●盧　明

(元濟高級中學(xué)　浙江海鹽　314300)

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一樣的風(fēng)景更高的追求*
——2016年浙江省數(shù)學(xué)高考立體幾何題評析

●盧明

(元濟高級中學(xué)浙江海鹽314300)

2016年浙江省數(shù)學(xué)高考立體幾何試題的特點是：保持風(fēng)格，突出重點；穩(wěn)中有變，突出素養(yǎng)．通過對試題的背景分析和解法探討，感受到了命題人對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的新理解、新思考，從而悟得對高中立體幾何教學(xué)的啟示：嚴格按“標準”教學(xué)；重視“建系”方式的價值追問；加強推理論證能力的培養(yǎng)；提高畫立體圖的能力．

數(shù)學(xué)高考;立體幾何題;評析;核心素養(yǎng)

2016年高考已塵埃落定，為“3+綜合+IB模塊”的老高考模式畫上了圓滿的句號．透過2016年浙江省數(shù)學(xué)高考立體幾何試題，讀到了命題人對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的新理解、新思考，這將對2017年起浙江實施的“必考+選考”新高考模式背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的指導(dǎo)意義．

1　試卷命題情況回顧

總體而言，2016年的立體幾何試題還是比較平穩(wěn)的，但是也有明顯的變化．具體來說體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.1保持風(fēng)格，突出重點

試題繼續(xù)保持以往的浙江命題風(fēng)格和考查重點，考查空間點、線、面的位置關(guān)系以及三視圖、線線角、線面角、二面角、空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識、推理論證能力、空間想象能力和運算求解能力，并且文、理科試題有同也有別．如選擇題，考查空間線、面位置關(guān)系的判定，文、理科試題相同，且題次都是第2題．填空題，文科第9題、理科第10題，都考查三視圖、幾何體的表面積和體積；文科第14題和理科第14題，本質(zhì)都是“動態(tài)”情境的立體幾何題，但是描述方式有所不同，文科比較直白，直接點明“翻折”，理科則比較隱秘，其實本質(zhì)也是“翻折”，求解結(jié)論文、理科有別，文科求線線角的最值問題，理科求體積的最值問題；填空題的難度理科略高于文科，體現(xiàn)文理有別，但是差距不大．解答題，文、理科試題背景一致，都是三棱臺，且第1)小題文、理科一樣，考查線面垂直的證明，第2)小題文、理科有別，文科考查線面角，理科考查二面角，理科難度明顯高于文科．

1.2穩(wěn)中有變，突出素養(yǎng)

立體幾何試題更加突出了對能力與素養(yǎng)的要求，比如“向量法”的應(yīng)用，對“建系”的能力要求略高于往年，此外，還體現(xiàn)在以下幾個方面：

1)分值的變化．2016年的文、理科立體幾何題都是考查1道選擇題、2道填空題、1道解答題，總分均為30分，比前3年的分值有所增加．回顧前3年的試題情況，2013年和2014年的文、理科都是考查2道小題、1道大題，總分均為24分；2015年的文科考查2道選擇題、1道解答題，總分為25分，理科考查2道選擇題、1道填空題、1道解答題，總分為29分，理科分值高于文科．2015年和2016年的立體幾何分值高于2013年和2014年，其中一個原因是高考內(nèi)容減少了概率與統(tǒng)計．

2)題型的變化．2013年和2014年的立體幾何試題都是靜態(tài)情境的；2015年的理科立體幾何試題(第8題)是“動態(tài)”情境的(翻折)，文科沒有“動態(tài)”情境的題；2016年的文科填空題第14題也引進了“動態(tài)”情境題，顯然，對文科生空間想象能力的考查要求有所提高．

3)難度的變化．2015年和2016年增加的“動態(tài)”情境立體幾何題，難度都比較高，處于“壓軸”或“次壓軸”的水平，而2016年理科第14題的難度明顯高于2015年的第8題，文科立體幾何試題的整體難度較往年也有所提升．

4)背景的變化．之前的3年，文、理科立體幾何解答題的背景都是學(xué)生比較熟悉的錐體或柱體，2016年的試題背景不落俗套，選擇了師生平時都不太關(guān)注的棱臺，體現(xiàn)了一種情境創(chuàng)新．盡管試題設(shè)問依然常規(guī)，但是，對學(xué)生的要求明顯提高．事實也是如此，立體幾何解答題，理科全省平均分為10.89，難度系數(shù)0.72，文科平均分為8.66，難度系數(shù)0.58．理科平均分還算理想的原因之一是因為用“向量法”能夠避開棱臺的定義，降低推理論證的難度．

