李梁晨，徐　瑞

(軍械工程學(xué)院基礎(chǔ)部,河北石家莊　050003)

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一類具有細(xì)胞感染年齡和一般飽和感染率的病毒感染動(dòng)力學(xué)模型的穩(wěn)定性分析

李梁晨，徐瑞

(軍械工程學(xué)院基礎(chǔ)部,河北石家莊050003)

為了了解病毒在人體內(nèi)的感染、受制、清除等動(dòng)力學(xué)過程，研究一類具有細(xì)胞感染年齡和一般飽和感染率的病毒感染動(dòng)力學(xué)模型，證明當(dāng)病毒的基本再生率大于1時(shí)，模型存在唯一的病毒感染穩(wěn)態(tài)解。通過分析相應(yīng)特征方程討論了可行穩(wěn)態(tài)解的局部穩(wěn)定性，在構(gòu)造Lyapunov泛函和應(yīng)用LaSalle不變集原理的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)基本再生率小于1時(shí)，病毒未感染穩(wěn)態(tài)解是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)基本再生率大于1時(shí)，病毒感染穩(wěn)態(tài)解是全局漸近穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性理論；細(xì)胞感染年齡；飽和感染率；Lyapunov泛函；LaSalle不變集原理

傳染病是威脅人類生存、發(fā)展的重要因素之一。近年來，很多學(xué)者開始從微觀角度對(duì)傳染病的流行條件進(jìn)行研究[1]，為此他們建立了一系列描述人體內(nèi)感染過程的病毒感染動(dòng)力學(xué)模型，這些模型關(guān)注于染病個(gè)體體內(nèi)的疾病動(dòng)力學(xué)過程。通過研究病毒感染動(dòng)力學(xué)模型，可以了解病毒在人體內(nèi)的感染、復(fù)制(繁衍)、清除等動(dòng)力學(xué)過程，為臨床制定合理的治療方案提供理論依據(jù)。

1996年NOWAK等[2]提出了病毒感染動(dòng)力學(xué)的基本模型。受其啟發(fā)，在文獻(xiàn)[2]中模型的基礎(chǔ)上，許多學(xué)者進(jìn)行了擴(kuò)展性的研究，對(duì)基于不同病毒的具體感染特征提出了大量的數(shù)學(xué)模型[3-7]。在這些模型中，被感染細(xì)胞的死亡率和產(chǎn)生病毒的速率都被設(shè)為了常數(shù)。然而，文獻(xiàn)[8—9]通過實(shí)驗(yàn)證明，被感染細(xì)胞的死亡率和產(chǎn)生病毒的速率是隨著細(xì)胞的感染年齡(健康細(xì)胞被感染后的時(shí)長)而改變的。因此，文獻(xiàn)[10]提出并研究了如下具有細(xì)胞感染年齡的HIV感染模型：

(1)

其中：x(t),v(t)分別表示t時(shí)刻健康T細(xì)胞的密度和細(xì)胞外具有感染性的病毒的密度；a為細(xì)胞的感染年齡；y(a,t)表示在t時(shí)刻感染年齡為a的染病T細(xì)胞的密度；s,d,u,β均為正常數(shù)，s為健康T細(xì)胞的產(chǎn)生率，d為健康T細(xì)胞的死亡率，u為病毒的死亡率；βx(t)v(t)為雙線性感染率；δ(a),k(a)分別表示感染年齡為a的染病T細(xì)胞的死亡率和產(chǎn)生病毒的速率。

在模型(1)中，感染項(xiàng)是據(jù)濃度原理[11]建立的雙線性形式的感染率βx(t)v(t)：每個(gè)健康T細(xì)胞與每個(gè)病毒之間在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生感染的概率為常數(shù)。而文獻(xiàn)[12—13]中的實(shí)驗(yàn)表明，病毒感染細(xì)胞時(shí)的感染率通常是一個(gè)關(guān)于病毒濃度的增函數(shù)，并且函數(shù)曲線通常是S型的，如在文獻(xiàn)[3]中，作者使用了一種飽和發(fā)生率βxv/(1+αv)，文獻(xiàn)[4]提出了病毒動(dòng)力學(xué)模型中更一般化的飽和感染率βxvq/(1+αvp)。

