尹 俠 潘小明 曾小平

（1.余慶縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)， 貴州 余慶 564400；2.寶山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院， 上海 201900；3.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院， 北京 100048）

“應(yīng)用數(shù)對確定位置”學(xué)習(xí)體驗(yàn)案例探討

尹 俠1潘小明2曾小平3

（1.余慶縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)， 貴州 余慶 564400；2.寶山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院， 上海 201900；3.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院， 北京 100048）

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，借助數(shù)形結(jié)合的思想，經(jīng)歷確定點(diǎn)的位置的探究過程。學(xué)生以一維“數(shù)射線”上確定點(diǎn)的位置為基礎(chǔ)，拓展到二維平面確定點(diǎn)的位置，經(jīng)歷了直角坐標(biāo)系的再發(fā)現(xiàn)過程。

數(shù)學(xué)化；學(xué)習(xí)體驗(yàn)；直角坐標(biāo)系

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)內(nèi)容

人教版數(shù)學(xué)五年級上冊第19頁：應(yīng)用數(shù)對確定物體（點(diǎn)）的位置。

2.教學(xué)目標(biāo)

（1）結(jié)合具體情境，幫助學(xué)生掌握應(yīng)用數(shù)對確定物體（點(diǎn)）的位置；

（2）讓學(xué)生經(jīng)歷從“帶刻度的射線”（一維空間）用“數(shù)”確定點(diǎn)的位置到探索平面（二維空間）上用“數(shù)對”確定物體（點(diǎn)）位置的發(fā)現(xiàn)過程，初步感知直角坐標(biāo)系的形成過程。

核心素養(yǎng)：數(shù)形結(jié)合思想。

3.重、難點(diǎn)與核心問題

重點(diǎn)：根據(jù)具體情境，應(yīng)用數(shù)對確定點(diǎn)的位置。

難點(diǎn)：理解位置（點(diǎn)）與數(shù)對表示的有序性、對應(yīng)性、唯一性。

核心問題：怎樣在平面上確定點(diǎn)的位置？

4.教學(xué)設(shè)計(jì)思路

學(xué)生經(jīng)歷從一維空間到二位空間確定位置的探究活動(dòng)過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考與數(shù)形結(jié)合的魅力。利用學(xué)生已有的生活體驗(yàn)和知識基礎(chǔ)，引入在一維的數(shù)射線上用一個(gè)“數(shù)”可確定點(diǎn)的位置——在二維平面用一個(gè)“數(shù)對”確定點(diǎn)的位置（正整數(shù)，第一象限）——初步建構(gòu)平面直角坐標(biāo)系——初步感悟在平面直角坐標(biāo)系中四個(gè)象限中的點(diǎn)可用數(shù)對表示的有序性、唯一性。

二、教學(xué)過程

1.片段一：確定課題，提問質(zhì)疑

教師直接出示課題：確定位置。

師：看到這課題，你想提出什么問題？

生：什么是確定位置？

生：怎樣確定位置呀？

生：位置在哪里呀？

生：確定什么的位置？

生：確定位置以后，能對我們有什么幫助？

生：為什么要確定位置？

評析：美國教育家布魯巴克認(rèn)為：“最精湛的教學(xué)藝術(shù)，遵循的最高準(zhǔn)則，就是學(xué)生自己提出問題?！苯處熞龑?dǎo)學(xué)生提出問題、梳理、歸類問題，既培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，又可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[2]。

