劉 江，張 辰

（1.中國西南電子技術(shù)研究所，成都　610036；2.浙江大學信息與電子工程學院，杭州　310027）

均勻平面陣下的二維DOA估計與互耦自校正*

劉 江**1，張 辰2

（1.中國西南電子技術(shù)研究所，成都610036；2.浙江大學信息與電子工程學院，杭州310027）

針對存在互耦效應(yīng)時均勻平面陣的測向魯棒性問題，提出了一種基于秩損準則的互耦自校正算法。根據(jù)對互耦效應(yīng)的先驗知識，提出的算法只需將受互耦擾動的陣列響應(yīng)在變換域中重新排列，便可在后續(xù)處理中屏蔽掉互耦效應(yīng)的不利影響，同時也避免了現(xiàn)有工作中存在的陣列孔徑損失問題。借助秩損估計原理，在變換域中設(shè)計了一種巧妙的計算步驟，使得方位估計的降維操作得以實現(xiàn)；并且，后續(xù)還可通過特征分解法得到更精確的互耦系數(shù)估計，以進行陣列誤差自校正。與現(xiàn)有的研究工作相比，所提算法無論是在估計精度，還是在計算效率上均有著顯著的性能優(yōu)勢。

均勻平面陣；到達角估計；互耦效應(yīng)；自校正；秩損準則

1　引言

利用天線陣對信源到達角（Direction of Arrival，DOA）進行估計的課題在許多領(lǐng)域得到了廣泛的研究，比如跟蹤雷達、聲吶及移動通信等。在過去的20年中也涌現(xiàn)出一系列高分辨率測向算法［1］，但這些算法的有效性大多依賴于精確已知的陣列流形。然而，實際的天線陣中存在著固有的互耦效應(yīng)，此時理想的陣列流形將不可避免地被未知互耦效應(yīng)所擾動，若不對其加以考慮的話，高分辨率測向算法的性能會嚴重惡化，特別是當陣元間距較小時［2］。因此，國內(nèi)外學者針對互耦效應(yīng)的校正問題展開了深入的研究［3］。由于互耦效應(yīng)會隨著時間緩慢變化，能在線估計信源方位和互耦系數(shù)的自校正算法近年來喚起了學者們的研究興趣。例如：文獻［4-5］主要研究了迭代類自校正算法，但是迭代處理是很耗時的，且全局收斂性也無法保證；此外，另一類不需要迭代的自校正算法在文獻［6-7］中被提出來。但是，上述文獻研究的都是均勻線陣或圓陣下的一維DOA估計問題，而對于互耦誤差條件下的二維DOA估計問題，目前的研究還不是很充足。

在所有可能的陣列配置中，平面陣由于可以在三維空間中進行更靈活的波束掃描，使得目標測向時的聯(lián)合方位/俯仰角估計成為可能，因此非常適合應(yīng)用在移動通信中。然而，平面陣中的互耦效應(yīng)要比線陣和圓陣更加復(fù)雜，而關(guān)于均勻平面陣下的測向和互耦自校正問題，現(xiàn)有的研究工作卻十分有限。為了消除互耦效應(yīng)的影響，文獻［8］將平面陣的外圍邊界陣元設(shè)為輔助陣元，僅利用處于一致耦合環(huán)境下中間子陣的輸出響應(yīng)進行處理，此時標準二維多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法可直接應(yīng)用。但這種方法存在著明顯的陣列孔徑損失，且算法中涉及的二維譜峰搜索計算效率也很低?？紤]到上述問題，我們認識到平面陣下的測向、互耦校正精度以及計算效率還可進一步提升。

秩損估計器最初是針對部分校正陣列下的一維方位估計問題設(shè)計的［9］，它可以將未知的陣列擾動與陣列流形中已校正的部分巧妙地分離開。在本文中，我們將秩損估計準則擴展到二維場景，并通過變換域處理，提出一種高效魯棒的互耦自校正算法，可獲得更準確的信源方位和互耦系數(shù)估計值，便于進行更精準的互耦誤差校正。

2　信號模型和問題描述

2.1理想信號測向模型

如圖1所示，考慮一個放置在xy平面上的、由M×N個相似元組成的均勻平面陣，其x、y軸方向上的陣元間距分別為dx和dy，不考慮陣元間的互耦效應(yīng)，則對應(yīng)（θ，φ）信源方向上的理想導(dǎo)向矢量為

