相關的H∞同步判據(jù).文獻[23]提出滑膜控制方法來研究具有混合時滯系統(tǒng)的H∞同步問題.文獻[24]基于分布脈沖控制策略研究一類具有耦合時滯和干擾信號的復雜動態(tài)網(wǎng)路的在H∞同步問題.H∞同步的目的就是設計控制律(狀態(tài)反饋或者輸出反饋)，使得閉環(huán)系統(tǒng)在零干擾任意初始值的情況下，系統(tǒng)內穩(wěn)定且在零初始時系統(tǒng)具有有限L2-增益.混沌系統(tǒng)的間歇H∞同步問題未見有報道，而解決該問題的最大難點就是如何構造合適的Lyapunov函數(shù)使得系統(tǒng)在開環(huán)模式下具有有限的L2-增益.

本文提出非周期間歇H∞同步方案，保證誤差系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定和誤差干擾輸出具有規(guī)定的L2-增益.對于給定的間歇切換信號，非周期間歇H∞同步控制器的增益可以通過求解一組線性矩陣不等式得到.主要創(chuàng)新點如下：(1)基于H∞同步理論，以量化的形式分析干擾對誤差系統(tǒng)的影響并且考慮了間歇H∞控制設計；(2)與文獻[12-19]中相比，本文中的間歇控制的控制寬度和休息寬度可變；(3)構造的時變切換的Lyapunov函數(shù)更能夠考慮系統(tǒng)的切換特性，使得同步判據(jù)具有更小的保守性.

符號說明：矩陣P>0(≥0,<0,≤0)表示P為正定(半正定、負定、半負定)矩陣；I表示適當維數(shù)的單位矩陣；λmax(P),λmin(P)分別表示矩陣P的最大和最小特征值；‖·‖表示為歐幾里德范數(shù)；={1,2,…}.

1 問題描述

考慮如下常微分方程描述的非線性系統(tǒng)：

(1)

其中，x(t)∈Rn，y(t)∈Rm分別是系統(tǒng)的狀態(tài)與系統(tǒng)的輸出；A0,A1∈Rn×n為已知的常系數(shù)矩陣；C∈Rm×n,m

(2)

系統(tǒng)(1)為驅動系統(tǒng)，相應的響應系統(tǒng)具有如下形式：

(3)

(4)

其中，

(5)

(6)

與周期間歇控制相比，非周期間歇控制允許控制周期t1k-t1,k-1與控制寬度t2,k-1-t1,k-1是變化的.為了刻畫系統(tǒng)的切換特征，引入如下切換信號函數(shù)：

給出間歇切換時間序列滿足的容許值：

Sσ(δ11,δ12;δ21,δ22)={σ(t):δi1≤t3-i,k+i-2-

ti,k-1≤δi2,k∈,i=1,2}.

間歇H∞同步問題：對于給定的干擾抑制γ和給定間歇切換時間序列Sσ(δ11,δ12;δ21,δ22),設計間歇控制器K,使以下條件成立：

(i)當外部干擾w(·)=0時，誤差系統(tǒng)的零解是一致指數(shù)穩(wěn)定(UES),即存在正標量M,β，使得如下不等式成立：

‖e(t)‖2≤M‖e0‖2e-β t,?t≥0.

(ii)當初始值e0=0時，同步誤差系統(tǒng)(5)的控制輸出ye(t)滿足

(7)

引理1[17]對給定的Un×n矩陣和正定矩陣X，對任意的正常數(shù)ε，如下不等式成立：

UX-1UT≥ε(U+UT)-ε2X.

i=1,2,…,N,

則下列不等式也成立：

Ξi+BXiA+(BXiA)T<0,i=1,2,…,N.

2 穩(wěn)定性分析

通過引入時變Lyapunov函數(shù)，結合凸組合技術和線性矩陣不等式技術，解決間歇H∞同步問題.首先引入相關的分段函數(shù)：

和

i=1,2.

(8)

定理1 給定控制增益矩陣K∈Rm×nc和間歇切換時間序列Sσ(δ11,δ12;δ21,δ22)，考慮同步誤差系統(tǒng)(5)滿足(6)式.那么對于給定正標量μ1,μ2,γ，若存在n×n正定矩陣Pij,j=1,2和正定對角矩陣Λijh,i,j,h=1,2，使得如下線性矩陣不等式成立：

Ξijh=

h=1,2,

(9)

(10)

則系統(tǒng)(5)關于Sσ一致指數(shù)穩(wěn)定且L2-增益小于γ.

