黃　智　力，羅　　　鍵

（1.廈門大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，福建　廈門 361005；2.廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建　廈門 361024）

三角模糊數(shù)型不確定多指標(biāo)決策的相似規(guī)劃模型及其應(yīng)用

黃智力1，2，羅鍵1

（1.廈門大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，福建廈門 361005；2.廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建廈門 361024）

針對指標(biāo)權(quán)重未知的三角模糊數(shù)型不確定多指標(biāo)決策問題：首先，給出了一種新的規(guī)范三角模糊數(shù)相似度和決策方案相似度的定義，提出了三角模糊數(shù)相似度關(guān)系理論并得到了一些相關(guān)結(jié)果；其次，借鑒離差最大化思想提出了一種基于三角模糊數(shù)相似度關(guān)系確定指標(biāo)權(quán)重的相似規(guī)劃模型；再次，利用各決策方案與理想決策方案相似度的相對比值大小對各決策方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)，以此給出了三角模糊數(shù)型不確定多指標(biāo)決策的相似度關(guān)系算法；最后，通過算例對該算法與離差最大化算法進(jìn)行對比分析說明了該算法的可行性和有效性。

不確定多指標(biāo)決策；三角模糊數(shù)；相似規(guī)劃模型；指標(biāo)權(quán)重

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0　引　言

近年來，有關(guān)不確定多指標(biāo)決策問題的研究在機(jī)器學(xué)習(xí)［1］、系統(tǒng)預(yù)測［2］、市場產(chǎn)品定位［3］、服務(wù)質(zhì)量評價(jià)［4］、交通運(yùn)輸優(yōu)化［5］、能源技術(shù)評價(jià)［6］、災(zāi)害系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)評估［7］、武器系統(tǒng)選擇［8］等多個(gè)領(lǐng)域有著極其廣泛的應(yīng)用。如今隨著信息技術(shù)的發(fā)展，信息量迅速膨脹，面對海量數(shù)據(jù)如何在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)做出科學(xué)的決策，成為一個(gè)重要的研究問題［9］。在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，由于受到信息的不確定性、決策問題的復(fù)雜性和人類思維的模糊性的影響，人們難以用精確的數(shù)字來表達(dá)自己的偏好，更傾向于使用三角模糊數(shù)值［2，7，10-12］或者語言值［4］來量化表示決策信息及信息處理的不確定性和模糊性。而相似性度量［12］為兩個(gè)及多個(gè)表示不確定模糊概念的三角模糊數(shù)指標(biāo)值間進(jìn)行類比推理提供了重要的基礎(chǔ)工具和方法途徑，并廣泛應(yīng)用于預(yù)測［2］、評估［4，6 7］、矩陣博弈［10］和空間表示［11］等許多不確定決策領(lǐng)域。因此，尋找即科學(xué)又簡便合理的排序算法來解決此類復(fù)雜不確定多指標(biāo)決策問題用于提高決策效率就顯得很重要。從已有國內(nèi)外學(xué)者的相關(guān)研究成果分析，針對不確定多指標(biāo)決策問題常見排序方法包括：相似性度量法［12］、最小偏差法［13］、Choquet積分法［14］、VIKOR擴(kuò)展法［15］、概率論法［16］、期望值法［17］、可能度關(guān)系法［18］、優(yōu)勢關(guān)系法［19］、猶豫模糊集法［20］、優(yōu)勢灰度法［21］、灰靶決策法［22］等?？梢哉f不確定多指標(biāo)決策問題已成為現(xiàn)代決策科學(xué)的一個(gè)重要組成部分［1 22］，而指標(biāo)權(quán)重的確定又是不確定多指標(biāo)決策中一個(gè)重要的研究內(nèi)容。目前關(guān)于指標(biāo)權(quán)重的確定多采用離差最大化法［23］、信息熵法［24］、二次規(guī)劃相對優(yōu)勢法［25］等，然后運(yùn)用各種方法對決策表中的有關(guān)信息進(jìn)行集結(jié)并選擇最優(yōu)方案。雖然這些決策方法在運(yùn)用于處理不確定多指標(biāo)決策問題中得到了不錯(cuò)的效果，但是它們的應(yīng)用也會(huì)時(shí)常面臨評價(jià)結(jié)果相近、指標(biāo)值差異較小、決策結(jié)果區(qū)分度不高等問題，不便于決策方案間優(yōu)劣尺度的測定和排序。為此，許多學(xué)者從利于測定出決策方案間的優(yōu)劣角度進(jìn)行研究，直接采用傳統(tǒng)經(jīng)典的離差最大化賦權(quán)算法來擴(kuò)大所有決策方案的評價(jià)指標(biāo)值間的差異，更好地對決策方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)。由于該方法在運(yùn)用過程中僅考慮原始指標(biāo)值數(shù)據(jù)間的差異大小對方案排序決策的影響，而不去考慮決策指標(biāo)值間的相似性程度及本身的重要性程度如何，往往忽視了指標(biāo)值間相似度［12，17］本身在處理不完備信息系統(tǒng)［26］的評價(jià)實(shí)踐中對全體決策指標(biāo)的作用影響，容易造成方案排序決策結(jié)果失真，按照理論排序得到的最優(yōu)方案結(jié)果也經(jīng)常與客觀實(shí)際不符。