2.片斷二：抓準(zhǔn)核心，問題聚焦

師：確定誰的位置呢？

教師課件出示數(shù)射線，逐一出示下面各點(diǎn)（如圖1），學(xué)生嘗試用數(shù)確定各點(diǎn)的位置。

圖1

在學(xué)生分別用數(shù)1、1.5、4、7 等表示出各點(diǎn)位置后，追問——

師：還要繼續(xù)下去嗎？

生1：不要了。因?yàn)槿我饨o出一個(gè)點(diǎn)，都可用1個(gè)數(shù)來確定它的位置。

師：任意一個(gè)點(diǎn)，都可用1個(gè)數(shù)來表示出它的位置。是嗎？

生2：那如果不在數(shù)射線上的點(diǎn)，位置該怎么確定呢？

結(jié)合生2所提問題，教師在數(shù)射線的上面給出一個(gè)點(diǎn)（如圖2）。

（圖 2）

評析：數(shù)射線上點(diǎn)的位置用1個(gè)數(shù)來表示，這是學(xué)生已知的；平面內(nèi)點(diǎn)的位置怎樣用數(shù)來表示，這是學(xué)生未知的。從確定數(shù)射線上點(diǎn)的位置到確定平面上點(diǎn)的位置，原有的方法不能解決當(dāng)前的問題，需要實(shí)現(xiàn)由一維空間向二維空間思維的突破，創(chuàng)造出新的方法——用平面直角坐標(biāo)系來確定點(diǎn)的位置。對于學(xué)生認(rèn)知實(shí)際，是一個(gè)觸及數(shù)學(xué)知識本質(zhì)且極具挑戰(zhàn)、富有創(chuàng)造的真問題，是本節(jié)課的核心問題。教師通過追問學(xué)生“還要繼續(xù)下去嗎？”引發(fā)學(xué)生深入思考。在學(xué)生想來，任意給出一個(gè)點(diǎn)都可以用1個(gè)數(shù)來確定它的位置，正是“任意”一詞，又讓學(xué)生展開聯(lián)想和空間想象，提出“如果不在數(shù)射線上的點(diǎn)，位置該怎么確定呢？”激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究如何確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置。

師：如何確定數(shù)射線上面這個(gè)點(diǎn)的位置呢？

生1：可以用數(shù)4來確定。

師：同意的，舉手——

許多學(xué)生舉手。

師：理由呢？

生1：可以用直尺對著點(diǎn)的位置，看看是不是與4 對齊。

師：因?yàn)檫@點(diǎn)與4對齊，所以它的位置也可以用數(shù)4來表示。這種想法，大家有不同意見嗎？

生2：我覺得，畢竟是兩個(gè)不同位置的點(diǎn)，不能用同一個(gè)數(shù)來表示。

生3：如果這個(gè)點(diǎn)也用數(shù)4來表示，那4到底是指哪個(gè)點(diǎn)呢？

生1：那這個(gè)點(diǎn)的位置怎么確定呢？

生4：在4的上面。

師：哎，這樣就與下面的點(diǎn)區(qū)分開來了。

生5：在4的上面到底是幾呀？

師：你為什么要問“在4的上面到底是幾”？

生5：因?yàn)樗皇钦f在4的上面，而沒有說上面是幾。

師：這“上面是幾”，是指離開4這個(gè)點(diǎn)的距離嗎？

生 5：是。

師：如果不說清楚這個(gè)距離，會(huì)怎么樣？

生5：如果4的上面有兩個(gè)點(diǎn)呢？

師： 噢，原來只說“ 在4的上面”，還是沒法把這個(gè)點(diǎn)確定下來。

結(jié)合回答，教師出示圖3。

圖3

師：因此，剛才有人說了，還要知道在4上面的——

生：距離。

師：對呀，知道了這個(gè)距離，那就可以確定點(diǎn)的位置了。

評析：學(xué)生總是基于已有的知識經(jīng)驗(yàn)去嘗試解決新問題。數(shù)射線上面一點(diǎn)的位置，學(xué)生也試圖用1個(gè)數(shù)來確定：這個(gè)數(shù)就應(yīng)該是該點(diǎn)正對著的數(shù)射線上的那個(gè)數(shù)，絕大多數(shù)學(xué)生都同意“4”。也正是這個(gè)“4”，引發(fā)了學(xué)生“質(zhì)疑——探究——再質(zhì)疑——再探究”：這個(gè)點(diǎn)也用4表示，4到底表示哪個(gè)點(diǎn)？“在4的上面”，4的上面如果有兩個(gè)點(diǎn)呢？應(yīng)該知道在4的上面的距離，怎樣才能知道這個(gè)距離？通過學(xué)生自我質(zhì)疑，平面上點(diǎn)的位置必須由橫向和縱向兩條數(shù)射線上的數(shù)來確定的思想，在學(xué)生的頭腦中逐漸形成。這種思想，比起直接應(yīng)用數(shù)對來確定的操作方法，更有價(jià)值。

