付培軍

平衡問題的求解是中學物理中的重點和難點之一，在高考和各地模擬考試中頻頻出現(xiàn)，部分同學對平衡問題存在模糊認識，本文就靜態(tài)平衡和動態(tài)平衡的處理方法舉例剖析，希望對同學們有所幫助。

一、平衡問題的常規(guī)處理方法

1. 整體隔離法：有多個物體參與相互作用，結(jié)合問題靈活選取研究對象，可使問題的處理簡單化。

例1：（2016年甘肅白銀模擬）如圖所示，ACB是一光滑的、足夠長的、固定在豎直平面內(nèi)的“∧”形框架，其中CA、CB邊與豎直方向的夾角均為θ。P、Q兩個輕質(zhì)小環(huán)分別套在CA、CB上，兩根細繩的一端分別系在P、Q環(huán)上，另一端和繩套系在一起，結(jié)點為O。將質(zhì)量為m的鉤碼掛在繩套上，OP、OQ兩根細繩拉直后的長度分別用L1、L2表示，若L1︰ L2=2︰3，則兩繩受到的拉力之比F1︰F2等于（ ）

A. 2︰3 B. 1︰1 C. 4︰9 D. 3︰2

解析：因ACB是光滑的足夠長的框架，故掛上重物后P、Q環(huán)只受繩的拉力和垂直于桿的彈力作用，如圖所示。設重物平衡時兩線的拉力與豎直方向的夾角分別為α和β，由同位角相等知β與θ互余，由四邊形內(nèi)角和為360°知α與θ也互余，即α=β。再以結(jié)點O為對象，它在三個力作用下平衡時，OP、OQ兩繩拉力在水平方向上的分量等大反向，故F1=F2，答案選B。

點評：因處于平衡態(tài)下的物體所受合外力為零，解題時一般先將研究對象從系統(tǒng)中隔離出來，分析其受力情況后建立坐標系，用正交分解法建立平衡方程；對于有多個物體組成的系統(tǒng)，一般用整體隔離法分析，適時調(diào)換研究對象，再運用平衡條件列式求解。

2. 正交分解法：在明確物體受力情況后將各力進行正交分解，把矢量運算轉(zhuǎn)化為標量運算，可使問題處理簡單化。

例2：（2016年新課標Ⅰ卷）如圖所示，一光滑的輕滑輪用細繩OO′懸掛于O點；另一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b。外力F向右上方拉b，整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)。若F方向不變，大小在一定范圍內(nèi)變化，物塊b仍始終保持靜止，則（ ）

A. 繩OO′的張力也在一定范圍內(nèi)變化

B. 物塊b所受到的支持力也在一定范圍內(nèi)變化

C. 連接a和b的繩的張力也在一定范圍內(nèi)變化

D. 物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內(nèi)變化

解析：在F大小變化時，物體a、b均保持靜止，因此各物體的位置不變，繩間夾角保持不變，而a受到拉繩的拉力等于其重力，致使繩OO′的張力不變，即A、C錯；若設F與水平面的夾角為θ，繩的拉力T與水平面的夾角為α，對b建立水平和豎直方向的直角坐標系，由平衡條件知x軸上Fcosθ=Tcosα+f，y軸上Fcosθ=Tsinα+N=mbg，當F在一定范圍內(nèi)變化時，由平衡方程知支持力和摩擦力在一定范圍內(nèi)變化，即B、D對。

點評：解答此類題目時，一般是在受力分析的基礎上，建立直角坐標系，分別寫出x軸和y軸上的平衡方程，再根據(jù)相關參量的變化情況進行分析。

3. 假設法：處于平衡狀態(tài)下的物體受多個力的作用，當某個力的方向不好確定時，可依據(jù)各力的產(chǎn)生條件，假設一個方向，再用平衡條件進行推斷。若能平衡則假設成立，否則假設不成立。

例3：（2016年山西右玉模擬）如圖所示，物塊A和滑環(huán)B用繞過光滑定滑輪的不可伸長的輕繩連接，滑環(huán)B套在與豎直方向成θ=37°的粗細均勻的固定桿上，連接滑環(huán)B的繩與桿垂直并在同一豎直平面內(nèi)，滑環(huán)B恰好不能下滑。滑環(huán)與桿間的動摩擦因數(shù)為0.4，設滑環(huán)與桿間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則A和B的質(zhì)量之比為（ ）

