●耿合眾

(潁上第一中學(xué)　安徽阜陽(yáng)　236200)

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品味楔形幾何體感悟數(shù)學(xué)真善美*
——2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科Ⅰ卷立體幾何題解法、評(píng)析及思考

●耿合眾

(潁上第一中學(xué)安徽阜陽(yáng)236200)

文章對(duì)一道高考數(shù)學(xué)試題的解法進(jìn)行探究，試圖從外在的形式中多角度尋找數(shù)學(xué)的本源性東西，在評(píng)析過(guò)程中思考：什么是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)；在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)的立足點(diǎn)在哪兒.借助對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的品味，感悟數(shù)學(xué)試題中蘊(yùn)涵的真善美.

楔形幾何體;解法探究;核心素養(yǎng);真善美

2016年的高考是許多省市從自主命題到統(tǒng)一命題的第1年，筆者所在安徽省使用的是全國(guó)Ⅰ卷(即乙卷).縱觀理科數(shù)學(xué)試卷，給人的印象是平穩(wěn)大氣，結(jié)構(gòu)合理,既有內(nèi)容的真，也有結(jié)構(gòu)的善，更有形式的美，真正體現(xiàn)了能力立意.試題從多方面承載了中學(xué)數(shù)學(xué)的核心價(jià)值，多角度對(duì)考生的核心素養(yǎng)進(jìn)行考查，綜合檢驗(yàn)了考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、對(duì)數(shù)學(xué)技能方法的掌握、對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感悟和對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.

下面以理科Ⅰ卷立體幾何題為例，重溫該題的解法探究歷程，在簡(jiǎn)單評(píng)析里品味數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，從而感悟數(shù)學(xué)的真善美.

1　試題再現(xiàn)

圖1

題目如圖1，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD,∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

1)證明：平面ABEF⊥平面EFDC；

2)求二面角E-BC-A的余弦值.

(2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科Ⅰ卷第18題)

2　楔形幾何體

該題以一個(gè)五面體為載體，考查面面垂直的證明和二面角大小的求解.該幾何體底面為正方形，頂部為平行于底面的一條線段，4個(gè)側(cè)面中有2個(gè)是梯形，另2個(gè)是三角形，這樣的多面體好像木工用的楔，通常稱(chēng)此種幾何體為楔形.著名的楔形文字就是因?yàn)槊恳还P畫(huà)總是由粗到細(xì)，像木楔一樣而得名.楔形幾何體又可看作是三棱柱按對(duì)稱(chēng)切割2個(gè)小三棱錐后得到的結(jié)果.從這個(gè)角度來(lái)看，該試題是來(lái)自生活中的數(shù)學(xué)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的生活實(shí)際，取材于課本中人們熟悉的幾何體進(jìn)行切割.在試題的表現(xiàn)形式上充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的真善美.

3　問(wèn)題解決

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的理解.用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題.在立體幾何中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的五大基本能力(抽象概括、邏輯推理、空間想象、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理)在該題中的體現(xiàn)尤為突出.

3.1第1)小題，牛刀小試

垂直關(guān)系是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，絕大多數(shù)立體幾何問(wèn)題都與垂直有關(guān)，因此垂直關(guān)系也成了立體幾何的關(guān)鍵.抓住垂直就抓住了立體幾何的本質(zhì)，這話一點(diǎn)不假.第1)小題考查的是面面垂直，自然去想面面垂直的判定定理，從而去找線面垂直，而線面垂直的本質(zhì)是線線垂直，根據(jù)有關(guān)垂直關(guān)系的定理，把邏輯推理和空間想象用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)出來(lái)，就可以完成證明.

證明由面ABEF為正方形，得

AF⊥FE,

又

∠AFD=90°，

得

AF⊥FD.

在平面EFDC中，F(xiàn)E∩FD=F，AF⊥平面EFDC,AF?平面ABEF，從而平面ABEF⊥平面EFDC.

3.2第2)小題，漸入佳境

二面角一直是立體幾何考查偏愛(ài)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，每年都會(huì)受到命題者的青睞.在這里表面上是計(jì)算二面角的余弦值，實(shí)際上把考查空間想象、邏輯推理與數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算求解等融匯在一起，解決的途徑不僅可以采用傳統(tǒng)的幾何法，還可以用向量法.然而其根本是對(duì)楔形幾何本質(zhì)特征的理解和思考.

