蒲　浩，蔣海軍，劉衍民，張轉(zhuǎn)周

(1.遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院， 貴州 遵義　563002;2.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊　830046)

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具有非線性脈沖效應(yīng)和混合時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步

蒲浩1，蔣海軍2，劉衍民1，張轉(zhuǎn)周1

(1.遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院， 貴州 遵義563002;2.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊830046)

研究了一類具有非線性脈沖效應(yīng)和混合時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步。 通過(guò)李雅普洛夫穩(wěn)定性理論和一些不等式方法，利用p-范數(shù)得到了新的指數(shù)同步的充分條件。和之前的脈沖效應(yīng)是線性函數(shù)的結(jié)論相比較，消除了對(duì)線性脈沖效應(yīng)系數(shù)γij∈[0,2]的限制，適用范圍更廣泛。

指數(shù)同步；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；混合時(shí)滯；非線性脈沖效應(yīng)；p-范數(shù)

近年來(lái)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步在許多科學(xué)領(lǐng)域中的理論研究和實(shí)踐應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，例如，在信號(hào)和影像傳遞過(guò)程、聯(lián)想記憶、生態(tài)系統(tǒng)、組合優(yōu)化、軍事領(lǐng)域、人工智能系統(tǒng)等。為此,許多學(xué)者對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步進(jìn)行了廣泛的研究[1-4]。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步不僅受到外界的干擾,而且受到自身因素的影響。例如：信號(hào)在不同的神經(jīng)元之間的傳遞過(guò)程中受到外界的干擾,出現(xiàn)了擾動(dòng)時(shí)滯；信號(hào)在不同的神經(jīng)元之間的傳遞速度和轉(zhuǎn)換速度是有限的,從而出現(xiàn)了信號(hào)傳遞的滯后現(xiàn)象[5-6]，該現(xiàn)象會(huì)影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)傳遞同步。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,信號(hào)在不同神經(jīng)元之間的傳遞過(guò)程中受到外界的干擾會(huì)引起信號(hào)的短暫波動(dòng),即脈沖現(xiàn)象。許多研究者對(duì)具有脈沖效應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步問(wèn)題進(jìn)行了廣泛的研究[7-9]。但這些研究所考慮的脈沖效應(yīng)主要是線性函數(shù),比如文獻(xiàn)[7-9]考慮的脈沖效應(yīng)是線性函數(shù)Δxi(tk)=-γikxi(tk) 且γij∈[0,2]，但在實(shí)際的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的脈沖效應(yīng)系數(shù)不只局限于γij∈[0,2]。

1　模型和預(yù)備知識(shí)

考慮如下的具有非線性脈沖效應(yīng)和混合時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

(1)

系統(tǒng)(1)的初值條件為

(2)

對(duì)于系統(tǒng)(1)，假設(shè)：

把系統(tǒng)(1)作為主驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，為了同步，引入如下響應(yīng)系統(tǒng)：

(3)

其中：ui(t)表示如下的外部輸入控制：

(4)

kij(i，j∈I)是一個(gè)常數(shù)。

響應(yīng)系統(tǒng)(3)的初值條件是：yi(s)=φi(s)，s∈[-τ，0]，i∈I，其中φi(s)=(φ1(s)，φ2(s),…,φn(s))T∈C([-τ，0]，Rn)，定義誤差系統(tǒng)為ei(t)=yi(t)-xi(t)。由驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)，可以得到如下的誤差系統(tǒng)：

(5)

(H2)對(duì)任意的i∈I，λi-ξi-αi-βi>0成立。

構(gòu)造一個(gè)函數(shù)列：

當(dāng)εi=0時(shí)，根據(jù)假設(shè)(H2)，有Fi(0)=λi-ξi-αi-βi>0，i∈I，而

定義1如果存在常數(shù)A≥1使得

(6)

2　輔助引理

引理 1[10]對(duì)任意的非負(fù)實(shí)數(shù)a和b，不等式

(7)

成立。

為了證明后面主要結(jié)論的需要，由引理(1)經(jīng)過(guò)計(jì)算可知：

(8)

(9)

(10)

(11)

成立。

對(duì)任意的(x1，x2，…，xn)∈Rn，(y1，y2，…，yn)∈Rn，i∈I和k∈Z+成立。

3　主要結(jié)果

定理1如果(H1)～(H4)成立，在恰當(dāng)?shù)耐獠靠刂戚斎雞i(t)(i∈I)的條件下，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)是全局指數(shù)同步的。

證明構(gòu)造如下形式的Lyapunov函數(shù)：

(12)

(13)

當(dāng)t=tk時(shí)，由假設(shè)(H3)-(H4)有如下結(jié)果

(14)

定義

(15)