師：誰有辦法找出這個(gè)距離？

生1：用尺子去量一量。

師出示圖4。

圖4

師：這段距離是1?，F(xiàn)在，這個(gè)點(diǎn)的位置可以怎么說？

生1：在4的上面1的地方。

師：（指著4上面第二個(gè)點(diǎn)）“在4的上面1的地方”，人家會(huì)不會(huì)說是這個(gè)點(diǎn)呢？

生：不會(huì)。

師：那要確定這個(gè)點(diǎn)的位置，怎么辦？

生：量。

師：如果上面還有點(diǎn)呢？

生：再量。

師：你們的學(xué)習(xí)態(tài)度很好，不斷地量下去，是嗎？有沒有更巧妙一點(diǎn)的辦法？

生2：只要說4上面第幾個(gè)。

師：如果點(diǎn)的個(gè)數(shù)有許多個(gè)，要數(shù)出第幾個(gè)也是很麻煩的。

生3：可以用一把長的尺，固定在上面。

師：這樣確實(shí)能解決問題，但總不能把尺一直放在上面吧。

生4：在4這里豎著向上畫一條數(shù)射線。

師出示圖5。

（圖 5）

師：（指著點(diǎn)）這點(diǎn)的位置是——

生4：在4上面3的地方。

師：（指著上圖）這條縱向的數(shù)射線畫在這兒，好嗎？

生：好。

師：肯定？

生5：（指著數(shù)射線上除4之外的數(shù)）如果點(diǎn)在這些數(shù)的上面，怎么辦？

師：那就向上再畫幾條數(shù)射線，是嗎？

生6：不是。

師：為什么？

生6：畫一條就夠了，只要橫著對過來看一看就行了。

生7：畫在0那里簡便一點(diǎn)，那樣看得清楚。

師：小朋友們在考慮看得清楚，而我首先在思考是否正確。這樣畫縱向數(shù)射線，正確嗎？

沉默。漸漸地，有學(xué)生舉手。

生8：縱向數(shù)射線的起點(diǎn)是從4開始的，變成4—1—2—3—4—5……也應(yīng)該從0開始。

師：對呀，起點(diǎn)是0。數(shù)射線是從0開始， 接著是1、2、3、4等這樣等距離地畫下去……

師出示圖6：

（圖6）

評析：從多數(shù)學(xué)生的理解來看，畫出縱向數(shù)射線就能知道向上的距離，也就能確定點(diǎn)的位置。因此，教師以“這條縱向的數(shù)射線畫在這兒，好嗎？”的提問，學(xué)生的回答自然說好。而平面直角坐標(biāo)系是由平面上兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸構(gòu)成，學(xué)生想的“好”顯然有問題，但學(xué)生又很難自己發(fā)現(xiàn)。此時(shí)，教師對“數(shù)射線的起點(diǎn)在哪里”的提問，引發(fā)學(xué)生思考：縱向數(shù)射線上的刻度（4—1—2—3—4—5……）有問題，應(yīng)將數(shù)射線由橫軸上的4處移到0處，使橫向、縱向數(shù)射線的起點(diǎn)重合。

3.片斷三：抽象建模，發(fā)展思維

師：現(xiàn)在，將屏幕上的這個(gè)點(diǎn)，在方格圖上畫出來（師出示圖7）。

圖7

師：能清楚地看出點(diǎn)A的位置在哪里嗎？

生1：4上面1的地方。

師：4上面1的地方，這句話的確能把這點(diǎn)的位置給確定。但是，數(shù)學(xué)語言是非常簡潔的。

生 2：橫 4 縱 1。

師：能再簡單些嗎？

生 3：4，1。

師：對！還要加括號。讀作：數(shù)對四一。

板書：（4，1）。

師：除用數(shù)對（4，1）表示外，你覺得還能怎樣表示？

生 3：數(shù)對（1，4）。

板書：（1，4）。

師：你是怎么想的？

生3：先看縱軸對的是1，再看橫軸對的是4，所以是數(shù)對（1，4）。

師：可以嗎？

生：可以。

師：兩種寫法都可以，是嗎？

學(xué)生小組討論后……

生4：那點(diǎn)B怎么用數(shù)對表示？也是（4，1）或（1，4）都可以嗎？這樣，到底指點(diǎn)A還是點(diǎn)B呢？

師：問得好！為了防止混淆、確保唯一，用數(shù)對確定位置必須有個(gè)次序。數(shù)學(xué)上已經(jīng)作了明確的規(guī)定——先橫后縱。

師：點(diǎn)A的位置是——

生 5：數(shù)對（4，1）。

師：點(diǎn)B的位置是——

生 5：數(shù)對（1，4）。

（評析：“點(diǎn) A 的位置，除用數(shù)對（4，1）表示外，你覺得還能怎樣表示？”教師這是明知故問：明知只有一種表示方法卻問還能怎樣表示。為什么？因?yàn)橛行W(xué)生想來，數(shù)對（4，1）是按先看橫軸后看縱軸上的數(shù)記下的，當(dāng)然也可以按照先看縱軸后看橫軸上的數(shù)記下，表示的是同一個(gè)點(diǎn)。所以，兩種方法都可以。學(xué)生的這一想法，潛藏著思維上的一個(gè)“漏洞”。教師的明知故問，問出了學(xué)生思維上的“漏洞”，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題提供了機(jī)會(huì)。通過用事實(shí)質(zhì)疑，學(xué)生更深刻地體會(huì)到有序數(shù)對確定位置的唯一性。）