圖2

解法1如圖2，由面ABEF為正方形，知

AB∥EF,

從而AB∥平面EFDC,

因此

AB∥CD，

即

EF∥CD.

又因?yàn)槎娼荄-AF-E與二面角C-BE-F都是60°，且AF⊥平面EFDC，AF∥BE,所以

∠DFE=∠CEF=60°，

從而四邊形是等腰梯形，將其補(bǔ)成矩形EFMN.聯(lián)結(jié)MA，MF，NB，NE，易得MAF-NBE為直三棱柱.

平面NBE⊥平面ABNM，交線為BN，在平面NBE中，作EH⊥BN，垂足為H.在平面ABNM中，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥BC，垂足為G，聯(lián)結(jié)EG，易得EG⊥BC,于是∠HGE是二面角E-BC-N的平面角，而二面角E-BC-N與二面角E-BC-A互補(bǔ)，因此二面角E-BC-A的余弦值是∠HGE余弦值的相反數(shù).又AF=2FD，設(shè)FD=1=CE，AF=2=BE，且BE⊥平面EFMN,得

在Rt△NEB中，

在Rt△CEB中，

在Rt△EHG中，

評(píng)注該解法立足于楔形幾何體的本質(zhì)特征，還原切割前直三棱柱的本來(lái)模樣，充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化和化歸思想.解題，就是退，退到不能再退的時(shí)候，問(wèn)題的本源也就清楚了.

圖3

于是

評(píng)注該解法把問(wèn)題回歸到長(zhǎng)方體之中.長(zhǎng)方體是立體幾何最重要的載體之一，很多幾何體都可以補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，使得相應(yīng)的證明和計(jì)算都更為清晰和容易，也更能弄清空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

解法3由解法1知

∠DFE=∠CEF=60°.

由AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，知AB∥平面ABCD,AB?平面ABCD，且平面ABCD∩平面EFDC=CD，于是

AB∥CD，

從而

CD∥EF，

知四邊形EFDC為等腰梯形，可得

∠CDF=∠DCE=120°,DC=DF,

∠DCF=30°,∠FCE=90°,

即FC⊥CE.又EB⊥平面EFHG,CF?平面EFHG，則CF⊥EB，故CF⊥平面CEB，得平面CFB⊥平面CEB.

在平面FHA內(nèi)過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AH交AH于點(diǎn)M，則FM⊥平面CBA.由CF⊥CB，則∠FCM是二面角F-BC-A的平面角，設(shè)其為α.又由題設(shè)EF=EB=2，EC=1，知

得

評(píng)注該解法把所求二面角分成一個(gè)直二面角和一個(gè)銳二面角的和，而其中銳二面角大小比較容易求解，這也是求鈍二面角常見(jiàn)的方法之一.

由題意知θ為鈍角，故

評(píng)注該解法回避了找二面角平面角的過(guò)程，有時(shí)二面角的問(wèn)題難就難在“找”和“證”上.在一個(gè)半平面里選一點(diǎn)，求出該點(diǎn)到另一個(gè)半平面的距離和到二面角棱的距離，就可以去求二面角平面角的正弦值了，而這2個(gè)距離，利用等體積和等面積就能輕松確定.

解法5由解法1知

∠DFE=∠CEF=60°.

由AB∥平面CEF，得AB∥CD，EF∥CD，易得四邊形CDEF與四邊形ABEF均為等腰梯形.如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥BC交BE于點(diǎn)P，則∠AHP為二面角E-BC-A的平面角.令DF=1，則

過(guò)點(diǎn)C作CO⊥AB于點(diǎn)O，則

由△BHP∽△BEC得

在△AHP中，由余弦定理得

評(píng)注解法5先選取與二面角的2個(gè)半平面都相交的一個(gè)平面α，在二面角的一個(gè)半平面與平面α的交線上選一點(diǎn)向二面角的棱作垂線，再由該垂足在二面角的另一個(gè)半平面內(nèi)作二面角棱的垂線，與平面α的交線交于一點(diǎn)，這2條垂線形成的角就是二面角的平面角，求出剛才3個(gè)點(diǎn)組成的三角形3條邊長(zhǎng)，利用余弦定理即可獲解.

圖4 圖5

解法6如圖5，由面ABEF為正方形，得

AB∥EF，

從而

AB∥平面EFDC，

因此

AB∥CD，

即

EF∥CD.