由式(12)～(15)可知：z(t)≤V(t)≤ρk-1V(tk-1)≤ρ1ρ2，…，ρk-1V(0)，對(duì)t∈(tk-1，tk]，k∈Z+，ρ0=1。由假設(shè)(4)可知：ρk≤e(tk-tk-1),k∈Z+, z(t)≤eα(t1-0)，…，eα(tk-1-tk-2)V(0)≤eαtV(0)，t∈(tk-1，tk]，k∈Z+。結(jié)合前面的計(jì)算，有下列不等式成立：

(16)

當(dāng)t=0時(shí)，由式(12)可知

(17)

由式(16)和(17)可知

(18)

由式(18)可知

說(shuō)明驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)是全局指數(shù)同步的。

4　推論

若在系統(tǒng)(1)中的脈沖函數(shù)是如下的線性函數(shù)：Δxi(tk)=γikxi(tk) 時(shí)，則有

根據(jù)定理(1)，有如下推論成立：

[1]LIANGJ,WANGZ,LIUX.OnSynchronizationofCoupledDelayedNeuralNetworks[M].[S.l.]:RecentAdvancesinNonlinearDynamicsandSynchronization,2009:117-149.

[2]CHENGC,LIAOT,YANJ,etal.ExponentialSynchronizationofAClassofNeuralNetworksWithTime-VaryingDelays[J].IEEETransSyst,ManandCybernetics,PartB:Cybern,2006,36(1):209-215.

[3]YANGXS,CAOJD,YUWW.ExponentialSynchronizationofMemristiveCohen-GrossbergNeuralNetworkswithMixedDelays[J].CognitiveNeurodynamics,2014,8(3):239-249.

[4]WANGK,TENGZD,JIANGHJ.AdaptiveSynchronizationinanArrayofLinearlyCoupledNeuralNetworkswithReaction-DiffusionTermsandDelays[J].CommumnicationinNonlinearScienceandNumericalSimulation,2012,17(10):3866-3875.

[5]YANJ,LINJ,HUNGM.OntheSynchronizationofNeuralNetworksContainingTime-VaryingDelaysandSectorNonlinearity[J].PhysLettA,2007,361:70-77.

[6]YUJ,HUC,JIANGHJ,etal.ExponentialLagSynchronizationforDelayedFuzzyCellularNeuralNetworksviaPeriodicallyIntermittentControl[J].MathematicsandComputersinSimulation,2012,82(5):895-908.

[7]SHENGL,YANGHZ.ExponentialSynchronizationofaClassofNeuralNetworkswithMixedTime-VaryingDelaysandImpulsiveEffects[J].Neurocomputing,2008,71(16):3666-3674.

[8]YANGYQ,CAOJD.ExponentiallagSynchronizationofaClassChaoticDelayedNeuralNetworkswithImpulsiveEffects[J].PhysicaA,2007,386:492-502.

[9]FENGXM,ZHANGFQ,WANGWJ.GlobalExponentialSynchronizationofDelayedFuzzyCellularNeuralNetworkswithImpulsiveEffects[J].ChaosSolitionsFractals,2011,44(1):9-16.

[10]YUJ,HUC,JIANGHJ,etal.ExponentiallagSynchronizationforNeuralNetworkswithMixedDelaysviaPeriodicallyIntermittentControl[J],Chaos,2010,20(2):023108-023115.

(責(zé)任編輯何杰玲)

Exponential Synchronization of Neural Networks with Nonlinear Impulsive Effects and Mixed Time Delays

PU Hao1, JIANG Hai-jun2, LIU Yan-min1, ZHANG Zhuan-zhou1

(1.School of Mathematics and Computational Science,Zunyi Normal College, Zunyi 563002, China;2.College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi 830046, China)

Exponential synchronization of neural networks with nonlinear impulsive γij∈[0,2]effects and mixed time delays was discussed. By Lyapunov stability theory and inequality techniques, some new and useful sufficient conditions on the exponential synchronization were obtained based onp-norm. Compared with recently years of linear impulsive effects results about neural networks synchronization, our results remove the restrictions that the impulsive gain γij∈[0,2], so our results are more general.

exponential synchronization; neural network; mixed time delay; nonlinear impulsive effects;p-norm

2016-03-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71461027)；貴州省計(jì)劃科技項(xiàng)目(黔科合LH字[2015]7053號(hào)，黔科合LH字[2015]7005)

蒲浩(1986—)，男，甘肅天水人，碩士，主要從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步研究，E-mail:puhao2100@163.com。

format：PU Hao, JIANG Hai-jun, LIU Yan-min,et al.Exponential Synchronization of Neural Networks with Nonlinear Impulsive Effects and Mixed Time Delays[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(9):143-150.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.09.024

O175.1

A

1674-8425(2016)09-0143-08

引用格式：蒲浩，蔣海軍，劉衍民， 等.具有非線性脈沖效應(yīng)和混合時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(9):143-150.