A. B. C. D.

解析：滑環(huán)B平衡時，若桿的彈力垂直于桿斜向下，由mBgcosθ=μ（mAg-mBgsinθ）知 =；若桿

的彈力垂直于桿斜向上，由mBgcosθ=μ（mBgsinθ-mAg）知 =-，故選C。

二、平衡條件的變通與應用

平衡問題涉及的范圍寬，題型全，囊括的知識多，難度也各不相同。學習時除了要掌握常規(guī)的處理方法，對于一些具體問題還要采取相應措施，這樣才能在考場上快速地做出決策。

1. 矢量三角形法：物體在三力作用下平衡時，平移三力可構(gòu)成一個同一繞向的封閉的三角形，再由題設條件尋找邊角度關系，運用三角形來求解。

例4：（2014年安徽屯溪聯(lián)考）如圖所示，將兩個質(zhì)量均為m的小球a、b用細線相連懸掛于O點，用力F拉小球a，使整個裝置處于平衡狀態(tài)，且懸線Oa與豎直方向的夾角為θ=30°，則F的大?。?）

A. 不可能為mg

B. 可能為mg

C. 可能為mg

D. 可能為mg

解析：以兩個小球組成的整體為研究對象，在重力、拉力和張力的作用下平衡，平移三個力可得到如圖所示的矢量三角形，顯見F與T垂直時，F(xiàn)有最小值2mgsinθ=mg，而當F轉(zhuǎn)至豎直向上時F=2mg，當F轉(zhuǎn)到右下方時也可以，即拉力大于最小值均可，對比知B對。

2. 三角形相似法：當物體在三力作用下平衡，若某個力的大小和方向都發(fā)生變化時，可在對物體進行受力分析的基礎上平移各力構(gòu)成一個矢量三角形，再在圖中尋找與之相似的幾何三角形，運用對應邊成比例進行推斷。

例5：（2014年中原名校聯(lián)考）粗鐵絲彎成如圖所示半圓環(huán)的形狀，圓心為O，半圓環(huán)最高點B處固定一個小滑輪，小圓環(huán)A用細繩吊著一個質(zhì)量為m2的物塊并套在半圓環(huán)上。一根跨過小滑輪的細繩一端拴著物塊m1，另一端系在小圓環(huán)A上。設小圓環(huán)、滑輪、繩子的質(zhì)量以及其相互之間的摩擦均不計，繩子不可伸長。若整個系統(tǒng)平衡時角AOB為α，則兩物塊的質(zhì)量比m1︰m2為（ ）

A. cos B. 2sin C. sin D. 2cos

解析：以環(huán)A為對象，受重物m2的拉力m2g，AB繩的張力m1g，鐵絲環(huán)沿OA方向的彈力為N，平移三力恰構(gòu)成一個矢量三角形與OAB相似，對應邊成比例=，又AB=2Rsin，得 =2sin，故選B。

3. 圖解分析法：對于一些定性分析問題，或動態(tài)變化問題，可采用圖解法，利用矢量三角形的邊角關系，在動態(tài)中把握力的變化情況。

例6：（2016年新課標Ⅱ卷）質(zhì)量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上。用水平向左的力F緩慢拉動繩的中點O，如圖所示。用T表示繩OA段拉力的大小，在O點向左移動的過程中（ ）

A. F逐漸變大，T逐漸變大

B. F逐漸變大，T逐漸變小

C. F逐漸變小，T逐漸變大

D. F逐漸變小，T逐漸變小

解析：在緩慢拉動輕繩的過程中，結(jié)點O處于動態(tài)平衡。它受到的重力mg恒定，拉力F方向不變，繩的拉力T斜向右上，平移各力構(gòu)成矢量三角形如圖所示。在O點左移的過程中相當于繩OA順時針旋轉(zhuǎn)，故F和T逐漸變大，即選A。

例7：如圖所示，將一根不能伸長、柔軟的輕繩兩端分別系于A、B兩點上，一物體用動滑輪懸掛在繩子上，達到平衡時，兩段繩間的夾角為θ1，繩子張力為F1；將繩子由B端移至C點，待整個系統(tǒng)達到平衡時，兩段繩子間的夾角為θ2，繩子張力為F2；將繩子由B端移至D點，待整個系統(tǒng)達到平衡時，兩段繩子間的夾角為θ3，繩子張力為F3，不計摩擦，則（ ）