證明 首先，證明當w(·)=0時，誤差系統(tǒng)(5)在給定的條件(8)和(9)下是指數(shù)穩(wěn)定的.在此，把誤差系統(tǒng)(5)看作如下切換系統(tǒng)：

(11)

由矩陣不等式(9)，(10)，對于充分小的正標量β,條件(10)和如下不等式成立：

(12)

構造時變的Lyapunov候選函數(shù)：

設W(t)=eβ tV(t)，對任意固定的t∈[ti,k-1,t3-i,k+i-2),(i,k)∈{1,2}×，對W(t)沿著系統(tǒng)(11)的軌線求導可得

ρ0(t)(Pi1-Pi2)+PijA0i+A0iPij]e(t)+

根據(jù)不等式(6)可得

q=1,2,…,n.

設Λijh=diag{λijh1,λijh2,…,λijhn},i,j,=1,2.根據(jù)上面不等式得

(13)

所以

W(t)

(14)

根據(jù)(7)式和(9)式，給出W(t)在切換時刻ti,k-1，(i,k)∈{1,2}×-{1}×{1}處的估計：

W(ti,k-1)=eβ ti,k-1φ(ti,k-1)eT(ti,k-1)·

Pi2e(ti,k-1)≤eβ ti,k-1μ3-ieT(ti,k-1)P3-i,1e(ti,k-1)≤

(15)

結合(14)式和(15) 式，得W(t)≤W(0).可以推出

其中，λ2=λmax(P12),λ1=min {λmin(Pij),i,j=1,2}.因此同步誤差系統(tǒng)(11)關于Sσ(δ11,δ12;δ21,δ22)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

接下來證明,當初始值e(0)=0時，控制輸出

ye(t)滿足不等式(7).為此，引入輔助函數(shù)：

那么，如下不等式成立：

(16)

對任意的s∈[ti,k-1,t3-i,k+i-2),(i,k)∈{1,2}×，沿系統(tǒng)(5)的軌線可得

再結合不等式(13)和上式有

其中sη2(s)=col(η1(s),w(s)),H=[C0 -D2],

根據(jù)不等式(9)，應用Schur補引理可以得到

Ξ2ijh+HTH<0.

南宋詩人胡仲弓有一首《睡貓》詩寫道：“瓶呂斗粟鼠竊盡，床上貍奴睡不知。無奈家人猶愛護，買魚和飯養(yǎng)如兒。”正是宋人飼養(yǎng)寵物貓的生動寫照。今天不少城市白領、小資將貓當成“兒子”養(yǎng)，看來這種事兒宋朝時已經出現(xiàn)了。

因此

把上式代入(16) 式，推出J(t)≤0,?t≥0,即

由于min {μ1,μ2,1}≤φ(s)≤max {μ1,μ2,1},就意味著不等式(5)成立.證畢.

假設間歇切換時間序列Sσ(δ11,δ12;δ21,δ22)滿足δ11=δ12,δ21=δ22,則非周期間歇控制就成為周期間歇控制，那么根據(jù)定理1可得如下推論.

推論1 給定控制增益矩陣K∈Rm×nc，控制周期ω和控制寬度δ，考慮同步誤差系統(tǒng)(5)滿足(6)式.對于給定正標量μ1,μ2,γ，若存在n×n正定矩陣Pij,i,j=1,2和正定對角矩陣Λij,i,j=1,2，使得如下線性矩陣不等式成立：

Pi2≤μ3-iP3-i,1,i=1,2,

則系統(tǒng)(5)全局指數(shù)穩(wěn)定且L2-增益小于γ.

注1 文獻[11-16]研究了系統(tǒng)的周期間歇同步問題.然而在實際中，周期間歇控制是不合理或者沒必要的.與之前文獻不同，本文所提出的間歇控制的控制窗口寬度和休息寬度是可變的.另外，定理1提出了新穎的時變切換Lyapunov函數(shù)來研究系統(tǒng)的H同步問題.時變切換Lyapunov函數(shù)能夠使系統(tǒng)在開環(huán)模式上具有有限L2-增益.傳統(tǒng)的時不變Lyapunov函數(shù)在分析L2-增益時，即使γ充分大，也不能滿足不等式：

說明本文提出的時變Lyapunov函數(shù)更具優(yōu)越性.

3 控制器設計

在定理1的基礎上解決間歇H∞同步控制器的設計問題.給出如下假設：

X3-i,1≤μ3-iXi2,i=1,2,

(17)

(18)

h=1,2,

(19)

Γ21h<0,h=1,2,

(20)

(21)

Γijh=

利用Schur補引理以及上式不等式，由線性矩陣不等式(18)和(19)可得

j=1,2,

(22)

根據(jù)引理2，由矩陣不等式(22)可以得到

(23)

在不等式兩邊同時乘以diag{Pij,Λ1jh,I,I}，那么線性矩陣不等式(18)，(19)等價于當i=1,j,h=1,2時的線性矩陣不等式(9).利用相同的分析技巧可得線性矩陣不等式(20)，(21)等價于i=2,j,h=1,2時的線性矩陣不等式(9).再根據(jù)定理1可得結論成立.

