基于U模型的非線性系統(tǒng)Super-Twisting滑?？刂蒲芯?/h1>
2016-10-28 09:18:44張建華吳學(xué)禮霍佳楠莊沈陽
河北科技大學(xué)學(xué)報(bào) 2016年4期
張建華，李 楊，吳學(xué)禮，霍佳楠，莊沈陽
(1.河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北石家莊 050018；2.河北省生產(chǎn)過程自動(dòng)化工程技術(shù)研究中心，河北石家莊 050018；3.河北科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北石家莊 050018；4.齊齊哈爾大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，黑龍江齊齊哈爾 161006)
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基于U模型的非線性系統(tǒng)Super-Twisting滑模控制研究
張建華1,2，李楊2,3，吳學(xué)禮1,2，霍佳楠1，莊沈陽4
(1.河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北石家莊050018；2.河北省生產(chǎn)過程自動(dòng)化工程技術(shù)研究中心，河北石家莊050018；3.河北科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北石家莊050018；4.齊齊哈爾大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，黑龍江齊齊哈爾161006)
為了對(duì)基于U模型的非線性控制系統(tǒng)進(jìn)行研究，利用Super-Twisting控制算法，解決非仿射非線性系統(tǒng)的控制問題，對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近，運(yùn)用Super-Twisting控制算法進(jìn)行控制。選取恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，對(duì)Super-Twisting算法的收斂性進(jìn)行了證明。為了驗(yàn)證該方法的可行性和有效性，利用Matlab軟件進(jìn)行仿真，結(jié)果表明在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)Super-Twisting控制器的作用下，被控系統(tǒng)具有快速的跟蹤性能和輸出的有界性。
魯棒控制；非線性系統(tǒng)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；U模型；Super-Twisting算法；自適應(yīng)
非線性特性普遍存在于實(shí)際的生產(chǎn)中，非線性系統(tǒng)的控制問題一直以來是科學(xué)研究中需要解決的一個(gè)普遍性問題[1-3]。目前，有很多種設(shè)計(jì)工具和分析方法來研究非線性系統(tǒng)[4-6]，線性化方法是最為普遍的方法。但是，線性化方法也有其弊端，在非線性程度強(qiáng)、控制精度要求高的情況下，難以得到良好的控制效果，而且大多數(shù)線性控制方法不能直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)[7-9]。因此，研究人員提出了多種關(guān)于非線性控制器的設(shè)計(jì)方法，有相平面法，Backstepping，Lyapunov函數(shù)法，描述函數(shù)法，反饋線性化等設(shè)計(jì)方法[10-12]。
建立一個(gè)通用、易于控制器設(shè)計(jì)并具有高精度的非線性模型是解決控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。U模型的起源正是基于這樣的認(rèn)識(shí)演變而來的，自U模型被提出以來，已為非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)開創(chuàng)了一個(gè)新的研究領(lǐng)域[13-14]。朱全民等人提出了運(yùn)用牛頓-拉夫遜迭代算法求解多項(xiàng)式，為U模型中非線性系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ)[13]。U模型是表示一類平滑非線性對(duì)象的時(shí)變參數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)，建立了一個(gè)簡(jiǎn)單的通用映射[14]，可將平滑非線性離散時(shí)間輸入-輸出動(dòng)態(tài)對(duì)象模型完全轉(zhuǎn)換為線性控制可設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)。
滑?？刂埔卜Q作變結(jié)構(gòu)控制，本質(zhì)上是一種控制不連續(xù)性的非線性控制[15-17]。相比于其他控制器，滑?？刂频膬?yōu)點(diǎn)有：整體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、快速響應(yīng)、對(duì)內(nèi)部參數(shù)和外部擾動(dòng)均不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識(shí)等[18-20]?；？刂婆c其他控制的區(qū)別在于系統(tǒng)本身并不固定，而是能夠在動(dòng)態(tài)過程中，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)有目的性地不斷變化，最終使系統(tǒng)按照預(yù)先設(shè)定的軌跡運(yùn)動(dòng)。但是，傳統(tǒng)的滑?？刂埔灿衅浔锥耍捎谧陨淼碾x散性存在了不可避免的抖震問題。高階滑模(HOSM)的提出消除了傳統(tǒng)滑模的弊端，并保留了傳統(tǒng)滑模的優(yōu)點(diǎn)。