總之，從2016年的立體幾何試題所釋放出的信息看，文、理科難度有“接近”的趨勢，以筆者之見，也許這是在為今后新高考方案——數(shù)學(xué)“文理合卷”作鋪墊．

2　解法探討

圖1

例1如圖1，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，若平面ABC外的一點P和線段AC上的一點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD體積的最大值是______．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

筆者在與考生的交流中了解到，本題能得到正確答案的考生有不少．但深究他們的解法時，大部分考生的回答是選擇特殊位置來解，即讓點D位于AC的中點，且PD⊥面ABC.此時

于是

圖2

圖3

由條件知△PBD是由△ABD沿直線BD翻折而得，聯(lián)結(jié)AE，則AE⊥BD，且AE=d．如圖3，設(shè)AD=x，則

易知BM=1,由△AED∽△BMD得

點評本題中，由于當(dāng)且僅當(dāng)點D為AC的中點，且面PAC⊥面ABC，面PBD⊥面ABC時，VP-DBC取到最大值．正因為四面體體積的最大值是在上述特殊位置時取到的，所以給學(xué)生“蒙對”本題答案提供了可能．

此外，本題所含的知識點比較多，它將平面幾何、立體幾何、函數(shù)等知識綜合在一起，對其進行正面解答，其運算量不亞于一道立體幾何解答題．尤其是在求體積的最大值時，要將四面體PBCD的底面BDC上的高轉(zhuǎn)化為點A到線段BD的距離，才能建立函數(shù)關(guān)系，這一點考生難以想到，并且所得到的函數(shù)關(guān)系式的最值也不好求．故本題的綜合程度相當(dāng)高，運算量較大，按照以往浙江命題風(fēng)格——“小題小做”，作為“小題”的知識點和運算量應(yīng)該有所控制，因此，本題還是有值得改進的地方．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第14題)

圖4

圖5

解法1(坐標法)如圖5，設(shè)O為AC的中點，因為AB=BC，故BO⊥AC．以O(shè)為原點、AC所在直線為x軸建立空間直角坐標系O-xyz(如圖5所示)．過點D′作D′E⊥AC于點E，D′F⊥平面ABD于點F，聯(lián)結(jié)EF，則EF⊥AC，從而 ∠D′EF就是二面角D′-AC-D的平面角(設(shè)為α)．依題意

于是

設(shè)AC與BD′所成的角為θ，則

解法2(極端法)設(shè)二面角D′-AC-D為α．

于是

解得

圖6

圖7

2)如圖7，當(dāng)α=π時，點D′落在△ABC所在的平面內(nèi)，設(shè)AC與BD′的延長線交于點E，DN⊥AC，BM⊥AC．由情形1)知

從而

在△BAD′中，由余弦定理求得BD′=2．又由情形1)知

根據(jù)△D′NE∽△BME得

解得

D′E=1.

因為CD′=1，故點E與C重合，即點D′在線段BC上，于是

點評本題考查2條異面直線所成的角，思路還是單一的，適合文科生．比較2015年理科第8題，也是翻折問題，該題用“極端法”解非常簡捷，但本題用“極端法”解卻并不顯得輕松，相反，用“向量法”解運算量反而要小．“向量法”的難點在于如何建系，以及如何確定點D′的坐標．

例3如圖8，在三棱臺ABC-EDF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．

1)求證：BF⊥平面ACDF；

2)求BD與平面ACFD所成角的余弦值．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第17題)

圖8

圖9

1)證法1(不補形法)如圖9，在等腰梯形BCFE中，EF∥BC，BE=CF=1.設(shè)BC的中點為G，聯(lián)結(jié)FG,則

FG=BE=1.

又BC=2，從而

于是△FGC是正三角形，故

∠BFG+∠CFG=90°，

即

BF⊥CF．

又平面BCFE⊥平面ABC，AC⊥BC，從而AC⊥平面BCFE，于是AC⊥BF，故BF⊥平面ACDF．

圖10

證法2(補形法)如圖10，由棱臺的定義，分別延長AD,BE,CF交于一點P，因為EF∥BC且BE=EF=FC=1，BC=2，所以點E,F分別為PB,PC的中點，故△PBC是正三角形，于是BF⊥CF．又平面BCFE⊥平面ABC，AC⊥BC，從而AC⊥平面BCFE，于是AC⊥BF，故BF⊥平面ACDF．

