李姍姍　曲政豪

1　信息工程大學地理空間信息學院，鄭州市科學大道62號，450001

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重力數(shù)據(jù)誤差對大地水準面模型建立的影響

李姍姍1曲政豪1

1信息工程大學地理空間信息學院，鄭州市科學大道62號，450001

基于Stokes理論建立的大地水準面模型，其精度受重力數(shù)據(jù)誤差，即重力數(shù)據(jù)分辨率、精度以及積分范圍的影響。針對這一問題，通過重力場譜特征分析，給出不同地形區(qū)域重力數(shù)據(jù)分辨率以及積分半徑造成的大地水準面高頻截斷誤差的量級大小，計算平均重力異常誤差對大地水準面建模精度的影響。研究成果對不同地形區(qū)域cm級大地水準面模型的建立具有理論與指導意義。

截斷誤差；大地水準面；平均重力異常；代表誤差；積分半徑

建立高精度高分辨率的大地水準面模型需要有地面上的重力異常。因為測量總是在地面離散點上進行，不能滿足理論上連續(xù)分布的數(shù)據(jù)要求，因此以重力異常計算大地水準面時，都是使用數(shù)值化的方法來實現(xiàn)。最為常見的是將積分的球面劃分成若干個面積，以該面積內(nèi)或其周圍已知的重力異常推求出該面積的平均重力異常，再用求和的方法完成積分的數(shù)值計算。由上述或等價的其他數(shù)值方法確定大地水準面將產(chǎn)生來自兩個方面的誤差：一是模型誤差，即解式本身的誤差(如地形起伏影響、球近似的影響等)，可通過提高解式的嚴密性來減弱[1-4]；二是源于重力數(shù)據(jù)的誤差，體現(xiàn)在平均重力異常的分辨率(即面積大小)、積分半徑的選取及其精度兩個方面。本文擬針對1′×1′ cm級大地水準面模型的建立，研究分析不同地形區(qū)域?qū)Ψe分半徑選取以及平均重力異常精度的要求。

1　重力數(shù)據(jù)的分辨率與精度

利用Stokes-Pizzetti公式計算大地水準面可表示為[5-6 ]：

(1)

(2)

在實際應用中，顯然不可能采用全球積分。對于局域大地水準面模型的建立，一般采用求和的方法完成積分的數(shù)值計算，即將(1)式表示成如下的形式：

(3)

從式(3)可以看出，大地水準面模型建立的精度主要受兩部分影響：一方面，平均重力異常的格網(wǎng)面積越小，即數(shù)值積分的單元面積劃分越細，積分范圍越大，則數(shù)值積分的結(jié)果就越精確；另一方面，水準面的精度還受到網(wǎng)格平均重力異常誤差的影響，這一誤差主要因為觀測值稀疏與數(shù)據(jù)處理不完善造成?？蓪⒋蟮厮疁拭娼Ｕ`差分為由平均重力異常分辨率以及積分半徑引起的截斷誤差部分m1和平均重力異常誤差所引起的誤差部分m2，即

(4)

2　截斷誤差計算

取計算點周圍(球冠半徑為ψ0)1′×1′分辨率的重力異常數(shù)據(jù)，結(jié)合EGM2008模型，采用移去-恢復技術(shù)計算大地水準面，位系數(shù)誤差的影響可通過具體的模型誤差來分析，這里暫且將它忽略。則截斷誤差主要包含兩部分：

第一部分，是僅采用1′×1′重力數(shù)據(jù)計算大地水準面所造成的影響，即在整個球面上忽略了頻段n=10 801～的重力數(shù)據(jù)而導致的高頻截斷誤差：

(5)

其中，誤差估計為：

(6)

第二部分，由于積分半徑(球冠半徑ψ0)以外區(qū)域采用的是2 160階的EGM2008模型，相當于5′×5′的重力數(shù)據(jù)，也就是說，在該積分區(qū)域外還存在n=2 161～10 800的截斷誤差：

(7)

其中，誤差估計為：

(8)

式中，Qn為截斷系數(shù)，可表示為[7]：

(9)

研究推導Qn的文獻很多。忽略其推導步驟，其計算式如下[7]：

(10)