基于U模型的非線性系統(tǒng)控制可以實(shí)現(xiàn)很多系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)，特別是對(duì)于動(dòng)態(tài)非線性對(duì)象進(jìn)行極點(diǎn)配置，對(duì)前向自適應(yīng)跟蹤控制等控制問題。論文分析了基于U模型的三角結(jié)構(gòu)非線性控制系統(tǒng)，運(yùn)用了Lyapunov函數(shù)方法，對(duì)Super-Twisting算法的收斂性進(jìn)行了證明，并對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)和系統(tǒng)控制器的輸出進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果證明所提出方法的正確性。
1 問題描述
考慮如下的非仿射非線性系統(tǒng)：
(1)
h(x(t))=W*hN(x(t))-ε(t)，
這里用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)W*hN(x(t))對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行逼近，ε(t)為逼近誤差，W*是非線性系統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理想逼近：
考慮系統(tǒng)(1)，選擇如下的坐標(biāo)變換：
式中：yd表示系統(tǒng)的期望輸出；αi作為虛擬控制器，理想的控制律為[1]
(2)
Super-Twisting算法是一種二階滑?？刂品椒?，該系統(tǒng)表示為
式中：函數(shù)x1,x2是變量;k1,k2是控制增益。研究表明該系統(tǒng)是有限時(shí)間收斂的，并且具有很好的魯棒性[20]。
2 非線性系統(tǒng)控制
定理非仿射非線性系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)虛擬控制器(2)實(shí)現(xiàn)反步迭代控制，根據(jù)Super-Twisting算法設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)是一致漸近有界穩(wěn)定的。
第1步：
z1=x1-yd，
根據(jù)系統(tǒng)(1)，有
理想的虛擬控制律為
選取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性h1(x1(t))進(jìn)行逼近，有
選取虛擬控制律
于是可以得到
并且有
對(duì)于子系統(tǒng)
x2=α1+z2，
選取下面的自適應(yīng)律
選取Lyapunov函數(shù)
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并應(yīng)用下面的不等式
根據(jù)上面的過程，可得
其中
第i步，(2≤i≤n-1)：
zi=xi-αi-1，
根據(jù)系統(tǒng),有
理想的虛擬控制律為
選取控制律為
所以有
其中
選取下面的自適應(yīng)律
選取Lyapunov函數(shù)
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并應(yīng)用下面的不等式
可以得到
其中：
最后一步，也就是第n步，
zn=xn-αn-1,
于是就有
理想的虛擬控制律為
選取控制律為
如果
zn+1=u-αn,
所以有
其中
選取下面的自適應(yīng)律
對(duì)于控制器選取
選取下面的自適應(yīng)律
于是就有
其中
選取Lyapunov函數(shù)
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得
其中
δn=kn+1εn+εn+1,
于是就有zn有限時(shí)間漸近有界穩(wěn)定，于是代入之前的n-1步就有
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得
其中
于是就有反步迭代過程中閉環(huán)系統(tǒng)是一致漸近有界穩(wěn)定的，從而定理得證。
3 仿真實(shí)例
算例: 系統(tǒng)描述如下
期望的系統(tǒng)輸出為yd=sin(t)，通過定理中的結(jié)論，選取
和
仿真選取x=[00]T，選取控制器為
圖1 系統(tǒng)狀態(tài)和預(yù)設(shè)軌跡Fig.1 System state and pre-specified trajectory
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真過程中，為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性系統(tǒng)的逼近過程，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)增益應(yīng)該選取的大一些，通過選取雙曲函數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作用函數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值初始條件為0，則有：
圖1表示在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模控制器作用下，被控系統(tǒng)的輸出能夠在很短的時(shí)間內(nèi)跟蹤上預(yù)先設(shè)定的軌跡。
4 結(jié) 論
本文通過U模型的控制思路，將系統(tǒng)輸出作為虛擬控制的輸入，設(shè)計(jì)了非線性系統(tǒng)的Super-Twisting控制器，實(shí)現(xiàn)非仿射非線性系統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制，具有有限時(shí)間收斂的特點(diǎn)，能夠更好地實(shí)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制收斂時(shí)間的問題，完成了非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間控制，最后通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。
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StudyofSuper-TwistingslidingmodecontrolforUmodelbasednonlinearsystem
ZHANGJianhua1,2,LIYang2,3,WUXueli1,2,HUOJianan1,ZHUANGShenyang4