鑒于上述分析，本文給出了一種全新的規(guī)范三角模糊數(shù)相似度和決策方案相似度公式，以及三角模糊數(shù)相似度關(guān)系理論的相關(guān)結(jié)果；在考慮不確定多指標(biāo)決策問題中指標(biāo)值數(shù)據(jù)間相似度大小的作用下，設(shè)計(jì)構(gòu)造了一種新的相似規(guī)劃模型便于獲得更客觀合理的基于三角模糊數(shù)指標(biāo)值相似度的指標(biāo)權(quán)重度量公式，對各決策指標(biāo)信息進(jìn)行賦權(quán)，使得在決策信息集結(jié)后各個(gè)決策方案之間相似度差異縮小即各個(gè)決策方案之間的差異擴(kuò)大而有利于待決策方案的排序與擇優(yōu)；最后利用各決策方案與理想決策方案的相似度在決策方案集中的相對比值大小進(jìn)行排序和擇優(yōu)，提出了三角模糊數(shù)型不確定多指標(biāo)決策的相似度關(guān)系算法。

1　三角模糊數(shù)相似度關(guān)系理論

1.1三角模糊數(shù)的相似度

從定義1可知，在三角模糊數(shù)中，特元xM的取值可能性最大，即信息偏好值xM在三角模糊數(shù)區(qū)間里面出現(xiàn)的概率最大。而由xM向上界的大元xU或向下界的小元xL取值的概率都在遞減。為方便起見，先給出下列有關(guān)三角模糊數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則。

1.2主要結(jié)果

（2）當(dāng)且僅當(dāng)負(fù)理想點(diǎn)為最優(yōu)決策點(diǎn)進(jìn)行決策時(shí)，有

證明（1）顯然

根據(jù)式（2）可得

同理可證定理1第（2）條，即式（6）成立。

在判別三角模糊數(shù)間優(yōu)勢關(guān)系的過程中，可以利用定理1直接判定即通過計(jì)算三角模糊數(shù)同理想點(diǎn)的相似度值大小進(jìn)行判定，或者通過比較三角模糊數(shù)小元、特元和大元的指標(biāo)值和大小進(jìn)行判定。

則稱三角模糊數(shù)型決策方案X 與Y 相比占優(yōu)，記為：X?Y。

定理2（1）當(dāng)且僅當(dāng)正理想決策方案為最優(yōu)決策方案進(jìn)行決策時(shí)，有

（2）當(dāng)且僅當(dāng)負(fù)理想決策方案為最優(yōu)決策方案進(jìn)行決策時(shí)，有

同理可證定理2第（2）條，即式（9）成立。

在判別決策方案間優(yōu)勢關(guān)系的過程中，可以利用定理2直接判定即通過計(jì)算決策方案同理想決策方案的相似度大小進(jìn)行判定，或者通過比較決策方案間的三角模糊數(shù)小元、特元和大元的指標(biāo)值序列和大小進(jìn)行判定。