2)解由第1)小題知BF⊥平面ACDF，從而∠BDF就是直線BD與平面ACFD所成的角．在Rt△BFD中，

于是

故

點評本題全省平均分為8.66，比命題預(yù)設(shè)的期望值要低一些．從閱卷反饋的信息來看，主要扣分點在于第1)小題的證明.學(xué)生用幾何法的“三段論”書寫證明過程時，推理論證不嚴謹，多數(shù)學(xué)生只能說出大概意思，想到用“補形法”的考生不多，主要是對棱臺的定義不熟悉．第2)小題是以第1)小題的結(jié)論為基礎(chǔ)，很容易找到“線面角”，計算也比較簡單，故得分情況尚可．

例4如圖8，在三棱臺ABC-EDF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°,BE=EF=CE=1,BC=2,AC=3．

1)求證：BF⊥平面ACDF；

2)求二面角B-AD-C的余弦值．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

點評本題第1)小題與文科完全一樣，第2)小題的難度明顯高于文科．下面對第2)小題進行探究.

2)解法1(幾何法:補形)如圖11，過點F作FH⊥AP于點H，聯(lián)結(jié)BH．由第1)小題知BF⊥平面ACDF，從而BH⊥AP，于是∠BHF就是二面角B-AD-C的平面角．

在Rt△PAC中,

在Rt△PHF中,

在Rt△BHF中,

點評本解法有2個關(guān)鍵點:一是“補形”；二是找到二面角的平面角并證明,計算量并不大．雖然此法計算簡捷，但是必須清晰棱臺的定義才會想到補“臺”為“錐”．

圖11

圖12

解法2(向量法:不補形法)如圖12，過點F作FO⊥BC于點O，因為平面BCFE⊥平面ABC，所以FO⊥平面ABC．以O(shè)為原點、BC所在直線為x軸建立空間直角坐標系O-xyz．由題意得

從而

圖13

點評本題的建系過程先證后建，近幾年?？迹@是考生容易失分的地方．本題建系的方案有多種，不同方案對計算的簡捷與否有影響，能否選擇恰當(dāng)?shù)姆桨甘菍W(xué)生能力的一種考量．用向量法，不補形也能解，對棱臺定義模糊不清的學(xué)生,解題不受影響，這也是理科生本題得分尚可的原因之一，使得向量法作為一種“工具”的優(yōu)勢得到了充分的顯現(xiàn)．

3　對教學(xué)的啟示

毋庸置疑，高考命題對高中教學(xué)起著重要的導(dǎo)向作用．只有讀懂命題專家是如何理解與把握“標準”的，才能對日常教學(xué)有正確的導(dǎo)向作用．

3.1嚴格按“標準”教學(xué)

所謂“標準”，即“課程標準”．何謂“標準”？華東師范大學(xué)崔允漷教授指出：“教育目的”的具體化是《課程標準》，而《課程標準》的具體化就是“學(xué)習(xí)目標”[1].可見，“標準”是課程育人目標的具體化．浙江省高中數(shù)學(xué)課程標準就是根據(jù)《國家高中數(shù)學(xué)課程標準》制訂的《浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見》．在實際教學(xué)實踐過程中，許多教師對“課程標準”不夠重視，或?qū)ⅰ罢n程標準”束之高閣，或斷章取義，或片面理解運用，最后導(dǎo)致了游離“課標”的教學(xué)行為的出現(xiàn)，使教學(xué)變得非常的隨意，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)[2]．需要強調(diào)：“標準”是教師教學(xué)的“法”，執(zhí)行“標準”關(guān)系到高中數(shù)學(xué)課程育人目標的落實，因此，教師教學(xué)必須守“法”，每節(jié)課教什么都要依據(jù)“標準”，不能急功近利，也不能僅憑經(jīng)驗．2016年立體幾何解答題以三棱臺為背景，學(xué)生平時接觸較少，許多考生“卡殼”就卡在棱臺的定義上，不知道將3條側(cè)棱延長會相交于一點．由于近5年來高考沒有考過棱臺，因此師生們把棱臺邊緣化了．然而，我們來看一下《標準》的要求：了解棱柱、棱錐、棱臺的底面、側(cè)棱、側(cè)面、頂點的意義；了解柱體、錐體、臺體之間的關(guān)系[3]．不難看出，《標準》中對柱體、錐體、臺體概念的要求是一樣的，沒有孰輕孰重．在文獻[4]中專家指出：幾何體中幾何量的計算，其中包括角度、距離、面積、體積等．從問題分類來看，有證明題、計算題、探索題、判斷題等；從圖形的角度來分析，柱、錐、臺、球及它們的組合體都成為考查的載體．由此可見，臺體從未被排除在高考命題范圍之外．因此，無論是平時教學(xué)還是高考復(fù)習(xí)，不應(yīng)該把目光局限在考過的高考題型上，而必須基于“標準”，這才是“真教育”，才能真正做到對學(xué)生負責(zé)．