(1.SchoolofElectricalEngineering,HebeiUniversityofScienceandTechnology,Shijiazhuang,Hebei050018,China；2.HebeiProvincialResearchCenterforTechnologiesinProcessEngineeringAutomation,Shijiazhuang,Hebei050018,China；3.SchoolofInformationScienceandEngineering,HebeiUniversityofScienceandTechnology,Shijiazhuang,Hebei050018,China；4.CollegeofComputerandControlEngineering,QiqiharUniversity,Qiqihar,Heilongjiang161006,China)
TheSuper-TwistingcontrolalgorithmisadoptedtoanalyzetheUmodelbasednonlinearcontrolsysteminordertosolvethecontrollerdesignproblemsofnon-affinenonlinearsystems.Thenon-affinenonlinearsystemsarestudied,theneuralnetworkapproximationofthenonlinearfunctionisperformed,andtheSuper-Twistingcontrolalgorithmisusedtocontrol.TheconvergenceoftheSuper-TwistingalgorithmisprovedbyselectinganappropriateLyapunovfunction.TheMatlabsimulationiscarriedouttoverifythefeasibilityandeffectivenessofthedescribedmethod.TheresultshowsthattheoutputofthecontrolledsystemcanbetrackedinaveryshorttimebyusingthedesignedSuper-Twistingcontroller,andtherobustnessofthecontrolledsystemissignificantlyimprovedaswell.
robustcontrol;nonlinearsystem;neuralnetwork;Umodel;Super-Twistingalgorithm;adaptive
1008-1542(2016)04-0376-06
10.7535/hbkd.2016yx04010
2015-12-25；
2016-03-28；責(zé)任編輯：李穆
河北省自然科學(xué)基金(F2015208128)；河北省教育廳青年基金(QN20140157,BJ2016020)
張建華(1980—)，男，吉林延吉人，講師，博士，主要從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、滑?？刂啤⒑桔E優(yōu)化等方面的研究。
E-mail:zhangjianhua@hebust.edu.cn
TP273
A
張建華，李楊，吳學(xué)禮，等.基于U模型的非線性系統(tǒng)Super-Twisting滑?？刂蒲芯縖J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2016,37(4):376-381.
ZHANGJianhua,LIYang,WUXueli,etal.StudyofSuper-TwistingslidingmodecontrolforUmodelbasednonlinearsystem[J].JournalofHebeiUniversityofScienceandTechnology,2016,37(4):376-381.
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為了對(duì)基于U模型的非線性控制系統(tǒng)進(jìn)行研究，利用Super-Twisting控制算法，解決非仿射非線性系統(tǒng)的控制問題，對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近，運(yùn)用Super-Twisting控制算法進(jìn)行控制。選取恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，對(duì)Super-Twisting算法的收斂性進(jìn)行了證明。為了驗(yàn)證該方法的可行性和有效性，利用Matlab軟件進(jìn)行仿真，結(jié)果表明在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)Super-Twisting控制器的作用下，被控系統(tǒng)具有快速的跟蹤性能和輸出的有界性。
魯棒控制；非線性系統(tǒng)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；U模型；Super-Twisting算法；自適應(yīng)
非線性特性普遍存在于實(shí)際的生產(chǎn)中，非線性系統(tǒng)的控制問題一直以來是科學(xué)研究中需要解決的一個(gè)普遍性問題[1-3]。目前，有很多種設(shè)計(jì)工具和分析方法來研究非線性系統(tǒng)[4-6]，線性化方法是最為普遍的方法。但是，線性化方法也有其弊端，在非線性程度強(qiáng)、控制精度要求高的情況下，難以得到良好的控制效果，而且大多數(shù)線性控制方法不能直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)[7-9]。因此，研究人員提出了多種關(guān)于非線性控制器的設(shè)計(jì)方法，有相平面法，Backstepping，Lyapunov函數(shù)法，描述函數(shù)法，反饋線性化等設(shè)計(jì)方法[10-12]。