之后，學(xué)生根據(jù)給出的數(shù)對（5，3）、（3，5）、（0，5），很快表示出這些點(diǎn)的位置。教師出示了（x，4）。學(xué)生被難住了。漸漸地，學(xué)生小聲地交流著。終于，有學(xué)生走上前來。

生 1：（0，4）、（1，4）、（2，4）、（3，4）、（4，4）、（5，4）等點(diǎn)都有可能。

師：為什么呀？

生1：因?yàn)閤可以表示任何一個(gè)數(shù)。

師：[指著（1.5，4）]這地方的點(diǎn)可以嗎？

生1：可以。

師：x 既然表示任何一個(gè)數(shù)，那這條線上的任何一點(diǎn)都有可能。如果規(guī)定x 表示整數(shù)， 有可能的點(diǎn)一共有幾個(gè)？

學(xué)生齊答：共有11個(gè)點(diǎn)。

生2：不止，因?yàn)閿?shù)射線可以無限延長。

接著，在屏幕的右上角顯示出一點(diǎn)（如圖8）。

圖8

師：有辦法確定它的位置嗎？

生1：把方格畫出去，總能確定它的位置。

師：看來，平面上的任何一點(diǎn)，我們都可以用數(shù)對來確定它的位置。誰有辦法給一個(gè)點(diǎn)，人家沒辦法表示的？

生1：可以把這個(gè)點(diǎn)畫在0的后面。

師：你們知道它想畫在哪里嗎？

這時(shí)，在屏幕的左下角出現(xiàn)一點(diǎn)。

師：這地方的點(diǎn)的位置，你能確定嗎？

生1：格子畫大一點(diǎn)。

師：你把格子畫大點(diǎn)，我就把點(diǎn)再放下一點(diǎn)，怎么辦？

生2：延長。

該生在屏幕上進(jìn)行延長的演示，想到用負(fù)數(shù)來確定（屏幕顯示圖9）。

圖9

師：現(xiàn)在，還有哪個(gè)位置的點(diǎn)不能用數(shù)對來確定？

教師故意指在這兒（第二象限）、那兒（第四象限）的點(diǎn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)都可以用數(shù)對來確定它們的位置。

師：你真了不起！經(jīng)你這么一延長， 平面內(nèi)任何一點(diǎn)的位置都可以用數(shù)對來確定了。你叫什么名字？

生：楊某某。

師：不是吧？我記得發(fā)明這種方法的人叫———笛卡兒。

此時(shí)，屏幕出示“笛卡兒平面直角坐標(biāo)系”的介紹。學(xué)生會(huì)意地笑著。

教師接著出示教材練習(xí)圖，學(xué)生很快完成。

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生回應(yīng)課開始時(shí)提出的三個(gè)問題，（前面未突出這三個(gè)問題?。┎⒏嬖V學(xué)生：用數(shù)對確定位置，不僅可以解決生活中諸如公園景點(diǎn)位置的確定等問題，更重要的價(jià)值是為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

三、學(xué)習(xí)體驗(yàn)

1.拓展教材空間，促進(jìn)學(xué)生思維飛躍

如果說教材編寫中以“座位”作為數(shù)對教學(xué)普遍采用的“通識”情境，僅以“先橫后縱”表示“數(shù)對”在形式上完成思維淺顯的教學(xué)，并未達(dá)到在學(xué)生思維深處建立“直角坐標(biāo)”這一數(shù)學(xué)本質(zhì)。因此，以切合學(xué)生認(rèn)知實(shí)際的一維的數(shù)射線作為數(shù)學(xué)“生活化”情境，自然過渡的二維平面“數(shù)學(xué)化”的“真情境”，樸素而有深度，將數(shù)對確定位置（點(diǎn)）的有序性、對應(yīng)性、唯一性，學(xué)生在經(jīng)歷這一數(shù)學(xué)知識“再發(fā)現(xiàn)”過程中留下深刻的個(gè)性體驗(yàn)。數(shù)學(xué)生活化不僅包含著“生活化”，還包含著“數(shù)學(xué)化”，數(shù)學(xué)生活化的教學(xué)不僅讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)有用，而且學(xué)生通過現(xiàn)實(shí)問題的“水平數(shù)學(xué)化”和“垂直數(shù)學(xué)化”過程[1]，從“一維”到“二維”空間確定位置，這是思維的飛躍，既可讓學(xué)生深切感悟數(shù)學(xué)的思想和方法，又讓學(xué)生在探究中促進(jìn)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