筆者研究一類具有細(xì)胞感染年齡和一般飽和感染率的病毒感染模型：

(2)

模型(2)的邊界條件為

y(0,t)=x(t)f(v(t)),

(3)

初始條件為

x(0)=xs>0，y(a,0)=ys(a)≥0,v(0)=vs>0,

(4)

基于生物學(xué)意義，假設(shè)f(v(t))滿足以下條件：

f(0)=0,f′(v(t))>0,f″(v(t))≤0,

(5)

為使模型符合實(shí)際，進(jìn)一步假設(shè)：

H1) a≥0,s>0,d>0,u>0 ；

H2)當(dāng)a≥0時(shí)，δ(a)是有界的，且對(duì)于某個(gè)正常數(shù)δmin，δ(a)>δmin恒成立；

H3) k(a)是有界的，且被感染細(xì)胞存在一個(gè)極限年齡a+，使得當(dāng)0

不難證明，模型(2)在邊界條件(3)和初始條件(4)下有唯一的非負(fù)解。

1　基本再生率與穩(wěn)態(tài)解

顯然，模型(2)總存在一個(gè)未感染穩(wěn)態(tài)解E0(x0,0,0)，其中x0=s/d。

使用文獻(xiàn)[14]中介紹的下一代矩陣方法，通過計(jì)算可以得到病毒的基本再生率的表達(dá)式為

如果模型(2)存在病毒感染穩(wěn)態(tài)解E*(x*,y*(a),v*)，則它必滿足下列方程組：

(6)

從式(6)的第2和第4個(gè)方程解得：

y*(a)=x*f(v*)e-∫a0δ(ε)dε,

(7)

將式(7)代入式(6)的第3個(gè)方程可得：

(8)

因此，若模型(2)存在病毒感染穩(wěn)態(tài)解，則以下方程組有正根。

(9)

定理1當(dāng)R0>1時(shí)，模型(2)存在唯一的病毒感染穩(wěn)態(tài)解E*。

證明考慮方程組(9)正根的存在性問題。若x*為正，方程組(9)等價(jià)于

(10)

令

計(jì)算可得：

由拉格朗日中值定理可知，在(0,v)上至少存在1點(diǎn)ξ，使得：

2　局部穩(wěn)定性

定理2當(dāng)R0<1時(shí)，模型(2)的未感染穩(wěn)態(tài)解E0是局部漸近穩(wěn)定的。

證明將模型(2)在E0處線性化并引入擾動(dòng)變量：

得到:

(11)

求式(11)滿足下列形式：

(12)

的非平凡解。

將式(12)代入式(11)可得：

(13)

從式(13)的第2和第4個(gè)方程解得：

(14)

將式(14)代入式(13)的第3個(gè)方程，整理可得模型(2)在E0處的特征方程：

(15)

下面用反正法證明，當(dāng)R0<1時(shí)，方程(15)的根都具有負(fù)實(shí)部。

假設(shè)方程(15)存在一個(gè)根λ1，滿足Re(λ1)≥0。則：

顯然，這與R0<1矛盾。因此，當(dāng)R0<1時(shí)，方程(15)的根都具有負(fù)實(shí)部，E0是局部漸近穩(wěn)定的。

定理3當(dāng)R0>1時(shí)，模型(2)的病毒感染穩(wěn)態(tài)解E*是局部漸近穩(wěn)定的。

證明將模型(2)在E*處線性化并引入擾動(dòng)變量：

x2(t)=x(t)-x*,y2(a,t)=y(a,t)-y*(a),v2(t)=v(t)-v*,

得到：

(16)

求式(16)滿足下列形式：

(17)

的非平凡解。

將式(17)代入式(16)可得：

(18)

從式(18)的第2和第4個(gè)方程解得：

(19)

