王　濤，蔡　敏，林　杉，李　洋，吳黎軍

(1 新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 烏魯木齊　830046；2.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安　730000)

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基于卡爾曼算法的回歸信度模型研究

王濤1，蔡敏1，林杉2，李洋1，吳黎軍1

(1 新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 烏魯木齊830046；2.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安730000)

主要研究在卡爾曼算法下的回歸信度模型的信度估計(jì)問題，即將卡爾曼算法運(yùn)用到回歸信度模型中，得出了回歸信度模型推導(dǎo)的另一種方法。由結(jié)果可知：用卡爾曼算法推導(dǎo)出的遞推公式與用貝葉斯方法推出的結(jié)果一致，但用卡爾曼算法更直接、更簡(jiǎn)單，從而推廣了經(jīng)典的信度理論。

卡爾曼算法；回歸信度模型；信度理論

在非壽險(xiǎn)精算學(xué)中，信度理論一直是最重要的保費(fèi)定價(jià)方式之一，其基本原理是精算師根據(jù)投保人過去的索賠經(jīng)歷來預(yù)測(cè)投保人未來的風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)。信度理論最早為Mowbray[1]和Whithey[2]所研究，且提出了最基本的保費(fèi)公式：

(1)

卡爾曼濾波(Kalman filtering)是一種利用線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過輸入輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的算法[6-8]。由于觀測(cè)數(shù)據(jù)中包括系統(tǒng)中的噪聲和干擾的影響，所以最優(yōu)估計(jì)也可看作濾波過程。數(shù)據(jù)濾波是去除噪聲還原真實(shí)數(shù)據(jù)的一種數(shù)據(jù)處理技術(shù)。Kalman濾波在測(cè)量方差已知的情況下，能從一系列存在測(cè)量噪聲的數(shù)據(jù)中估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。由于其便于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn),并能對(duì)現(xiàn)場(chǎng)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)的更新和處理,成為目前應(yīng)用最為廣泛的濾波方法,在通信、導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制等多領(lǐng)域得到較好的應(yīng)用[9]。

R.K.Mehra[10]在1975年第一次將卡爾曼算法和信度保費(fèi)聯(lián)系起來，從而得出了一種新的計(jì)算信度保費(fèi)的方法。隨后，吉林大學(xué)的李一英[8]在其碩士論文中將卡爾曼算法推廣到了Buhlmann-Straub信度模型，并得出了一系列重要的保費(fèi)公式。本文進(jìn)一步將卡爾曼算法運(yùn)用到回歸信度模型中，推導(dǎo)出回歸信度模型的卡爾曼保費(fèi)計(jì)算公式，即得出了最大精度信度模型推導(dǎo)的另一種方法。由結(jié)果可知：用卡爾曼算法推導(dǎo)出來的遞推公式與貝葉斯方法推出的結(jié)果一致，但卡爾曼算法能直接用結(jié)構(gòu)化的公式推出信度模型的遞推式，從而推廣了經(jīng)典的信度理論[11]。

1　回歸信度模型

1.1基本理論

在介紹回歸信度模型之前，先引入一個(gè)基本的定理。

1.2回歸信度模型

1)θ是一個(gè)不可觀測(cè)的隨機(jī)變量，且θ∈Θ。

2　卡爾曼濾波模型

2.1模型簡(jiǎn)介

卡爾曼濾波最早由Kalman[13]于1960年提出，并于1961年與Bucy合作，將這一濾波方法推廣到連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中去，從而形成Kalman濾波估計(jì)理論?？柭鼮V波是一種蘊(yùn)含著遞歸思想的數(shù)學(xué)方法，它能從一組包含白噪聲且并不完全的觀測(cè)向量中估計(jì)出整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)。

卡爾曼濾波包含2個(gè)導(dǎo)式：

(2)

為了表示方便，將式(2)寫成另一種形式：

(3)

其中：t為離散的時(shí)間點(diǎn)；Y(t)是系統(tǒng)在時(shí)刻t的觀測(cè)向量；X(t)是一個(gè)已知的矩陣，描述了Y(t)與系統(tǒng)的相關(guān)性；μ(t)和ν(t)是2個(gè)均值為0的誤差向量，即白噪聲；H(t)是一個(gè)已知的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，表示系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)到t-1時(shí)刻的狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移。對(duì)于任意的時(shí)刻t、s(t≠s)，隨機(jī)向量μ(t),μ(s),v(t),v(s)是相互獨(dú)立的。