2　三角模糊數(shù)型不確定多指標(biāo)決策的相似規(guī)劃模型

鑒于決策方案之間的各指標(biāo)特征值數(shù)據(jù)總體看來普遍比較平穩(wěn)，浮動(dòng)性較小，相似度也就越大，而相似度越小的指標(biāo)特征值數(shù)據(jù)浮動(dòng)就會(huì)較大，這類指標(biāo)在決策中就應(yīng)著重考慮，因此針對指標(biāo)值為三角模糊數(shù)的不確定多指標(biāo)決策問題，借鑒離差最大賦權(quán)算法［23］的有關(guān)理論，從相似度的角度提出了一種新的基于三角模糊數(shù)相似度關(guān)系的指標(biāo)賦權(quán)規(guī)則：方案按同一指標(biāo)進(jìn)行測度，指標(biāo)值相似度［12，17］越大（即指標(biāo)數(shù)值變化較?。?，該指標(biāo)對方案決策結(jié)果發(fā)生變化的作用越小，應(yīng)賦予相應(yīng)較小的指標(biāo)權(quán)重；特別地，當(dāng)指標(biāo)值相似度達(dá)到最大即等于1（即指標(biāo)數(shù)值無變化）時(shí)，則該指標(biāo)對方案結(jié)果發(fā)生變化將不起任何作用，應(yīng)賦予相應(yīng)指標(biāo)權(quán)重為零；反之，方案按同一指標(biāo)進(jìn)行測度，指標(biāo)值相似度越?。粗笜?biāo)數(shù)值變化較大），該指標(biāo)對方案決策結(jié)果發(fā)生變化的作用越大，在決策中要側(cè)重考慮，應(yīng)賦予相應(yīng)較大的指標(biāo)權(quán)重。從測定決策方案間優(yōu)劣尺度的角度考慮，數(shù)據(jù)變化較大的指標(biāo)是造成決策結(jié)果差異的主要來源和關(guān)鍵因素［17］，從而使得決策信息集結(jié)后決策方案間的相似性差異縮小即各個(gè)決策方案間的差異放大，更加有利于最優(yōu)決策方案的選取和排序。

因此，利用三角模糊數(shù)相似度關(guān)系理論，在規(guī)范三角模糊數(shù)型決策矩陣～R中，對于第j個(gè)指標(biāo)uj，決策方案Xi與其他決策方案的相似度為

于是對于第j個(gè)指標(biāo)uj，所有決策方案與其他決策方案的總相似度為

根據(jù)上述指標(biāo)賦權(quán)思想，且考慮到?jīng)Q策者無偏好情形，權(quán)重向量為w的確定應(yīng)使所有決策指標(biāo)對所有決策方案的總相似度在加權(quán)向量w本身的作用下的加權(quán)和最?。粨Q言之，權(quán)重向量為w的確定應(yīng)使所有決策指標(biāo)對所有決策方案的總相似度之倒數(shù)在加權(quán)向量w本身的作用下的加權(quán)和必然最大。為此，構(gòu)造下列相似規(guī)劃模型（similarity programming model，SPM）

顯然，所有決策方案在同一指標(biāo)測度下的相似度值的總和與該指標(biāo)權(quán)重的度量值成反比關(guān)系。

3　三角模糊數(shù)型不確定多指標(biāo)決策的相似規(guī)劃模型實(shí)施步驟及算例

本文給出的三角模糊數(shù)型不確定多指標(biāo)決策的相似規(guī)劃模型實(shí)施步驟如下：

步驟5利用式（3）分別求出所有決策方案Xi（i=1，2，…，n）與三角模糊數(shù)型正理想決策方案U+*和三角模糊數(shù)型負(fù)理想決策方案U-*的相似度sw（Xi，U+*）和sw（Xi，U-*）。

步驟6為了對決策空間中的決策方案集｛Xi｝（i=1，2，…，n）進(jìn)行排序，很自然地想到?jīng)Q策方案Xi與正理想決策方案的相似度越大越好，與負(fù)理想決策方案的相似度越小越好。但有時(shí)決策方案接近正理想決策方案不一定同時(shí)遠(yuǎn)離負(fù)理想決策方案，文獻(xiàn)［26］正說明了這個(gè)問題。因此本文采用了一個(gè)相對比值Rs（Xi）來表示某一備選決策方案接近正理想決策方案同時(shí)遠(yuǎn)離負(fù)理想決策方案的相對差異程度［26］。

