●何偉軍

(渭源縣第一中學(xué)　甘肅渭源　748200)

?

善變陳題觸類(lèi)旁通精于設(shè)計(jì)*

●何偉軍

(渭源縣第一中學(xué)甘肅渭源748200)

文章以一道陳題為變式“生長(zhǎng)點(diǎn)”，對(duì)其進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，演繹出16個(gè)變式題，涉及常見(jiàn)圓錐曲線(xiàn)的熱點(diǎn)(考點(diǎn))問(wèn)題.旨在夯實(shí)基礎(chǔ)，提升解題能力，培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì)和創(chuàng)新精神，這也是數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)實(shí)施高效教學(xué)的重要途徑之一.

陳題；變式；探求問(wèn)題

數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)時(shí)間緊、量大面寬是眾所周知的．要搞好圓錐曲線(xiàn)復(fù)習(xí)，必須在精選、精講、精練題上狠下功夫，必須將問(wèn)題適度拓展、改造、組合、串并聯(lián)，形成圓錐曲線(xiàn)高考熱點(diǎn)問(wèn)題組，使知識(shí)的獲得、能力的形成放植于有效的變式訓(xùn)練中，只有變式的“教與學(xué)”，方可走出“題?！保_(dá)到回頭是“岸”之境界，真正減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì)和創(chuàng)新精神.筆者試圖以一道陳題為變式“生長(zhǎng)點(diǎn)”，演繹出精彩高效的圓錐曲線(xiàn)熱點(diǎn)問(wèn)題.

原題討論直線(xiàn)l:y=kx+1與雙曲線(xiàn)C:x2-y2=1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(1)

當(dāng)1-k2=0，即k=±1時(shí)，x=?1.當(dāng)1-k2≠0，即k≠±1時(shí)，

Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2,

由Δ>0得

由Δ=0得

由Δ<0得

這是一道常規(guī)題.如果我們創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的新情境，陳題新編，縱橫拓展，遷移組合，將會(huì)囊括圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中“參數(shù)的取值范圍、定值、對(duì)稱(chēng)、軌跡、定點(diǎn)”等高考熱點(diǎn)問(wèn)題，做到舉一反三，助推能力提升.

1　探求參數(shù)的取值范圍

變式1若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C有2個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

變式2若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的右支交于2個(gè)不同的點(diǎn)A，B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

變式3若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的左支交于2個(gè)不同的點(diǎn)A，B,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

變式4若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的左、右2支交于不同的點(diǎn)A，B,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

評(píng)注此類(lèi)題應(yīng)數(shù)形結(jié)合，根據(jù)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于1支(或2支)找到其充要條件，列出不等式組是正確求解取值范圍的關(guān)鍵.

變式5若直線(xiàn)l′垂直平分變式1中的弦AB，求l′在y軸上的截距m的取值范圍.

思考：若直線(xiàn)l′垂直平分變式2、變式3、變式4中的弦AB，求l′在y軸上的截距m的取值范圍.其結(jié)果又有什么不同？

評(píng)注在變式5、變式6中含有2個(gè)參數(shù)，m的變化是由k引起的，且m是關(guān)于k的函數(shù)，我們?cè)?個(gè)參變量之間建立函數(shù)m=f(k)是關(guān)鍵，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的值域.

2　探求定值問(wèn)題

變式8若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C有2個(gè)不同的交點(diǎn)A,B，且A,B都在以M(0,-3)為圓心的圓上，求k的值.

得直線(xiàn)MP的方程為

即

x+ky+3k=0,

從而

x0+ky0+3k=0，

得

即

變式9是否存在實(shí)數(shù)k，使得以直線(xiàn)AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)F2.若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解由題意知F2A⊥F2B，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),右焦點(diǎn)為F2(c,0)，則

即

x1x2+y1y2-c(x1+x2)+c2=0.

又

y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,

得

即

(1+c2)k2+2ck+1-c2=0.

解得

評(píng)注陳題條件中加入“A,B在圓上”后，問(wèn)題分別以求定值和探求存在型的方式呈現(xiàn)，給人以“似曾相識(shí)”的感覺(jué)，頓生解決問(wèn)題的欲望與激情.解決這類(lèi)問(wèn)題能增強(qiáng)學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力和識(shí)圖能力.

3　探求對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

變式10若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C有2個(gè)不同的交點(diǎn)A,B，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得A,B這2個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l′:y=ax(其中a≠0)對(duì)稱(chēng)？若存在，求出實(shí)數(shù)k;若不存在，說(shuō)明理由.

解假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的k，使得點(diǎn)A,B關(guān)于直線(xiàn)l′對(duì)稱(chēng)，并設(shè)A(x1,kx1+1)和B(x2,kx2+1)關(guān)于直線(xiàn)l′對(duì)稱(chēng)，則

整理得

(k-a)(x1+x2)+2=0.

