魏正元,鄭小洋,蘇　翃

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院,重慶　400054)

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借助Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)快速積分

魏正元,鄭小洋,蘇翃

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院,重慶400054)

基于Gamma函數(shù)、Beta函數(shù)及其恒等式，對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的Poisson積分公式、Wallis積分公式、正態(tài)隨機(jī)變量的高階矩等問題給出了另一種快捷解答。

Gamma函數(shù);Beta函數(shù);Wallis積分公式; 大學(xué)數(shù)學(xué)

1　預(yù)備知識(shí)

開展對(duì)Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)等特殊函數(shù)的應(yīng)用研究一直深受國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視，如：文獻(xiàn)[1]研究了Gamma函數(shù)的近似解；文獻(xiàn)[2]研究了Beta隨機(jī)變量函數(shù)的協(xié)方差矩陣的上下界。雖然高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)在廣義積分部分講授了Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)的定義和基本性質(zhì)[3],但在隨后的課程教學(xué)中基本沒有涉及如何應(yīng)用Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)解題的案例。事實(shí)上,對(duì)一些廣義定積分問題,借助該2類奇異函數(shù)的等價(jià)表達(dá)式會(huì)使求解過程快速且簡(jiǎn)便。

1.1Gamma函數(shù)[3-4]

由換元積分法可得Gamma函數(shù)下列等價(jià)形式：

(1)

另外,Gamma函數(shù)以下幾個(gè)等量關(guān)系式也常用到：

(2)

1.2 Beta 函數(shù)

由換元積分法可得Beta函數(shù)有以下幾種等價(jià)形式[3-4]：

(3)

1.3Beta函數(shù)與Gamma函數(shù)的關(guān)系

Beta函數(shù)與Gamma函數(shù)的關(guān)系為[3-4]

(4)

2　Gamma 函數(shù)和 Beta 函數(shù)的應(yīng)用

例2Wallis 積分公式[4]

(5)

解析教材對(duì) Wallis 積分公式(5)的證明[4-5]均基于分部積分法和遞推數(shù)列進(jìn)行。其實(shí),等式(5)恰是Beta函數(shù),因而最簡(jiǎn)便的證明方法是借助 Beta 函數(shù)等價(jià)式(2)、Gamma 函數(shù)的等價(jià)式(3)及其關(guān)系式(4) 直接給出解答。

(6)

由式(6)可得諸多結(jié)果：

例3求正態(tài)分布X～N(μ,σ2) 的k階中心距[6-7]。

解析以下仍借助Gamma函數(shù)的相關(guān)等式進(jìn)行求解：

根據(jù)Gamma函數(shù)的關(guān)系式(1)(2) 可得

由以上典型例題可見：應(yīng)用Gamma、Beta 函數(shù)的相關(guān)等式進(jìn)行積分運(yùn)算非常方便、快捷,尤其是對(duì)概率論課程中一些問題的求解。例如：在求正態(tài)分布、Gamma 分布、指數(shù)分布、卡方分布、t分布、Beta 分布等隨機(jī)變量的n階矩時(shí),Gamma 函數(shù)和Beta函數(shù)具有相當(dāng)明顯的優(yōu)勢(shì),教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程應(yīng)加強(qiáng)Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)兩類函數(shù)的教學(xué)。

[1]LU D,SONG L,MA C.Some new asymptotic approximations of the gamma function based on Nemes’ formula,Ramanujan’s formula and Burnside’s formula[J].Applied Mathematics and Computation,2015,253:1-7.

[2]WEI Z Y,ZHANG X S.Covariance matrix inequalities for functions of Beta random variables[J].Statistics and Probability Letters,2015,79(7):873-879.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京:高等教育出版社,2009：147.

[4]張筑生.數(shù)學(xué)分析新講[M].北京:北京大學(xué)出版社,1990：252.

[5]李永樂,王式安,季文鐸.數(shù)學(xué)歷年真題權(quán)威解析(試卷版) [M].北京:國(guó)家行政學(xué)院出版社,2014.

[6]盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) [M].4版.北京:高等教育出版社,2013.

[7]李賢平.概率論基礎(chǔ) [M].2版.北京:高等教育出版社,1997.

(責(zé)任編輯劉舸)

IntegralsBasedonGammaandBetaFunction

WEIZheng-yuan,ZHENGXiao-yang,SUHong

(SchoolofSciences,ChongqingUniversityofTechnology,Chongqing400054,China)

WepresentedanalternativemethodtosolvePoissonintegralformula,Wallisintegralformulaandmomentofnormaldistributioninadvancedmathematicstextbookbytheuseofgammafunction,betafunctionandtheirrelations.

Gammafunction;Betafunction;Wallisintegralformula;advancedmathematics

2015-10-10

重慶理工大學(xué)研究生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(yjg2015208)；重慶理工大學(xué)教研項(xiàng)目(2013YB33)；重慶理工大學(xué)高數(shù)課程專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目(0101130792)

魏正元(1975—)，男，湖北襄陽(yáng)人，博士，副教授，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)、金融統(tǒng)計(jì)、金融數(shù)學(xué)研究，E-mail:zyweimath@163.com。

format：WEIZheng-yuan,ZHENGXiao-yang,SUHong.IntegralsBasedonGammaandBetaFunction[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology(NaturalScience)，2016(9):129-132.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.09.021

G642.4

A

1674-8425(2016)09-0129-04

引用格式：魏正元,鄭小洋,蘇翃.借助Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)快速積分[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(9):129-132.