2.聚焦核心問題，促進(jìn)探究能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)“情境一問題”教學(xué)模式實(shí)踐研究認(rèn)為：設(shè)置數(shù)學(xué)情境是前提，提出數(shù)學(xué)問題是核心，解決數(shù)學(xué)問題是目標(biāo)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識是歸宿[2]。每節(jié)課教學(xué)，應(yīng)圍繞課時(shí)核心問題展開。課時(shí)核心問題是基于課時(shí)核心知識和學(xué)生認(rèn)知水平、關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)、統(tǒng)領(lǐng)課堂教學(xué)的重點(diǎn)問題。在片斷二中，教師提出：“那如果不在數(shù)射線上的點(diǎn)，位置該怎么確定呢？”作為核心問題的聚焦，問出了學(xué)生思維中潛在的疑惑，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究“如何確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置”。教師后面的預(yù)設(shè)順應(yīng)了學(xué)生思維，首先將出示的點(diǎn)描述為“在4的上面”——逐漸準(zhǔn)確表示數(shù)對（4,1）——怎樣確定縱軸——引出直角坐標(biāo)。一系列教學(xué)進(jìn)程的展開，目的為核心問題服務(wù)。教學(xué)中抓準(zhǔn)了課時(shí)核心問題，使課的設(shè)計(jì)和教學(xué)有“魂”、有“神”、有“味”，促進(jìn)學(xué)生探究能力的培養(yǎng)。

3.提升思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知深化

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并不僅僅是實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，也不僅僅是解題的經(jīng)驗(yàn)，更加重要的是思維的經(jīng)驗(yàn)，是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中思考的經(jīng)驗(yàn)[3]。數(shù)學(xué)課堂，以學(xué)生具備的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為課堂教學(xué)的開始，而在課堂結(jié)束時(shí)，反觀課堂全程，學(xué)生的思維品質(zhì)應(yīng)比課的開始有所提升，即“學(xué)有所獲”。以數(shù)學(xué)知識學(xué)會(huì)為“明線”，思維品質(zhì)提升為“暗線”，通過學(xué)習(xí)知識來學(xué)會(huì)思考，形成智慧。本節(jié)教學(xué)中學(xué)生思維深處通過“點(diǎn)”與數(shù)對的對應(yīng)關(guān)系，由一維的“線”拓展到二維的“面”，由正整數(shù)的第一象限擴(kuò)充到四個(gè)象限，學(xué)生獲得新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，看是隨意，實(shí)為精致，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知深化。

4.積淀學(xué)科素養(yǎng)，促進(jìn)核心素養(yǎng)培育

空間觀念指對物體及其幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變化建立起來的一種感知和認(rèn)識，空間想象是建立空間觀念的重要途徑[4]。教學(xué)中借助方格圖延伸逐漸構(gòu)建平面直角系，初步建立起“形”與“數(shù)”理論體系的直觀模型，簡潔形象，賦予了“抽象與概括”、“符號與模型”、“圖形與幾何”等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓這些數(shù)學(xué)思維意識逐步積淀，外顯為良好的思維品質(zhì)，促進(jìn)核心素養(yǎng)培育。

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬譯，上海教育出版社，1995.

[2]呂傳漢，汪秉彝.論中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，15（02）：74-79.

[3]顧沛.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，11（01）：18-20.

[4]黃翔.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的十個(gè)核心概念[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，11（4）：16-19.

Learning Experience Case on Applying Coordinate to Determine Position

YUN Xia1PAN XIao-ming2ZENG Xiao-ping3
（1.Experimental Primary School of Yuqing County，Yuqing，Guizhou564400，China;2.The Teacher Study College of Baoshan Township,Shanghai 201900，China；3.College ofElementaryEducation,Capital Normal University,Beijing100048,China）

With the help of teacher，the students experience the inquiry process on applying coordinate to determine position the location ofpoints.Fromthe point on number line tothe point in flat，the students rediscoveryofthe Cartesian coordinate system.

Mathematic thing;LearningExperience;Cartesian Coordinate System

1009—0673（2016）04—0119—06

G623.5

A

2016—06—05

尹 俠（1973— ），男，貴州余慶人，余慶縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，省級名師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)。

熊顯萍