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        一類具耗散項高階非線性發(fā)展方程解的漸近性質(zhì)

        2016-10-31 14:03:25馬騰宇
        時代金融 2016年23期

        馬騰宇

        【摘要】研究了一類非線性發(fā)展方程整體解的漸近性質(zhì),利用乘子法建立了方程的漸近性定理,證明了當方程中的耗散項滿足一定簡單而寬泛的條件下,方程的整體強解依指數(shù)形式衰減于零。

        【關(guān)鍵詞】非線性發(fā)展方程 耗散項 整體解 漸近性質(zhì)

        一、引言

        非線性擬雙曲方程是近年來在神經(jīng)傳播,具有粘性效應(yīng)的桿的縱向振動等生物、力學問題中提出的,具有重要的應(yīng)用背景。在描述非線性彈性桿中縱向位移波傳播的運動方程時,Greeenberg,MacCamy和Mizel于1968年首先提出了如下著名的具強阻尼項的擬線性發(fā)展方程[1]。

        utt-uxxt=σ(ux)x

        其中u(x,t)表示桿在x處,t時刻的位移,ux為應(yīng)變,σ(ux)為非線性應(yīng)變。許多學者分別從不同的角度,采用不同的方法對如上方程整體解的適定性做了卓有成效的研究,并得到了很多好的結(jié)果[2-8]。劉亞成等在文獻[2]中研究了如上問題的初邊值問題,得到了整體強解的存在性與唯一性,并在初值函數(shù)及σ(s)滿足一定的條件下,得到了整體強解的相應(yīng)光滑性。楊志堅、宋長明在文獻[5]中研究了非線性彈性桿的縱波振動的一類非線性發(fā)展方程utt=uxxtt+σ(ux)x的初邊值問題。在關(guān)于非線性項及初值的某些假設(shè)下,證明了此問題有唯一整體強解。劉亞成等在文獻[6]中研究了如下帶有耗散、色散項的四階非線性波動方程的初邊值問題,尚亞東在文[7]中,研究了如下一類四階強阻尼非線性波動方程的初邊值問題。用方法與能量估計得到了上述問題的整體強解。

        眾所周知,在非線性振動過程中,除了物體內(nèi)部的粘性對物體運動有著重要的影響外,非線性外力因素也起著十分重要的作用。尤其是非線性粘性阻尼和非線性力源的影響。因此,將上述由物體周圍介質(zhì)所產(chǎn)生的,非線性外力因素考慮進去是十分必要的并且具有重要的現(xiàn)實意義[9-11],Chen和Yang在[12]中研究了非線性項的更加廣泛的方程,得到了方程廣義解和經(jīng)典解的整體存在性,并給出了解在有限時間內(nèi)爆破的充分條件。

        對于解的適定性有了充分的了解后,為了更全面的了解方程的特性,特別是所描述的物理方程的復雜行為,方程解的長時間演化行為往往成為討論的重點內(nèi)容。因此,當人們對如上問題解的適定性有了充分了解后,自然對于解的漸近性質(zhì)很感興趣。然而,關(guān)于此類方程解的漸近性質(zhì)的研究結(jié)果并不多見[13,14]。

        參考文獻

        [1]Greenberg,J.M.MacCamy,R.C.and Mizel,J.J.,On the existence,uniqueness and stability of the equationσ(ux)uxx+λuxxt=ρ0utt[J].J.Math.Mech.,1968,17,707-728.

        [2]劉亞成,劉大成.方程utt=uxxt+σ(ux)x的初邊值問題、周期邊界問題與初值問題[J].數(shù)學年刊,1988,9A(4):459-470.

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        [4]劉亞成,王鋒,劉大成.任意維數(shù)的強阻尼非線性波動方程(I)-初邊值問題[J].應(yīng)用數(shù)學,1995,8(3):262-266.

        [5]楊志堅,宋長明.關(guān)于一類非線性發(fā)展方程整體解的存在性[J].應(yīng)用數(shù)學學報,1997,20(3):321-331.

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