則Rs（X*i）=0，達(dá)到最大值。此時(shí)決策方案X*i最接近正理想決策方案且最遠(yuǎn)離負(fù)理想決策方案。若Rs（Xi）越小，則決策方案Xi偏離正理想決策方案就越遠(yuǎn)，而與負(fù)理想決策方案的偏離越近，從而決策者就越不滿意。于是可以按照相對比值Rs（Xi）從大到小的順序?qū)Q策方案集｛Xi｝進(jìn)行優(yōu)劣排序。若決策方案Xi1優(yōu)于Xi2，記作Xi1?Xi2（i1= 1，2，…，n；i2=1，2，…，n）。

步驟7運(yùn)用式（20）求出所有決策方案Xi與理想決策方案U*的相似度在決策方案集中的相對比值Rs（Xi）（i=1，2，…，n）。然后根據(jù)Rs（Xi）值從大到小的順序?qū)Q策方案集｛Xi｝進(jìn)行排序和擇優(yōu)。

算例1這里采用文獻(xiàn)［18，27］中的干部考核選拔問題案例進(jìn)行分析。假定經(jīng)過統(tǒng)計(jì)處理后確定了5名候選人Xi（i=1，2，…，5），每個(gè)候選人在各指標(biāo)（屬性）下的屬性值是以三角模糊數(shù)形式給出的，具體的直觀數(shù)量化指標(biāo)值如表1所示［18，27］。

表1　直觀測數(shù)量化指標(biāo)

步驟1各項(xiàng)指標(biāo)均為效益型指標(biāo)，故可運(yùn)用式（12）與式（13）將表1中的直觀測數(shù)量化指標(biāo)數(shù)據(jù)建立的三角模糊數(shù)型決策矩陣轉(zhuǎn)化為規(guī)范三角模糊數(shù)型決策矩陣=（j）n×m，規(guī)范化后的決策信息如表2所示。

步驟2將表2中的數(shù)據(jù)代人式（18）可得指標(biāo)權(quán)重向量w如下：

表2　規(guī)范化決策信息表 ×10-1

表3　加權(quán)決策信息表 ×10-2

步驟4根據(jù)定義5求出表3中由正理想點(diǎn)序列構(gòu)成的三角模糊數(shù)型正理想決策方案U+*和由負(fù)理想點(diǎn)序列構(gòu)成的三角模糊數(shù)型負(fù)理想決策方案U-*為

步驟5利用式（3）求各決策方案Xi與理想決策方案U*的相似度sw（Xi，U*）為

步驟6運(yùn)用式（20）計(jì)算出各決策方案Xi與理想決策方案U*的相似度在決策方案集中的相對比值Rs（Xi）為

步驟7根據(jù)Rs（Xi）值從大到小的順序?qū)Q策方案集｛Xi｝（i=1，2，…，5）進(jìn)行排序和擇優(yōu)，得

顯然，X2為最優(yōu)決策方案。

用定理2可求得

則對決策方案集｛Xi｝（i=1，2，…，5）進(jìn)行排序?yàn)?/p>

所以，X2仍為最優(yōu)決策方案。

由此，得出在判別備選決策方案的優(yōu)劣時(shí)，可以直接采用各決策方案與理想決策方案比較的相似度反映在決策方案集中的相對比值Rs（Xi）大小及定理2的結(jié)論進(jìn)行判定，計(jì)算簡潔高效，但主要不足是無法對任意兩個(gè)備選決策方案之間的比較優(yōu)勢度數(shù)值進(jìn)行度量。

本文采用文獻(xiàn)［23］中基于離差最大化的多指標(biāo)決策算法，對上述干部考核選拔問題算例的各個(gè)候選人排序結(jié)果如下：

得到最優(yōu)候選人為X2。

通過上述算例分析可以知道，采用本文給出的基于三角模糊數(shù)相似度關(guān)系的賦權(quán)算法與文獻(xiàn)［23］給出的基于離差最大化的賦權(quán)算法對指標(biāo)權(quán)重的度量值不同，但是二者在判別決策方案的優(yōu)劣過程中，對最優(yōu)方案的判定和排序均未發(fā)生變化，而是得到相同的結(jié)果。

