張　兢,李冠迪，史文進，曾建梅

(重慶理工大學 電子信息與自動化學院，重慶 400054)

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基于新閾值函數(shù)的小波去噪算法*

張兢,李冠迪，史文進，曾建梅

(重慶理工大學 電子信息與自動化學院，重慶 400054)

分析了小波去噪的特點，針對軟、硬閾值的缺陷，構造出一種新的閾值函數(shù)及閾值估計方法。新閾值函數(shù)連續(xù)可導并且新閾值估計方法具有優(yōu)良的自適應性。仿真實驗表明，該方法可以有效去除白噪聲干擾，信噪比更高，均方根誤差更小，且重構信號的近似性好。

小波閾值去噪；閾值函數(shù)；閾值估計；信噪比；均方根誤差

引用格式：張兢,李冠迪，史文進，等. 基于新閾值函數(shù)的小波去噪算法[J].微型機與應用，2016,35(17)：20-22,25.

0　引言

在信號的采集、傳輸過程中，不可避免地會受到各種噪聲干擾，對信號去噪處理已成為人們關注和研究的熱點。小波變換具有多分辨率分析的特點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力[1]，時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài)動態(tài)調整，能有效區(qū)分非平穩(wěn)信號中的突變部分和噪聲[2]，可在提高信噪比的同時保持對突變信息的良好分辨能力。

小波去噪方法有：模極大值法、小波閾值去噪法以及相關去噪法。其中，運用最為廣泛的是DONOHO D L在1995年提出的小波閾值去噪的算法[3-4]，該方法處理含噪信號時采用軟閾值函數(shù)與硬閾值函數(shù)。但傳統(tǒng)軟閾值函數(shù)存在恒定偏差缺陷，以及硬閾值函數(shù)有振蕩現(xiàn)象的缺陷[5]。本文深入分析小波軟硬閾值的優(yōu)缺點，綜合其他學者提出的閾值函數(shù)，在此基礎上構造出一種新的閾值估計與閾值函數(shù)。通過仿真實驗分析，新閾值函數(shù)連續(xù)可導，既解決了軟閾值函數(shù)存在恒定偏差的問題，又解決了硬閾值函數(shù)存在振蕩現(xiàn)象的問題，具有較好的實用性。

1　小波閾值去噪基本原理

1.1小波變換

假設含噪信號的觀測值為f(t)，則:

f(t)=s(t)+σn(t)

(1)

其中,s(t)為信號在時刻t的真實值，n(t)為高斯白噪聲，σ為噪聲標準差。小波變換的目的是抑制n(t)以恢復s(t)。對于一維信號f(t)而言，首先要對它進行離散采樣，得到N點離散信號f(n),n=1,2,…,N-1，其小波變換為：

(2)

1.2小波閾值去噪

從數(shù)學角度分析，小波閾值去噪本質上是函數(shù)逼近問題；從信號處理角度分析，則為信號濾波問題[6]。在實際信號中，噪聲通常分布在高頻信號中，而純凈信號通常分布在低頻信號中，則可通過設置閾值方法將噪聲信號分離出去[7]。小波閾值去噪法的流程圖如圖1所示。

圖1　小波閾值去噪流程圖

(1)硬閾值(Hard Thresholding)

(3)

(2)軟閾值(SoftThresholding)

(4)

為了對比軟閾值與硬閾值的處理效果，設一原始信號為：

(5)

分別對其進行軟閾值和硬閾值去噪，仿真結果如圖2所示。

圖2　不同閾值下的信號

由圖2可知，硬閾值函數(shù)在ωj,k=±λ處不連續(xù)，去噪時造成較大方差，重構信號出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象。軟閾值函數(shù)的小波系數(shù)連續(xù)性雖好，但當ωj,k>λ或ωj,k<-λ時，軟閾值對小波系數(shù)進行壓縮時存在恒定的偏差，并且軟硬閾值函數(shù)不具有高階可導性，不易實現(xiàn)數(shù)字處理。因此，尋找一種既可以克服軟硬閾值缺陷，又高階可導的新閾值函數(shù)至關重要。

2　新閾值函數(shù)與閾值估計

2.1閾值函數(shù)的選取

針對上述軟閾值與硬閾值的不足，學者們提出了許多改進閾值函數(shù)，較經(jīng)典的如參考文獻[8]提出的一種自適應的閾值函數(shù)：

(6)

上述的閾值函數(shù)具有很好的自適應性，但是卻存在振蕩和偽吉布斯效應，在閾值處并不光滑。為了克服這些弱點本文在此基礎之上構造了一種新的閾值函數(shù)：

(7)

構造的新閾值函數(shù)不但具有連續(xù)性，并且當ωj,k>λ或ωj,k<-λ時具有高階可導性，新閾值函數(shù)對各種數(shù)字信號處理都很方便，證明如下：

(8)

(9)

同理：

(10)

=1,x>0

(11)