即

評(píng)注對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中“嵌套”存在型問(wèn)題，使陳題面目為之一新，既考查了AB⊥l′和AB的中點(diǎn)在l′上這2個(gè)關(guān)系，又考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力.求解圓錐曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，常見(jiàn)的問(wèn)題是找不出所設(shè)變量之間的關(guān)系導(dǎo)致解答寸步難行.

4　探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題

變式11若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C有2個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程.

問(wèn)題探究如何確保參數(shù)方程與普通方程等價(jià)呢？

從而

即

解得

y<-1或y>0.

又k2≥0,得

y<0或y≥1.

綜上可得

y<-1或y≥1,

因此弦AB中點(diǎn)的軌跡方程為

x2-y2+y=0(其中y<-1或y≥1).

問(wèn)題探究題設(shè)的限制條件如何尋找？

0≤k2<1或1

從而

0<1-k2≤1或-1<1-k2<0,

即

y<-1或y≥1,

因此，弦AB中點(diǎn)的軌跡方程為

x2-y2+y=0(其中y<-1或y≥1).

評(píng)注選擇以斜率為參變量，或用“點(diǎn)差法”找到斜率與弦中點(diǎn)之間的關(guān)系后，先求出參數(shù)方程，再化為普通方程，即點(diǎn)P的軌跡方程為

x2-y2+2y=0(其中y<-2或y≥2).

特別注意參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性是易錯(cuò)點(diǎn),也是難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).

5　探求定點(diǎn)問(wèn)題

解設(shè)Q(x0,0)，則

即

而

y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,

代入上式可得

解得

評(píng)注以陳題和2006年山東省數(shù)學(xué)高考試題為雛形設(shè)計(jì)定點(diǎn)問(wèn)題，也是高考的熱點(diǎn)之一.先求出滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l，然后再利用直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)知識(shí)加以解決.與平面向量的結(jié)合，既體現(xiàn)了幾何與向量的交匯，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的巧妙應(yīng)用．

6　探求面積問(wèn)題

整理得

28k4-55k2+25=0,

解得

(x1,y1)+(x2,y2)=(λx0,λy0),

λ2=16，

即

λ=±4.

因此，△ABP的面積為

7　多元設(shè)置，綜合壓軸

變式15若直線(xiàn)l:y=kx+b與雙曲線(xiàn)C:x2-y2=1的左支交于2個(gè)點(diǎn)A,B，直線(xiàn)l與以F1F2為直徑的圓相切.

x2+y2=2.

由于直線(xiàn)l與⊙O相切，從而

即

b2=2(k2+1)(其中k≠±1).

(2)

(k2-1)x2+2kbx+b2+1=0，

(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=

化簡(jiǎn)整理,得

(3)

聯(lián)立式(2)和式(3)得

2k2+3-4k2+k2-1=0，

解得

此時(shí)

Δ=4k2b2-4(k2-1)(b2+1)>0，

得

k2≠1，

從而

由k,b同號(hào)知，直線(xiàn)l的方程為

2)類(lèi)似于第1)小題可得

即

從而

根據(jù)弦長(zhǎng)公式

因?yàn)辄c(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為

而2≤m≤4，所以當(dāng)m=2時(shí)，△AOB的面積最小，其值為

當(dāng)m=4時(shí)，△AOB的面積最大，其值為

評(píng)注設(shè)置多個(gè)變量，適當(dāng)改編條件，用待定系數(shù)法逆向求解斜率和截距，使思維量加大，思維的難度增大.但方程思想作基礎(chǔ)，先利用“減元”思想列出△AOB面積是m的函數(shù)，再利用二次函數(shù)在給定的區(qū)間上求最值的方法可解決.

圖1

即

a=b.

即

又b2=1，即a2=1，得雙曲線(xiàn)C的方程為

x2-y2=1.

3)解由題意可得0<λ<1.

證明設(shè)l3:y=kx+1，點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2),則由l3與雙曲線(xiàn)C右支交于不同的2個(gè)點(diǎn)P,Q及變式2得

(x1,y1-1)=λ(x2,y2-1),

得

x1=λx2,

從而

于是

0

從而

即

λ2-2λ+1>0,

因此λ的取值范圍是(0,1).

評(píng)注逆向設(shè)計(jì)、用向量的坐標(biāo)法證明問(wèn)題是亮點(diǎn)之一；交換條件與結(jié)論后探究x2-y2=1為亮點(diǎn)之二；最后以參數(shù)的范圍求解、幾何問(wèn)題代數(shù)化結(jié)尾.

精選典例，抓住“嬌”題不放，創(chuàng)新變式.若能從“變”的表象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的假象中掘出“變”的內(nèi)涵，則能促使學(xué)生盡快領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，形成高超數(shù)學(xué)能力.變式教學(xué)不僅是跳出題海、減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)、以少勝多、實(shí)施高效教學(xué)的最佳選擇，而且也是全方位提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的明智之舉.

?2016-06-21；

2016-07-22

何偉軍(1962-)，男，甘肅定西人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)10-17-05