式中：?為Kronecker積；θ∈［0，2π）和φ∈［0，π/2）分別是方位角和俯仰角。并且有

式中：上標T代表轉(zhuǎn)置；α=ej2π/λdxcosθsinφ；β= ej2π/λdysinθsinφ；λ表示信號的載波波長。考慮K個遠場窄帶信號分別從未知方向｛θk，φk｝Kk=1入射到平面陣上，那么陣列輸出響應(yīng)可被建模為

式中：x（t）∈CCMN×1為陣列響應(yīng)沿x軸方向按列堆棧而成的矢量；s（t）∈CCK×1為相互獨立的源信號矢量；n（t）∈CCMN×1是不相關(guān)的采樣噪聲矢量，均值為零，方差為σ2n；而A=［a（θ1，φ1），a（θ2，φ2），…，a（θK，φK）］∈CCMN×K代表理想的陣列響應(yīng)矩陣。

圖1　由各向同性陣元構(gòu)成的均勻平面陣示意圖Fig.1 Schematic diagram of uniform planar array composed of isotropic matrix elements

2.2均勻平面陣下的互耦模型

式（3）所表示的無互耦信號模型僅在理想條件下是成立的。在實際天線陣中，每個陣元不僅會收到自由空間中的直接入射波成分，同時也會收到互耦效應(yīng)所導(dǎo)致的鄰近陣元上的二次輻射分量。因此，各陣元的實際輸出信號是空間中的直接入射波響應(yīng)分量與鄰近陣元耦合過來的寄生分量的疊加。這時，式（3）應(yīng)修正為

式中：C∈CCMN×MN代表互耦矩陣，矩陣中的元素表示了不同陣元間的耦合程度。針對簡單的陣列配置，比如均勻線陣和圓陣，許多相關(guān)文獻已經(jīng)建立了對應(yīng)的互耦模型［4-7］。而相比以上兩種簡單配置，平面陣涉及的互耦特征較為復(fù)雜，我們需關(guān)注的首要問題就是如何通過互耦矩陣C對其表征的互耦效應(yīng)進行建模，下面給出一個完善的建模過程及模型描述。

如圖1所示，均勻平面陣可看作是由N個沿x軸方向平行放置的直線陣所構(gòu)成。因此，互耦效應(yīng)不僅存在于每個子陣的陣元之間，而且也存在于不同子陣之間。根據(jù)均勻平面陣的對稱結(jié)構(gòu)以及互易原理，在一般意義上，互耦矩陣C可表示為

實際中，兩陣元間的耦合強度會隨著距離的增加迅速衰減，而相距較遠的兩陣元間互耦作用已不太明顯，以至于可以忽略?；谶@個事實，耦合向量cn中會存在一些零元素。對于均勻平面陣，我們考慮每個陣元最多與位于其四周第1，2，…，P-1個矩形網(wǎng)格上的陣元存在著耦合作用，而P＞2意味著陣元間存在著較強的互耦作用。為了避免空域混疊，假設(shè)橫縱向的陣元間距均為半個波長，根據(jù)以上分析，此時的耦合向量cn可以記為

此時，陣列輸出的協(xié)方差矩陣可以表示為

式中：上標H代表共軛轉(zhuǎn)置；E｛·｝表示期望運算符；Rs=E｛s（t）sH（t）｝為信源協(xié)方差矩陣；而I是一個單位矩陣?？紤]接收到L個可利用的陣列快拍｛x（t）｝Lt=1，由于這些陣列采樣值均被互耦效應(yīng)所擾亂，在此我們關(guān)心的問題是如何利用這些有限的陣列快拍估計出所有信源的二維方位｛θk，φk｝Kk=1，并同時估計出未知的互耦矩陣以據(jù)此進行互耦校正。

3　基于秩損估計的互耦自校正算法

當互耦矩陣C精確已知時，大部分傳統(tǒng)的基于子空間原理的測向算法經(jīng)過修正后均可有效地工作?；镜?，只需要使用等效陣列響應(yīng)CA來代替理想陣列響應(yīng)A即可。因此，互耦矩陣已知時的測向問題與通常的情況并沒有區(qū)別。然而，在互耦矩陣未知的情況下，上述方法便無法實施。在這一節(jié)中，我們將提出一種基于秩損原理的盲估計算法來解決這個問題。