建立一個(gè)通用、易于控制器設(shè)計(jì)并具有高精度的非線性模型是解決控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。U模型的起源正是基于這樣的認(rèn)識(shí)演變而來的，自U模型被提出以來，已為非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)開創(chuàng)了一個(gè)新的研究領(lǐng)域[13-14]。朱全民等人提出了運(yùn)用牛頓-拉夫遜迭代算法求解多項(xiàng)式，為U模型中非線性系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ)[13]。U模型是表示一類平滑非線性對(duì)象的時(shí)變參數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)，建立了一個(gè)簡(jiǎn)單的通用映射[14]，可將平滑非線性離散時(shí)間輸入-輸出動(dòng)態(tài)對(duì)象模型完全轉(zhuǎn)換為線性控制可設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)。
滑?？刂埔卜Q作變結(jié)構(gòu)控制，本質(zhì)上是一種控制不連續(xù)性的非線性控制[15-17]。相比于其他控制器，滑?？刂频膬?yōu)點(diǎn)有：整體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、快速響應(yīng)、對(duì)內(nèi)部參數(shù)和外部擾動(dòng)均不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識(shí)等[18-20]?；？刂婆c其他控制的區(qū)別在于系統(tǒng)本身并不固定，而是能夠在動(dòng)態(tài)過程中，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)有目的性地不斷變化，最終使系統(tǒng)按照預(yù)先設(shè)定的軌跡運(yùn)動(dòng)。但是，傳統(tǒng)的滑?？刂埔灿衅浔锥耍捎谧陨淼碾x散性存在了不可避免的抖震問題。高階滑模(HOSM)的提出消除了傳統(tǒng)滑模的弊端，并保留了傳統(tǒng)滑模的優(yōu)點(diǎn)。
基于U模型的非線性系統(tǒng)控制可以實(shí)現(xiàn)很多系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)，特別是對(duì)于動(dòng)態(tài)非線性對(duì)象進(jìn)行極點(diǎn)配置，對(duì)前向自適應(yīng)跟蹤控制等控制問題。論文分析了基于U模型的三角結(jié)構(gòu)非線性控制系統(tǒng)，運(yùn)用了Lyapunov函數(shù)方法，對(duì)Super-Twisting算法的收斂性進(jìn)行了證明，并對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)和系統(tǒng)控制器的輸出進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果證明所提出方法的正確性。
1 問題描述
考慮如下的非仿射非線性系統(tǒng)：
(1)
h(x(t))=W*hN(x(t))-ε(t)，
這里用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)W*hN(x(t))對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行逼近，ε(t)為逼近誤差，W*是非線性系統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理想逼近：
考慮系統(tǒng)(1)，選擇如下的坐標(biāo)變換：
式中：yd表示系統(tǒng)的期望輸出；αi作為虛擬控制器，理想的控制律為[1]
(2)
Super-Twisting算法是一種二階滑?？刂品椒?，該系統(tǒng)表示為
式中：函數(shù)x1,x2是變量;k1,k2是控制增益。研究表明該系統(tǒng)是有限時(shí)間收斂的，并且具有很好的魯棒性[20]。
2 非線性系統(tǒng)控制
定理非仿射非線性系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)虛擬控制器(2)實(shí)現(xiàn)反步迭代控制，根據(jù)Super-Twisting算法設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)是一致漸近有界穩(wěn)定的。
第1步：
z1=x1-yd，
根據(jù)系統(tǒng)(1)，有
理想的虛擬控制律為
選取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性h1(x1(t))進(jìn)行逼近，有
選取虛擬控制律
于是可以得到
并且有
對(duì)于子系統(tǒng)
x2=α1+z2，
選取下面的自適應(yīng)律
選取Lyapunov函數(shù)
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并應(yīng)用下面的不等式
根據(jù)上面的過程，可得
其中
第i步，(2≤i≤n-1)：
zi=xi-αi-1，
根據(jù)系統(tǒng),有
理想的虛擬控制律為
選取控制律為
所以有
其中
選取下面的自適應(yīng)律
選取Lyapunov函數(shù)
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并應(yīng)用下面的不等式
可以得到
其中：
最后一步，也就是第n步，
zn=xn-αn-1,
于是就有
理想的虛擬控制律為
選取控制律為
如果
zn+1=u-αn,
所以有
其中
選取下面的自適應(yīng)律
對(duì)于控制器選取
選取下面的自適應(yīng)律
于是就有
其中
選取Lyapunov函數(shù)
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得
其中
δn=kn+1εn+εn+1,
于是就有zn有限時(shí)間漸近有界穩(wěn)定，于是代入之前的n-1步就有
沿系統(tǒng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得
其中
于是就有反步迭代過程中閉環(huán)系統(tǒng)是一致漸近有界穩(wěn)定的，從而定理得證。
3 仿真實(shí)例
算例: 系統(tǒng)描述如下
期望的系統(tǒng)輸出為yd=sin(t)，通過定理中的結(jié)論，選取
和
仿真選取x=[00]T，選取控制器為