又二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°，且AF⊥平面EFDC，AF∥BE，得

∠DFE=∠CEF=60°,

則四邊形EFDC和四邊形ABCD都是等腰梯形.

由AF=2FD，設(shè)FD=1=CE，AF=2=BE，且BE⊥平面EFMN，CD=1,于是在Rt△CEB中，作EH⊥BC，垂足為H，則

從而

即

解得

評(píng)注該解法從二面角中選擇以二面角的棱為公共邊的2個(gè)三角形，分別從二面角的棱外三角形頂點(diǎn)向棱作垂線，根據(jù)所給出的條件，利用解三角形知識(shí)求出相關(guān)線段的長(zhǎng).再利用向量夾角和二面角大小關(guān)系，由向量回路尋找等式，借助向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積得出二面角余弦值的關(guān)系式.

記平面EBC的一個(gè)法向量為

n1=xa+yb+zc，

令x=1，z=-1，則n1=a-c.記平面ABC的一個(gè)法向量為

n2=xa+yb+zc，

令x=4，y=-3，z=-16，則

n2=4a-3b-16c.

因?yàn)?/p>

n1·n2=12，

評(píng)注該解法是向量法的一種——基向量法，這種解法容易被忽視.只要在幾何體中找到從一點(diǎn)出發(fā)的3條線段的長(zhǎng)度和夾角，就可以選定為空間向量的一個(gè)基底，剩下的就是數(shù)據(jù)計(jì)算的事了.

解法8由第1)小題知

∠DFE=∠CEF=60°,

因?yàn)锳B∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，所以AB∥平面EFDC.又AB?平面ABCD,平面ABCD∩平面EFDC=CD,則AB∥CD，從而CD∥EF，四邊形EFDC為等腰梯形，且平面ABEF⊥平面EFDC.

圖6

建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz.

得

y1=0,

z1=-1,

即

得

x2=0,

設(shè)二面角E-BC-A的大小為θ，則

評(píng)注坐標(biāo)法主要是利用向量的相關(guān)知識(shí)及其運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，即用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題.將形轉(zhuǎn)化為數(shù)來(lái)解決，降低了立體幾何的思維難度，解題思路有一定的規(guī)律性，便于學(xué)生掌握.但尋找并判斷從一點(diǎn)出發(fā)的3條兩兩垂直的直線是重點(diǎn)，也是難點(diǎn).

4　一些思考

今后將有更多的省市加入全國(guó)卷統(tǒng)一命題的行列，對(duì)全國(guó)卷進(jìn)行評(píng)析和思考是一件有價(jià)值和有意義的事情.而對(duì)全國(guó)卷的適應(yīng)及思路的調(diào)整將是一個(gè)必然的過(guò)程，全國(guó)卷的試題更加體現(xiàn)命題的“能力立意”這一原則，更能深入到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的意蘊(yùn)，并且對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和培養(yǎng)目的非常明確.

說(shuō)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，離不開(kāi)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、應(yīng)用和創(chuàng)新.綜合體現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的過(guò)程之中.數(shù)學(xué)知識(shí)是高度抽象的，它的語(yǔ)言(特別是數(shù)學(xué)符號(hào)、圖表語(yǔ)言)是高度概括、凝練的.正是這種高度的抽象性才使數(shù)學(xué)成為連接現(xiàn)實(shí)世界與人類(lèi)智慧的橋梁，使數(shù)學(xué)語(yǔ)言成為表達(dá)客觀世界結(jié)構(gòu)的唯一精準(zhǔn)語(yǔ)言.立體幾何正緊緊圍繞“數(shù)量關(guān)系”“空間形式”“數(shù)形結(jié)合”和“公理化思想”這4條主線，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)體會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)本源性問(wèn)題.對(duì)立體幾何問(wèn)題的解決，傳統(tǒng)幾何法的角度，現(xiàn)代向量或向量坐標(biāo)法的途徑都是對(duì)該類(lèi)問(wèn)題本質(zhì)的考量，空間想象能力、邏輯思維能力、推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力都也是對(duì)數(shù)和形這兩大關(guān)系的深刻理解.

在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要緊緊抓住對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握，還要重點(diǎn)提高對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，從而努力實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和促進(jìn)人的發(fā)展.最終在品味數(shù)學(xué)的過(guò)程中，充分感悟數(shù)學(xué)的真善美.

16-06-27；

2016-07-27

耿合眾(1974-)，男，安徽潁上人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.2

A

1003-6407(2016)10-42-05