式中，

Jn(ψ0)=

J0(ψ0)=I1(ψ0)

Kn+1(ψ0)-2Kn(ψ0)+Kn-1(ψ0)=

利用Rapp-Tscherning模型估計得重力異常階方差為[8]：

(11)

式中，A=425.28，S=0.999 623，B=24，C2=7.5 (mGal)2。

根據(jù)式(6)和式(11)，計算得到1′×1′重力數(shù)據(jù)分辨率造成的高頻截斷誤差為0.63 cm。然后取不同的積分半徑，依據(jù)式(8)～(11)計算積分半徑外的截斷誤差，計算結(jié)果如表1所示。

表1　不同積分半徑造成的截斷誤差

3　不同地形區(qū)域重力場的譜特征

當利用式(6)、式(8)來估計分辨率以及遠區(qū)高頻截斷部分造成的誤差并以此確定平均重力異常積分半徑時，是根據(jù)重力異常階方差Cn估算的。而由式(11)給出的階方差模型(以及其他一些已知模型)是國外學者通過全球重力異常的統(tǒng)計分析得出的經(jīng)驗公式，因此代表了全球重力異常的一般特征，但各個不同地區(qū)重力場的具體情況是有差異的。數(shù)據(jù)分辨率誤差的本質(zhì)是平均重力異常與其代表面積內(nèi)各點重力異常的差異，即代表誤差。對于局部地區(qū)，通常采用下面的代表誤差模型[8]：

E2=4C2D

(12)

其中，D是平均重力異常矩形網(wǎng)格的邊長，以km為單位；C稱為代表誤差系數(shù)，它與各地區(qū)的地形情況(反映了重力場的復雜度)有關(guān)。

由于

(13)

式中，角標K代表不同的地形類別。由代表誤差的經(jīng)驗公式可見，不同地形類別的代表誤差僅相差一個常數(shù)因子，故可取：

(14)

即

(15)

從而，可由C求得相應的常數(shù)AK：

(16)

表2　不同地形區(qū)域AK統(tǒng)計

因而，考慮到不同的地形類別，式(6)與式(8)的高頻截斷誤差分別變?yōu)椋?/p>

(17)

(18)

根據(jù)式(17)計算的不同地形區(qū)域重力數(shù)據(jù)1′×1′分辨率造成的高頻截斷誤差如表3所示。

表3　不同地形區(qū)域重力數(shù)據(jù)1′×1′分辨率

從表3可以看出，1′×1′數(shù)據(jù)分辨率造成的高頻截斷誤差，即使在特大山區(qū)，也僅為1.88 cm，因此1′×1′重力數(shù)據(jù)分辨率能滿足cm級大地水準面建模的精度要求。根據(jù)式(18)計算的不同地形區(qū)域不同積分半徑造成的截斷誤差示于表4。

從表4可以看出，當積分半徑取至20′時，在平原、丘陵和小山區(qū)均能滿足cm級大地水準面建模的要求；但對于中山區(qū)與大山區(qū)而言，則積分半徑至少需要取至30′和70′；而對于特大山區(qū)，積分半徑即使取至2°也無法滿足cm級建模的精度要求。繼續(xù)擴大特大山區(qū)積分區(qū)域，結(jié)果示于表5。當積分半徑取至3°時，在特大山區(qū)積分半徑造成的截斷誤差為9.65 cm。

表4　不同積分半徑在不同地形區(qū)域造成的截斷誤差

表5　不同積分半徑在特大山區(qū)造成的截斷誤差

4　重力數(shù)據(jù)誤差影響

僅考慮近區(qū)平均重力異常誤差對大地水準面的影響，將式(3)表示為：

(19)

式中，S為線性化Stokes積分算子，δΔg為重力異常值向量。設(shè)平均重力異常的方差為CδΔg，根據(jù)誤差傳播定理，可得大地水準面的方差CδN為：

(20)

因此，平均重力異常中誤差與大地水準面高中誤差的關(guān)系為：

(21)

考慮到中央?yún)^(qū)S(ψ)的計算存在奇異問題，因此將式(20)表示為中央?yún)^(qū)σ0與扣除中央?yún)^(qū)σ-σ0的組合：

(22)