圖1 系統(tǒng)狀態(tài)和預(yù)設(shè)軌跡Fig.1 System state and pre-specified trajectory
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真過程中，為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性系統(tǒng)的逼近過程，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)增益應(yīng)該選取的大一些，通過選取雙曲函數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作用函數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值初始條件為0，則有：
圖1表示在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模控制器作用下，被控系統(tǒng)的輸出能夠在很短的時(shí)間內(nèi)跟蹤上預(yù)先設(shè)定的軌跡。
4 結(jié) 論
本文通過U模型的控制思路，將系統(tǒng)輸出作為虛擬控制的輸入，設(shè)計(jì)了非線性系統(tǒng)的Super-Twisting控制器，實(shí)現(xiàn)非仿射非線性系統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制，具有有限時(shí)間收斂的特點(diǎn)，能夠更好地實(shí)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制收斂時(shí)間的問題，完成了非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間控制，最后通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。
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StudyofSuper-TwistingslidingmodecontrolforUmodelbasednonlinearsystem
ZHANGJianhua1,2,LIYang2,3,WUXueli1,2,HUOJianan1,ZHUANGShenyang4
(1.SchoolofElectricalEngineering,HebeiUniversityofScienceandTechnology,Shijiazhuang,Hebei050018,China；2.HebeiProvincialResearchCenterforTechnologiesinProcessEngineeringAutomation,Shijiazhuang,Hebei050018,China；3.SchoolofInformationScienceandEngineering,HebeiUniversityofScienceandTechnology,Shijiazhuang,Hebei050018,China；4.CollegeofComputerandControlEngineering,QiqiharUniversity,Qiqihar,Heilongjiang161006,China)
TheSuper-TwistingcontrolalgorithmisadoptedtoanalyzetheUmodelbasednonlinearcontrolsysteminordertosolvethecontrollerdesignproblemsofnon-affinenonlinearsystems.Thenon-affinenonlinearsystemsarestudied,theneuralnetworkapproximationofthenonlinearfunctionisperformed,andtheSuper-Twistingcontrolalgorithmisusedtocontrol.TheconvergenceoftheSuper-TwistingalgorithmisprovedbyselectinganappropriateLyapunovfunction.TheMatlabsimulationiscarriedouttoverifythefeasibilityandeffectivenessofthedescribedmethod.TheresultshowsthattheoutputofthecontrolledsystemcanbetrackedinaveryshorttimebyusingthedesignedSuper-Twistingcontroller,andtherobustnessofthecontrolledsystemissignificantlyimprovedaswell.
robustcontrol;nonlinearsystem;neuralnetwork;Umodel;Super-Twistingalgorithm;adaptive
1008-1542(2016)04-0376-06
10.7535/hbkd.2016yx04010
2015-12-25；
2016-03-28；責(zé)任編輯：李穆
河北省自然科學(xué)基金(F2015208128)；河北省教育廳青年基金(QN20140157,BJ2016020)
張建華(1980—)，男，吉林延吉人，講師，博士，主要從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、滑?？刂啤⒑桔E優(yōu)化等方面的研究。
E-mail:zhangjianhua@hebust.edu.cn
TP273
A
張建華，李楊，吳學(xué)禮，等.基于U模型的非線性系統(tǒng)Super-Twisting滑?？刂蒲芯縖J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2016,37(4):376-381.
ZHANGJianhua,LIYang,WUXueli,etal.StudyofSuper-TwistingslidingmodecontrolforUmodelbasednonlinearsystem[J].JournalofHebeiUniversityofScienceandTechnology,2016,37(4):376-381.
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