同理：

(12)

2.2改進閾值估計

在小波閾值去噪中不僅閾值函數(shù)是影響去噪效果的關鍵因素，閾值估計也至關重要。目前，人們通常采用統(tǒng)一閾值，但是此閾值與信號長度N相關，信號長度N越大，小波系數(shù)被置0的數(shù)目越多，導致“過扼殺”現(xiàn)象[9]；反之則會導致消噪不足的現(xiàn)象。為了避免上述現(xiàn)象發(fā)生，在統(tǒng)一閾值的基礎上引入了一個適中的收縮因子，新閾值估計的數(shù)學公式為：

(13)

式中，σ為噪聲標準差，Nj為各層高頻系數(shù)的長度，L為分解層數(shù)。由式(13)可得：隨著分解層數(shù)L的不同，閾值估計的大小隨之自動調節(jié)，因此具有較強的自適應性。

3　仿真實驗及分析

3.1去噪效果的評價指標

采用信噪比SNR和均方根誤差RMSE對去噪效果進行比較評價，信噪比表示的是信號中含有噪聲的多少，其值越大，信號中噪聲含量越少；均方根誤差表示測量樣本的可靠性，其值越小，測量的可靠性越高。表達式如式(14)和式(15)所示。

(14)

(15)

3.2實驗結果分析

為了驗證新閾值函數(shù)的有效性，用MATLAB2010對其進行仿真，將一段含有噪聲的Leleccum信號分別采用硬閾值、軟閾值、參考文獻[8]提出的閾值函數(shù)及本文構造的新閾值函數(shù)進行去噪實驗。經(jīng)多次試驗可得，選取sym4小波分解5層，且調節(jié)參數(shù)α取值為5×10-5時得到的效果最好。所以本實驗選取sym4小波及5層小波分解進行實驗。實驗中含噪Leleccum信號的信噪比為26.199 6dB，調節(jié)參數(shù)α=5×10-5，進行仿真實驗，測試結果如圖3所示。

圖3　含噪Leleccum信號的去噪效果

從圖3可以看出，本文提出的改進閾值函數(shù)小波重構得到的信噪比硬閾值函數(shù)以及參考文獻[8]提出方法重構信號更平滑，比軟閾值函數(shù)重構信號保留的有用信號更多，因而能更好地還原原始信號所包含的信息。

表1　各種閾值去噪方法的SNR和RMSE值

表1給出了4種閾值函數(shù)去噪后的信噪比和均方誤差。從實驗結果數(shù)據(jù)可以看出，本文提出的閾值方法相比軟、硬閾值方法以及參考文獻[8]方法，在信噪比和均方根誤差兩個性能指標上均有明顯的提高，說明改進后的方法可靠性更強，去噪效果更好。

4　結論

本文構造出了新閾值函數(shù)和閾值估計方法，新閾值函數(shù)具有軟硬閾值優(yōu)點，同時具有連續(xù)可導性，并且通過自適應調整參數(shù)α消除了軟閾值函數(shù)的恒定偏差、硬閾值函數(shù)不連續(xù)以及引用參考文獻提出的閾值函數(shù)光滑性差的缺點。改進的閾值估計隨分解尺度的變化自適應調節(jié)閾值的大小，避免了“過扼殺”現(xiàn)象的產生。仿真結果表明，新閾值去噪方法重構得到的信號質量明顯優(yōu)于軟閾值方法、硬閾值方法以及參考文獻[8]提出的方法，在去除噪聲的同時很好地保留了有用信號，證明了算法的有效性與實用性。

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Wavelet de-noising algorithm based on new threshold function

Zhang Jing，Li Guandi,Shi Wenjin,Zeng Jianmei

(College of Electronic Information and Automation, Chongqing University of Technology,Chongqing 400054, China)

This paper analyzes the characteristics of the wavelet threshold denoising,aiming at the defects of the hard threshold denoising and soft threshold denoising,proposes a new threshold function and threshold estimation methold. The new threshold function is continuous differentiable,and the new threshold estimation methold has better adaptive. Simulation experiment is carried out under Matlab environment,the result indicates that the new threshold function is effective in removing white noise,gives better Mean Square Error(MSE) performance and Signal-Noise-Ratio (SNR).Besides,the denoised signals using the new function also follow the original signal very closely.

wavelet threshold de-noising;threshold function;threshold estimation;SNR;RMSE

重慶市基礎與前沿研究計劃項目(cstc2015jcyjA040055);重慶市教委科學技術研究項目(KJ1500917)

TP391

ADOI： 10.19358/j.issn.1674- 7720.2016.17.006

2016-04-10)

張兢(1965-)，女，碩士，教授，主要研究方向：電子信息技術應用。

李冠迪(1990-)，女，碩士研究生，助教，主要研究方向：信號與信息處理。

史文進(1989-)，男，碩士研究生，助教，主要研究方向：無線傳感網(wǎng)絡。