式中，MδN(σ-σ0)計算如式(21)。而在中央?yún)^(qū)，由于[6]

(23)

代入到式(1)，得到平面近似下中央?yún)^(qū)大地水準面的計算公式[1]：

(24)

其中，

(25)

通過式(25)，依據(jù)誤差傳播定理，將Δg(x,y)的誤差傳播給擬合系數(shù)aij，再通過式(24)計算MδN(σ0)。

選擇不同積分半徑計算3mGal、5mGal、10mGal以及20mGal平均重力異常誤差對大地準面計算精度的影響，計算點位置(33°，110°)，計算結(jié)果如表6所示(分辨率1′×1′，單位cm)。

表6　不同積分半徑平均重力異常數(shù)據(jù)誤差

從表6可以看出，隨著積分半徑的增大，平均重力異常誤差對大地水準面建模精度的影響逐漸增大。綜合表3、表4與表6，我們可以根據(jù)局域大地水準面建模精度的要求，選擇合適的積分半徑，并對1′×1′平均重力異常精度提出要求。例如假定某計算區(qū)域為一大山區(qū)，要求大地水準面精度為10 cm，我們選定積分半徑為80′，該區(qū)域1′×1′平均重力異常精度為10 mGal，則大地水準面建模精度為11.23 cm；如果該區(qū)域1′×1′平均重力異常精度為3 mGal，則大地水準面建模精度為10.12 cm。選定積分半徑為120′，平均重力異常精度為10 mGal，則大地水準面建模精度為9.21 cm；如果該區(qū)域平均重力異常精度為3 mGal，則大地水準面建模精度為8.04 cm。顯然，積分半徑越大，平均重力異常精度越高，建模精度就越高。考慮到重力測量的工程量，在建立局域大地水準面模型之前，需要根據(jù)建模精度的需求選擇合適的積分半徑與平均重力異常精度，盡可能地滿足建模精度需求，且測量任務又不至于過于繁重。

5　結(jié)　語

本文研究分析了1′×1′cm級大地水準面建模精度對不同地形區(qū)域積分半徑選取以及平均重力異常精度的要求。實驗表明，當積分半徑取至20′時，在平原、丘陵和小山區(qū)均能滿足cm級大地水準面的建模要求；對于中山區(qū)與大山區(qū)而言，則積分半徑至少需要取至30′和70′；而對于特大山區(qū)，當積分半徑取至3°時，其造成的截斷誤差為9.65 cm。同時，給出了3 mGal、5 mGal、10 mGal以及20 mGal平均重力異常誤差對大地準面建模精度影響的量級大小。綜合計算結(jié)果，我們可以選擇合適的積分半徑以及平均重力異常精度，使之既滿足建模精度需求，又避免冗余繁重的工程測量任務。本文的研究成果對于計算確定局域cm級大地水準面模型具有參考價值與指導意義。

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About the first author:LI Shanshan, PhD, professor, PhD supervisor, majors in physical geodesy, E-mail: zzy_lily@sina.com.

Effect of Error of Gravity Data on Geoid Determination

LIShanshan1QUZhenghao1

1Institute of Surveying and Mapping, Information Engineering University, 62 Kexue Road, Zhengzhou 450001, China

Determining accurate regional geoid with Stokes theory can be affected by gravity data errors, such as resolution of gravity, precision of mean gravity and integral radius. In order to solve this problem, the magnitude of truncation errors of geoids in different terrain areas, which are caused by gravity resolution and integral radius, are given based on the analysis of characteristics of the gravity frequency spectrum. Also, the effect of error of mean gravity anomalies on geoid construction is calculated. Therefore, the results put forward in this paper contain great theoretical value for centimeter geiod calculation in different terrain areas.

truncation error; geoid; mean gravity anomaly; representation error; integral radius

National Natural Science Foundation of China, No.41274029; National High Technology Research and Development Program, No.2013AA122502.

2015-10-30

李姍姍，博士，教授，博士生導師，主要從事物理大地測量學研究，E-mail:zzy_lily@sina.com。

10.14075/j.jgg.2016.10.001

1671-5942(2016)010-0847-04

P223

A

項目來源：國家自然科學基金(41274029)；國家863計劃(2013AA122502)。