X3-i,1≤μ3-iXi2,i=1,2,

Γ21<0,

Γij=

注2 定理2給出間歇H∞同步控制器的充分條件.而從實際出發(fā)，需盡可能使得間歇H∞同步控制器具有較小的增益.根據(jù)定理2，提出如下凸優(yōu)化問題來限制增益矩陣K的范數(shù).

(OP) minimizeυ

(24)

X0≥ηI,線性矩陣不等式(17)-(21).

4 數(shù)值仿真

考慮Chua’s電路系統(tǒng)，參數(shù)如下：

對于給定的δ11=0.45,δ12=0.60,δ21=0.15,δ22=0.25,給定的L2-增益γ=1,求解優(yōu)化問題(OP).選擇參數(shù)

(μ1,μ2,ε1,ε2,θ1,θ2)=(1.45,0.29,0.83,0.78,0.027,0.032)，

可得υmin=79.50.相應的間歇增益矩陣為

在δi1≤t3-i,k+i-2-ti,k-1≤δi2,k∈,i=1,2的限制下，圖2為隨機產生的間歇切換信號σ(t).數(shù)值仿真中選取初始值x0=(0.9,0.3,1)T和0=(-4,5,7)T以及外部干擾.圖3展示了相應的間歇H控制器K下，誤差系統(tǒng)的狀態(tài)演化曲線，圖4給出相應的誤差系統(tǒng)狀態(tài)范數(shù)的演化曲線.從仿真結果(圖1～4)可看出本文所提方法是有效的.

圖1 Chua’s電路的混沌現(xiàn)象

圖2 間歇切換信號

Fig.2 The intermittent switching signal

圖3 間歇控制下誤差系統(tǒng)狀態(tài)軌線

圖4 間歇控制下誤差系統(tǒng)狀態(tài)范數(shù)演化曲線

5 結論

本文主要研究一類非線性系統(tǒng)的非周期間歇H∞同步問題。通過構造切換時變的Lyapunov函數(shù)分析系統(tǒng)的內指數(shù)穩(wěn)定性和L2-增益性能。與以往的Lyapunov函數(shù)相比，本文所提出的Lyapunov函數(shù)能夠使其在開環(huán)模式上單調遞減。另外，基于線性矩陣不等式，給出非周期間歇控制器的設計方案，還用數(shù)值算例驗證所提結果的有效性。

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(責任編輯：尹 闖)

Aperiodically Intermittent H∞Synchronization for a Class of Nonlinear System

LIU Lijun， CHEN Wuhua， LU Xiaomei

(College of Mathematics and Information Science，Guangxi University，Nanning，Guangxi， 530004，China)

The external disturbances are inevitable in the synchronization process.In this paper， the H∞synchronization problem for a class of nonlinear system is investigated via intermittent control based on the H∞control theory.Different from the previous results，the control and rest window width are variable in this paper，that is aperiodically intermittent control.Owing to the switching characteristics of intermittent control，a switching-time-various Lyapunov function combined with the convex combination technique is applied to analyze the stability and L2-gain performance of error system.It is worth mentioning that the Lyapunov function proposed in this paper is non-increasing in the closed-model and open-model.By linear matrix inequality technique，the aperiodically intermittent H∞synchronization feedback controller is presented，which can ensure the internally exponential stability and have a prescribed L2-gain.Finally，a numerical example demonstrates the effectiveness of the obtained results.

nonlinear systems，switching Lyapunov function，H∞synchronization，intermittent control

2016-05-25

劉利軍(1991-)，男，碩士研究生，主要從事非線性系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)的分析與設計。

*國家自然科學基金項目(61573111)和廣西自然科學基金重點項目(2013GXNSFDA019003,2015GXNSFAA139003)資助。

**通訊作者：陳武華(1967-)，男，教授，主要從事系統(tǒng)控制研究，E-mail： wuhua_chen@163.com。

網(wǎng)絡優(yōu)先數(shù)字出版時間：2016-09-13 【DOI】10.13656/j.cnki.gxkx.20160913.003

http://www.cnki.net/kcms/detail/45.1206.G3.20160913.0948.006.html

TP273

A

1005-9164(2016)04-0366-08

廣西科學Guangxi Sciences 2016,23(4):366～373