A. θ1=θ2=θ3 B. θ1=θ2<θ3

C. F1>F2>F3 D. F1=F2解析：滑輪下懸一物體平衡時，若反向延長其中一側(cè)繩子發(fā)現(xiàn)水平線OB所分的ΔAOB與ΔCOB是全等的，故懸線與OB的夾角與動滑輪所處的位置無關，只取決于繩長和兩桿間距（如圖所示），由圖知θ1=θ2，F(xiàn)1=F2。當將繩子由B端移至C點時，因兩繩的合力恒等于物重，且在C點時兩繩成鈍角，故張力隨兩繩間夾角的增大而增大，故選B、D。

點評：通過對滑輪受力分析發(fā)現(xiàn)，只上下移動B點，滑輪在任意位置平衡時，兩繩間的夾角僅由繩長和AC間距決定，而同一根輕繩內(nèi)部的拉力處處相等，由此推知θ1=θ2，F(xiàn)1=F2。這種方法能得出一些基本結(jié)論，再運用到習題中可達到觸類旁通的效果。

4. 運動性質(zhì)推斷法：通過對物體運動性質(zhì)的分析，推斷其受力情況，再運用平衡條件分析周邊物體的受力情況，可收到事半功倍的效果。

例8：（2016年安徽三次聯(lián)考題）如圖所示，一圓環(huán)套在豎直光滑的桿上，桿的直徑比圓環(huán)的內(nèi)徑略小，圓環(huán)通過輕彈簧與放在地面上的物塊相連，開始時彈簧處于原長?，F(xiàn)由靜止釋放圓環(huán)，到圓環(huán)向下的速度達到最大的過程中（物塊一直保持靜止）（ ）

A. 圓環(huán)受到的合力在減小

B. 桿對圓環(huán)的作用力在減小

C. 地面對物體的摩擦力在減小

D. 地面對物體的支持力在減小

解析：環(huán)沿桿下滑過程中受重力、彈簧的彈力和桿的支持力而做加速運動，隨著θ的增大，彈簧變短，彈力變大，環(huán)的合力變小，故環(huán)做加速度逐漸減小的加速運動，即A對；彈力增大時它沿水平方向的分量增大，使桿對圓環(huán)的支持力增大，m2靜止，故地面對它的摩擦力增大，即B、C錯；就整體而言，由于環(huán)的加速度減小，整體的合力向上且在增大，即D錯。

5. 臨界狀態(tài)處理法：通過對過程的分析，找出變化過程中的臨界極值點，再將平衡方程和假設推斷相結(jié)合，找出相關力的變化范圍。

例9：如圖所示，質(zhì)量m=2kg的物體由兩根輕繩AB和AC拉著，另一端連在豎直墻上?，F(xiàn)對物體另施一個與水平方向成θ=60°角的拉力F，求兩繩都能伸直的力F。

解析：設AB和AC的張力分別為F1和F2，對A進行受力分析如圖，由平衡條件得Fsin60°+ F1sin30°= mg+F2sin30°和Fcos60°= F1cos30°+ F2cos30°。

顯見，當F較小時，繩AC的張力較小，當F2=0時繩AC剛剛處于松弛狀態(tài)，此時F =10；當F較大時，繩AB的張力較小，當F1=0時繩AB剛剛處于松弛狀態(tài)，此時F =20，故力F的變化范圍是10≤F ≤20。

6. 交匯法：物體在三力作用下平衡時不易確定的第三個力，可以用交匯原理處理，即三力作用下的平衡物其所受三力必交于一點。解題時要在受力分析的基礎上，找出兩個力的交點，再判斷第三個力的方向，然后建立直角坐標系求解。

例10：如圖所示，木板AB的重力不計，A端用鉸鏈與墻壁連接，木板與墻壁間的夾角為30°，圓柱體重為G，D是AB的中點，若各觸點的摩擦均不計，求木板A端所受的作用力。

解析：先以圓柱體為研究對象，它在重力G、板的彈力N1和墻的彈力N2共同作用下處于平衡態(tài)，由拉密原理知=，解得N1=2G。

再以板為對象，它受繩的拉力T、圓柱體的彈力N1′和鉸鏈的作用力F而平衡，由交匯原理知F的方向如圖所示，由平衡條件知=，代入

N1=N1′=2G得F=G。