3.1未知互耦效應(yīng)下的2-D DOA盲估計

首先，我們?nèi)曰趶V泛使用的子空間原理來展開討論。通過對協(xié)方差矩陣Rx進行特征分解，我們將其中MN-K個較小特征值對應(yīng)的特征向量所構(gòu)成的矩陣記為En，而其余的特征向量所構(gòu)成的矩陣被記為Es。由標準的子空間正交性可知，等效陣列響應(yīng)CA與Es張成的信號子空間是相同的，并且與En所張成的噪聲子空間是正交的，因此有

雖然上式中的C并不是精確已知的，但我們借助變換域處理，可巧妙地將二維DOA估計和互耦校正問題分離開。為此，首先需進行如下的參數(shù)變換：

則式（2）給出的ax（θ，φ）和ay（θ，φ）可重新寫為

注意到當φ∈［0，π/2）時，參數(shù)對（μ，v）?（θ，φ）之間存在著唯一的映射關(guān)系，因此成對的方位/俯仰角可以從（μ，v）域中無模糊地恢復(fù)出來，并且通過映射，我們還可在（μ，v）域?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)的降維處理。在給出后續(xù)處理步驟之前先介紹如下的一個引理［4］。

引理1:對于任意一個M×M維的帶狀對稱Toeplitz矩陣A以及M×1維的列向量x，如下的變換關(guān)系式是成立的：

式中：P×1維的列向量a由ai=A1i（i=1，2，…，P）給出；P為矩陣A的首行非零元素數(shù)目。而M×P維的矩陣Q（x）由如下兩部分所構(gòu)成：

式中：［·］ij代表矩陣的第（i，j）個元素。

注意到式（5）中的互耦矩陣C具有分塊對稱的Toeplitz結(jié)構(gòu)，因此等效導(dǎo)向矢量Ca（μ，v）可寫為

式中：ayn表示ay（v）的第n個元素。接下來，我們定義矢量，并運用引理1可得

式中：矩陣Qy（v）∈CCN×P和Qx（μ）∈CCM×P具有相似的結(jié)構(gòu)。注意到此時的向量包含了所有未知的互耦系數(shù)，并且陣列導(dǎo)向矢量僅在式（18）中進行了重新排列，涉及到了平面陣中的所有陣元，因此避免了陣列孔徑損失。然后將式（18）代入到式（8）中，可得

利用Kronecker積的性質(zhì)，有

因此，式（19）可以重新寫為

式中：G（vk）∈CCMP×MP定義為

觀察式（21），可以發(fā)現(xiàn)一個很重要的特征，即G（vk）是獨立于互耦向量的，這使得我們可以借助秩損估計思想［9］，并將其擴展到二維場景下，以應(yīng)用到上述問題的求解中。根據(jù)秩損估計原理，若秩損條件MN-K≥MP滿足，那么一般情況下，矩陣G（v）是滿秩的，因為此時矩陣En的列秩是不小于MP的。由于，則等式（21）僅在矩陣G（vk）缺秩的時候才成立，或者等價地當

時才成立，其中det｛·｝代表矩陣行列式。

來代替G（v），并且上述G（vk）的秩損特性在漸進意義上是成立的，即當v的取值與真實值一致時，矩陣（v）的行列式才會取得一個最小值。因此，我們可以構(gòu)造如下一個譜函數(shù)：

然后基于上式進行一維譜峰搜索，便可從函數(shù)g（v）的K個最高峰值處估計出所有的參量。

接下來，為了將秩損估計準則擴展到二維場景下，我們首先需定義一個P2×P2維矩陣，表示如下：

從這個角度來看，（μ，v）域上的譜峰搜索等價于（θ，φ）域上的譜峰搜索。然而需要強調(diào)的是，我們在所提出的算法中巧妙地利用了變換關(guān)系式（9）和式（28），這對簡化整個解耦合方案是十分關(guān)鍵的。

3.2互耦系數(shù)估計

的零特征值所對應(yīng)的特征向量。在秩損條件滿足的情況下，可以證明矩陣F（μk，vk）是秩缺一的，這意味著對應(yīng)于其零特征值的線性無關(guān)的特征向量僅有一個。因此，利用已估計出的所有參數(shù)組，我們可以構(gòu)造如下一個解耦合矩陣：