從式(18)的第1個(gè)方程可以得到:

(λ+d+f(v*))c3=-f′(v*)x*c4，

(20)

將式(19)和式(20)代入式(18)的第3個(gè)方程，得到模型(2)在E*處的特征方程：

(21)

當(dāng)R0>1時(shí)，由拉格朗日中值定理和條件(5)可得：

下面用反證法證明，當(dāng)R0>1時(shí)，方程(21)的根都具有負(fù)實(shí)部。

假設(shè)方程(21)存在1個(gè)根λ1，滿足Re(λ1)≥0，則：

顯然，這是矛盾的。因此，當(dāng)R0>1時(shí)，方程(21)的根都具有負(fù)實(shí)部，E*是局部漸近穩(wěn)定的。

3　全局穩(wěn)定性

筆者通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函并應(yīng)用LaSalle不變集原理來研究模型(2)的可行穩(wěn)態(tài)解的全局穩(wěn)定性。

定理4當(dāng)R0<1時(shí)，模型(2)的未感染穩(wěn)態(tài)解E0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明記

(22)

顯然，在條件H2)和條件H3)下p(a)是有界的。p(a)的導(dǎo)數(shù)為

p′(a)=δ(a)p(a)-k(a),

(23)

構(gòu)造Lyapunov泛函：

顯然，V1(t)是非負(fù)的，且在E0處取得最小值0。沿著模型(2)的解對(duì)V1(t)求全導(dǎo)數(shù)可得：

(24)

使用分部積分法可以得到：

(25)

將式(25)代入式(24)可得：

(26)

當(dāng)v(t)=0時(shí)，

當(dāng)v(t)>0時(shí)，

由拉格朗日中值定理和條件(5)可知，存在ξ∈(0,v(t))，使得：

定理5當(dāng)R0>1時(shí)，模型(2)的病毒感染穩(wěn)態(tài)解E*是全局漸近穩(wěn)定的。

證明構(gòu)造Lyapunov泛函：

其中p(a)如式(22)中所定義。

顯然，V1(t)是非負(fù)的，且在E*處取得最小值0。沿著模型(2)的解對(duì)V2(t)求全導(dǎo)數(shù)可得：

(27)

由

和

可得：

使用分部積分法得到：

(28)

在式(28)中：

(29)

由式(28)和式(29)推出：

(30)

將式(30)代入式(27)，整理可得：

/

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Stability analysis of a viral infection dynamics model with infection age of cells and general saturated infection rate

LI Liangchen, XU Rui

(Basic Courses Department, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang，Hebei 050003, China)

In order to understand the viral dynamics processes inclucding infection, duplicate, eliminate, etc. in human body, a viral infection model with infection age of cells and general saturated infection rate is investigated. It is proved that the model has a unique infected steady state when the basic reproduction ratio is greater than one unity. By analyzing the characteristic of relevant equations, the local stability of effective steady state is dislussed. By using suitable Lyapunov functional and LaSalle’s invariance principle, it is proved that when the basic reproduction ratio is less than one unity, the infection-free steady state is globally asymptotically stable; and when the basic reproduction ratio is greater than one unity, the infected steady state is globally asymptotically stable.

stability theory; infection age of cells; saturation infection rate; Lyapunov functional; LaSalle’s invariance principle

1008-1542(2016)04-0349-08

10.7535/hbkd.2016yx04006

2015-12-09；

2016-04-19；責(zé)任編輯：張軍

國家自然科學(xué)基金(11371368)

李梁晨(1990—)，男，河北唐山人，碩士研究生，主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)方面的研究。

E-mail：llc610@126.com

O175MSC(2010)主題分類：34N05

A

李梁晨，徐瑞.一類具有細(xì)胞感染年齡和一般飽和感染率的病毒感染動(dòng)力學(xué)模型的穩(wěn)定性分析[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2016,37(4):349-356.

LI Liangchen, XU Rui.Stability analysis of a viral infection dynamics model with infection age of cells and general saturated infection rate[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2016,37(4):349-356.