2.2模型推導(dǎo)

卡爾曼濾波模型的推導(dǎo)方法主要運(yùn)用正交投影理論，在推導(dǎo)之前，本文先給出幾個(gè)正交投影結(jié)論[14]：

因?yàn)?/p>

由正交投影結(jié)論3)可知：

可得

反復(fù)運(yùn)用正交投影理論，同時(shí)設(shè)定

最終可得[15]：

(4)

3　卡爾曼算法在回歸信度模型中的應(yīng)用

本文已給出了卡爾曼模型的基本公式，即：

進(jìn)一步可得信度公式為：

4　結(jié)束語

卡爾曼算法是一種基于遞歸思想的計(jì)算方法。本文在前人研究基礎(chǔ)上，創(chuàng)新性地將卡爾曼濾波模型運(yùn)用到回歸信度模型中，得出了基于卡爾曼濾波的回歸模型信度公式?？梢园l(fā)現(xiàn)：由卡爾曼濾波推導(dǎo)出的公式與傳統(tǒng)的回歸模型信度公式完全等價(jià)，且由卡爾曼濾波可以直接用結(jié)構(gòu)化的公式進(jìn)行推導(dǎo)，簡(jiǎn)單、迅速，效率較高。

[1]MOWBRAY A H.How extensive a payroll is necessary to give a dependable pure premium [J].Proceedings of the Casualty Actuarial Society,1914(1):24-30.

[2]WHITNEY A.The theory of experience rating [J].Proceedings of the Casualty Actuarial Society,1918(4):274-292.

[3]BAGNOLI M,BERGSTROM T.Log-concave probability and its applications [J].Economic Theory,2005,26:445-469.

[4]THOMAS M,COVE J A.信息論基礎(chǔ)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008.

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[8]靳宗信,樊紅娟.一種基于CHEBYSHEV正交多項(xiàng)式的卡爾曼濾波器[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015(8):133-138.

[9]ZEHNWIRTH B.A generalization of the Kalman filter for models with state-dependent observation variance[J].Journal of the American Statistical Association,1988,83(401):164-167.

[10]MEHRA R K.Credibility theory and Kalman filtering with extensions[C]//Decision and Control including the 15th Symposium on Adaptive Processes,1976 IEEE Conference.[S.l.]:IEEE,1976:183-185.

[11]李一英.Kalman算法在一類Bühlmann-Straub推廣模型中的應(yīng)用研究[D].長(zhǎng)春:吉林大學(xué),2014.

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[15]LUENBERGER D G.Optimization by vector space methods[M].New York:John Wiley & Sons,1997.

(責(zé)任編輯劉舸)

Study on Regression Credibility Model Based on Calman Algorithm

WANG Tao1，CAI Min1，LIN Shan2，LI Yang1，WU Li-jun1

(1.College of Mathematics and System Science, Xinjiang University, Urumqi 830046，China;2.School of Statistics, Xi’an University of Finance and Economy, Xi’an 730000, China )

This paper mainly studied the problem of estimating the reliability of regression credibility model based on the Calman algorithm, and Calman algorithm was applied to the regression credibility model, and another method for deriving regression credibility model was obtained. The result shows that the result is consistent with the result obtained by using Bayesian method and calman algorithm. But using the Calman algorithm, we can directly derive reliability model.The method is simple and convenient, which generalizes the classical reliability theory.

Calman algorithm; regression credibility model; credibility theory；

2015-10-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11361058)；新疆大學(xué)國(guó)家大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)實(shí)訓(xùn)項(xiàng)目(201410755005)

王濤(1993—)，男，主要從事統(tǒng)計(jì)學(xué)與金融數(shù)學(xué)研究；通訊作者 吳黎軍(1961—)，男，教授，主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)與金融數(shù)學(xué)研究,E-mail:xjmath@xju.edu.cn。

format：WANG Tao，CAI Min，LIN Shan,et al.Study on Regression Credibility Model Based on Calman Algorithm[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(9):133-137.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.09.022

O211.5

A

1674-8425(2016)09-0133-05

引用格式：王濤,蔡敏，林杉,等.基于卡爾曼算法的回歸信度模型研究[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(9):133-137.