并將T的最小特征值對應(yīng)的特征向量記為emin。由于互耦向量的第一個元素（即自耦項）取值為1，那么所有未知的耦合系數(shù)可以由

3.3算法復(fù)雜度分析

對于二維平面陣的互耦校正問題，基于子空間原理的譜搜索方法是目前的一個主要解決途徑，而這類算法的計算復(fù)雜度主要由譜搜索過程中的運算量決定的。因此，我們通過統(tǒng)計在譜搜索過程中需要的復(fù)數(shù)乘法總數(shù)，將所提算法和文獻［8］中輔助陣元法的計算復(fù)雜度進行一個對比。考慮以上兩種算法均在（μ，v）域以同樣的步長進行搜索，且每一維的搜索總點數(shù)記為n，那么輔助陣元法直接進行二維譜峰搜索時需要的復(fù)數(shù)乘法總數(shù)為

可見其復(fù)雜度隨n呈平方級增長。由3.1節(jié)的內(nèi)容可知，我們所提算法的搜索步驟分為兩步：

綜合以上兩步操作，我們提出的算法在譜搜索運算過程中需要的復(fù)數(shù)乘法總數(shù)為n（PM3N2-PM2NK+M3P3）+nK（N2P4+P6），其復(fù)雜度隨n是線性增長的。在高分辨率應(yīng)用中通常需要進行精細的網(wǎng)格搜索以保證較高的估計精度，此時每一維的搜索點數(shù)是很大的，而所提算法由于使用了降維操作，避免了直接的二維搜索，使得計算效率大幅提升。

4　仿真結(jié)果與分析

在這一節(jié)中，我們將通過一系列的仿真實驗來驗證評估所提算法的性能。考慮空間中存在4個不相關(guān)的等功率信號源，對應(yīng)的來波信號分別從（28°，41°）、（40°，20°）、（54°，66°）、（74°，35°）方向入射到平面陣上。假設(shè)平面陣中每個陣元僅和位于其四周的8個相鄰陣元存在著耦合作用（即P=2），耦合系數(shù)向量設(shè)為且在n＞2時，有cn=0M×1。同時，上述仿真參數(shù)的設(shè)定和文獻［8］也是保持一致的。我們將均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）作為指標來衡量算法的估計性能［8］。在后續(xù)仿真中，若無特別說明，接收的陣列快拍數(shù)均為500，蒙特卡洛仿真次數(shù)為1 000。

首先，我們在7×7維的平面陣規(guī)模下評估所提算法的測向性能。為了便于對比，文獻［8］中的輔助陣元法也在等效的（μ，v）域中實現(xiàn)。圖2給出了不同算法下2-D DOA估計的RMSE隨信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）的變化曲線，其中還給出了估計誤差的Cramér-Rao Bound（CRB）作為算法性能的衡量基準［8］。

圖2　2-D DOA估計的RMSE隨SNR的變化曲線Fig.2 RMSE curves of DOA estimation versus SNR

由圖2可看出，正如預(yù)期的，在未知互耦效應(yīng)的影響下，標準的2-D MUSIC算法已經(jīng)失效，此時即使增加信噪比，方位估計性能也沒有改善，而前述兩種自校正算法均可有效工作。不僅如此，我們所提算法的方位估計性能將更加接近CRB，在整個SNR觀測區(qū)間均優(yōu)于輔助陣元法約5 dB，初步證明了所提算法在方位估計性能上的優(yōu)越性。

接下來，我們通過改變陣元總數(shù)來繼續(xù)考察兩種自校正算法在不同陣列規(guī)模下的估計性能。圖3給出了當信噪比為5 dB時2-D DOA估計的RMSE隨陣列規(guī)模（M=N）的變化曲線。如圖所示，與現(xiàn)有的輔助陣元法相比，我們提出的算法在不同陣列規(guī)模下仍保持著較高的估計精度。注意到這兩種自校正算法的性能差距會隨著陣列規(guī)模的增大而縮小。這是容易解釋的，因為當陣列規(guī)模增大時，輔助陣元法中涉及的陣列孔徑損失會相對變小，因此導(dǎo)致了估計性能的有限程度退化。同樣需強調(diào)的是，當陣列中存在較強的互耦效應(yīng)時（即P＞2），輔助陣元法與所提算法間的性能差距會進一步擴大，因為前者將使用更多的輔助陣元，孔徑損失隨之增大。