4　結(jié)束語

基于三角模糊數(shù)指標(biāo)值相似度的指標(biāo)權(quán)重度量是本文研究的重點(diǎn)內(nèi)容之一。主要思想是在決策信息數(shù)據(jù)的物理量綱統(tǒng)一后，指標(biāo)值相似度較大（數(shù)值變化較?。┑闹笜?biāo)在決策過程中對決策結(jié)果的影響作用小應(yīng)賦予較小權(quán)重，而指標(biāo)值相似度較小（數(shù)值變化較大）的指標(biāo)在決策過程中對決策結(jié)果的影響作用大，是決策結(jié)果發(fā)生變化的關(guān)鍵，應(yīng)賦予較大權(quán)重。本文利用上述賦權(quán)思想和三角模糊數(shù)相似關(guān)系理論知識(shí)，針對不確定多指標(biāo)決策問題，主要做了如下3個(gè)方面的工作。

（1）根據(jù)三角模糊數(shù)相似度的概念給出了一種新的規(guī)范三角模糊數(shù)相似度和決策方案相似度公式，并構(gòu)造了一種新的相似規(guī)劃模型以此獲得基于三角模糊數(shù)指標(biāo)值相似度的指標(biāo)權(quán)重度量的公式；

（2）給出了三角模糊數(shù)相似關(guān)系理論的一些相關(guān)結(jié)果，推導(dǎo)出三角模糊數(shù)的優(yōu)勢與三角模糊數(shù)同理想點(diǎn)的相似度值大小及三角模糊數(shù)小元、特元和大元的指標(biāo)值和大小之間存在等價(jià)，而各決策方案的優(yōu)勢大小與決策方案同理想決策方案的相似度值大小及決策方案的三角模糊數(shù)小元、特元和大元的指標(biāo)值序列和大小存在等價(jià)；

（3）利用各決策方案與理想決策方案的相似度在決策方案集中的相對比值大小進(jìn)行優(yōu)劣判定和排序，提出了三角模糊數(shù)型不確定多指標(biāo)決策的相似度關(guān)系算法。

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Similarity programming model for triangular fuzzy number-based uncertain multi-attribute decision making and its application

HUANG Zhi-li1，2，LUO Jian1
（1.School of Information Science and Technology，Xiamen University，Xiamen 361005，China；
2.School of Applied Mathematics，Xiamen University of Technology，Xiamen 361024，China）

In view of the triangular fuzzy number-based uncertain multi-attribute decision making problem with unknown attribute weights，firstly，the new definitions of the similarity degree of the regular triangular fuzzy number and decision-making alternative are given，the similarity degree relation theory of the triangular fuzzy number is presented and some related results are obtained.Secondly，learning the idea of maximizing deviations algorithm rules，a similarity programming model is established to determine the attribute weight based on the similarity degree relation of the triangular fuzzy number.Thirdly，the relative ratio of the similarity degree value between decision-making alternative and the ideal standard is utilized to sort and pick over all decisionmaking alternatives，then the algorithm of the similarity degree relation for triangular fuzzy number-based uncertain multiple attribute decision making is presented.Finally，the characters between the maximizing deviation algorithm and the proposed algorithm are compared and analyzed by a numerical example，to illustrate the feasibility and effectiveness of the algorithm.

uncertain multi-attribute decision making；triangular fuzzy number；similarity programming model；attribute weight

TP 182

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.05.20

1001-506X（2016）05-1100-07

2015-06-15；

2015-09-17；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-12-23。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20151223.1118.038.html

國家自然科學(xué)基金（60975052）；福建省重大科技項(xiàng)目（2011 H6027）資助課題

黃智力（1983-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)楣芾砼c決策支持系統(tǒng)的理論與技術(shù)。

E-mail：zhili_huang@hotmail.com

羅鍵（1954-），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向?yàn)樽詣?dòng)化智能信息系統(tǒng)以及系統(tǒng)建模、優(yōu)化與決策。

E-mail：jianluo@xmu.edu.cn