3.2重視“建系”方式的價值追問

建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼担瑢τ谘芯拷馕鰩缀?、立體幾何至關(guān)重要，它將直接影響計算過程的簡捷性．會根據(jù)實際問題情境建立合適的坐標系，不僅是一種能力，更是一種研究的素養(yǎng)．從高考閱卷的信息反饋看，學(xué)生在建立坐標系時花樣百出，不少學(xué)生“左手系”和“右手系”都搞不清楚，高中階段要求的是“右手系”；更多的是坐標系建得不合理，導(dǎo)致后面的運算復(fù)雜化．針對以上問題，反思我們的日常教學(xué)，平時對學(xué)生怎樣建系的指導(dǎo)不夠．建議平時教學(xué)中要加強對學(xué)生建系策略的指導(dǎo)，對于學(xué)生建好的系，要多追問：為什么要這樣建系；有沒有更好的建法，讓學(xué)生在實踐中感悟建立恰當(dāng)?shù)淖鴺讼档囊饬x和價值，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

3.3加強推理論證能力的培養(yǎng)

2016年的立體幾何解答題，考生在推理論證方面暴露出的問題不少．原因既有基礎(chǔ)原因，也有高中教學(xué)的原因．初中教育對平面幾何推理論證要求的降低，使得學(xué)生運用“三段論”進行推理論證的能力顯著下降；高中教師重思路、輕過程，對證明題過程書寫要求不嚴，泛用向量法等，削弱了推理論證能力的培養(yǎng)．立體幾何定理的學(xué)習(xí)既需要理解，也需要記憶，記住定理是運用定理的基礎(chǔ)．但是，當(dāng)下學(xué)生對幾何定理記憶的意識和習(xí)慣比較差，許多學(xué)生到了高三仍對立體幾何的基本定理說不清楚，談何運用．因此，對立體幾何定理教學(xué)在重視理解的同時，還要強化表述和記憶，特別是“三種語言”——文字語言、符號語言、圖形語言之間的靈活轉(zhuǎn)換．以筆者之見，文字語言有助于記憶，符號語言有助于推理過程的正確書寫，圖形語言有助于從復(fù)雜問題情境中提取定理的基本模型．要正確處理好幾何法與向量法的運用關(guān)系，不能顧此失彼．在高三一輪復(fù)習(xí)時，要強調(diào)使用幾何法，以鞏固定理，規(guī)范證明過程書寫，提高推理論證能力．在高三二輪復(fù)習(xí)時，要讓學(xué)生根據(jù)實際，靈活選擇幾何法或向量法，實現(xiàn)簡化解題過程之目的．

3.4提高畫立體圖的能力

畫立體圖是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的有效途徑．現(xiàn)在的立體幾何教學(xué)，一般都是給出圖形，不要求學(xué)生自己畫圖，故平時對學(xué)生畫立體圖的訓(xùn)練不夠，有的學(xué)生甚至連什么時候畫實線，什么時候畫虛線都不知道．畫立體圖能力不強，會影響學(xué)生的空間想象，而空間想象又是數(shù)學(xué)要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)之一．重視學(xué)生畫立體圖的訓(xùn)練，應(yīng)當(dāng)引起一線教師的足夠重視．

總之，2016年的立體幾何高考試題，粗看與往年的試題是“一樣的風(fēng)景”，但仔細琢磨，寓意深刻，無論是加強對“動態(tài)”情境問題的考查，還是變“柱”“錐”為“臺”的微妙變化，無不在告訴一線教師日常教學(xué)要更加重視關(guān)注“標準”，更加重視關(guān)注核心素養(yǎng)．這不僅是專家的追求，也應(yīng)該是一線教師的追求．

[1]崔允漷．有效教學(xué)[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2009：110．

[2]翁洲．如何確定與敘寫“學(xué)習(xí)目標”[J]．教育視界，2016(6)：16．

[3]浙江省基礎(chǔ)教育課程改革專業(yè)指導(dǎo)委員會．浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見[M]．杭州：浙江教育出版社，2014：15．

[4]高考數(shù)學(xué)研究組．浙江省數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)2004一路走來[M]．杭州：浙江大學(xué)出版社，2016：127-157．

?2016-06-29；

2016-07-29

盧明(1961-)，男，浙江海鹽人，浙江省特級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育．

O123.2

A

1003-6407(2016)10-26-06