圖3　2-D DOA估計的RMSE隨天線數(shù)的變化曲線Fig.3 RMSE curves of DOA estimation versus the array size

最后，我們直接在14×14維較大的平面陣規(guī)模下，來對比評估這兩種自校正算法的互耦估計性能。圖4給出了互耦系數(shù)估計的相對RMSE隨SNR的變化曲線。即使此時采用了較大規(guī)模的陣列，輔助陣元法的互耦估計精度仍然在較寬的低信噪比范圍內(nèi)明顯低于我們所提的算法。類似的仿真現(xiàn)象在較小的陣列規(guī)模下也可觀測到，這主要是由于輔助陣元法在估計互耦系數(shù)時采用的是最小二乘估計，而最小二乘法固有的估計精度在低信噪比下總是表現(xiàn)較差。此外，隨著信噪比的進一步增加，可以發(fā)現(xiàn)以上兩種算法的互耦估計性能均能漸進達到CRB。

圖4　互耦估計的相對RMSE隨SNR的變化曲線Fig.4 Relative RMSE curves of coupling estimation versus SNR

5　結(jié)論

本文針對均勻平面陣的二維測向問題，提出了一種基于秩損估計的互耦自校正算法。利用對互耦效應(yīng)的先驗知識，算法只需將受擾動的陣列響應(yīng)在變換域中重新排列，便可避免傳統(tǒng)算法由于陣列孔徑損失所導(dǎo)致的估計精度降低問題。通過將秩損準則擴展到二維場景中，在變換域中設(shè)計了一種計算步驟，使得方位估計的降維操作得以實現(xiàn)，計算效率大大提升。并且，在估計互耦系數(shù)時采用了特征分解估計，低信噪比下的校正精度得到了明顯的提升。

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劉 江（1968—），男，河北保定人，1989年于電子科技大學獲圖像傳輸與處理專業(yè)學士學位，現(xiàn)為高級工程師，主要從事航空電子系統(tǒng)技術(shù)和通用測試技術(shù)研究；

LIU Jiang was born in Baoding，Hebei Province，in 1968.He received the B.S.degree from University of Electronic Science and Technology of China in 1989.He is now a senior engineer.His research concerns avionics and general test technology.

Email：lj_6370@189.cn

張 辰（1990—），男，河南南陽人，2013年于西安電子科技大學獲通信工程專業(yè)學士學位，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向為陣列誤差校正、多天線信號處理技術(shù)。

ZHANG Chen was born in Nanyang，Henan Province，in 1990.He received the B.S.degree from Xidian University in 2013.He is now a graduate student.His research concerns array error calibration and multi-antenna signal processing techniques.

2-D DOA Estimation and Mutual Coupling Self-calibration for Uniform Planar Arrays

LIU Jiang1，ZHANG Chen2
（1.Southwest China Institute of Electronic Technology，Chengdu 610036，China；
2.College of Information Science&Electronic Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

For the robustness problem of direction finding algorithm using uniform planar arrays under mutual coupling，a rank reduction based self-calibration algorithm is proposed.Based on the priori knowledge of mutual coupling，the perturbed array response is just rearranged in the transform domain，thus being able to mask the adverse effect of mutual coupling，and avoid the aperture loss as well.Then according to the rank reduction criteria，the reduced-dimension processing is performed by applying suitably designed estimation procedure.Moreover，an accurate estimation of coupling coefficients can also be acquired for array calibration by eigen decomposition.Compared with the existing method，the proposed algorithm is more numerically efficient with improved accuracy.

uniform planar arrays；direction of arrival estimation；mutual coupling；self-calibration；rank reduction criteria

TN971

A

1001-893X（2016）04-0377-06

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.04.005

劉江，張辰.均勻平面陣下的二維DOA估計與互耦自校正［J］.電訊技術(shù)，2016，56（4）：377-382.［LIU Jiang，ZHANG Chen.2-D DOA estimation and mutual coupling self-calibration for uniform planar arrays［J］.Telecommunication Engineering，2016，56（4）：377-382.］

2016-02-25；

2016-04-13 Received date:2016-02-25；Revised date:2016-04-13

**通信作者:lj_6370@189.cn Corresponding author：lj_6370@189.cn