韓　芩

(1.武昌工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,湖北 武漢 430065;2.華中科技大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,湖北 武漢 430074)

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離散系統(tǒng)倍周期分岔控制

韓芩1,2

(1.武昌工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,湖北 武漢 430065;2.華中科技大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,湖北 武漢 430074)

通過研究一維離散系統(tǒng)的分岔特性和發(fā)生混沌的原因，設(shè)計(jì)了線性和非線性兩種類型的控制器，并進(jìn)行倍周期分岔控制，選取不同的控制器增益，使系統(tǒng)的倍周期分岔得到了延遲或者提前，顯示了系統(tǒng)復(fù)雜的非線性動力特性，實(shí)踐中可以選擇不同的控制器增益和類型，實(shí)現(xiàn)預(yù)期的控制目標(biāo)。

離散系統(tǒng)；倍周期分岔；分岔控制；控制器

1　引言

分岔是自然界一種基本的非線性自然現(xiàn)象，理論上，由于非線性動力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)失穩(wěn)而發(fā)生分岔，以至于出現(xiàn)混沌是極其普遍的現(xiàn)象。隨著非線性理論的發(fā)展，逐漸對分岔以及混沌都有了更加深入的了解。分岔研究成果應(yīng)用于許多領(lǐng)域，如生物工程[1-3]、機(jī)械工程[4]等方面。

分岔控制作為分岔研究的重要內(nèi)容之一，越來越得到重視，形成了一個新的控制理論方向。分岔控制的主要任務(wù)是對某一具體的系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個控制器來改變其非線性特性，從而獲得需要的動力學(xué)行為，實(shí)現(xiàn)預(yù)期的控制目標(biāo)。分岔控制的主要方式[5-7]：將分岔的形狀和類型進(jìn)行修改；使系統(tǒng)的分岔解趨于穩(wěn)定；產(chǎn)生新的分岔或使分岔的出現(xiàn)延遲；使系統(tǒng)極限環(huán)幅值或頻率得到控制；控制系統(tǒng)的動力學(xué)不穩(wěn)定解所在區(qū)域縮小；通過系統(tǒng)的分岔混沌特性實(shí)現(xiàn)分岔控制達(dá)到控制混沌的目的等等。

本文主要是針對于離散系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的非線性分岔特性，出現(xiàn)混沌的原因；并設(shè)計(jì)不同類型的控制器進(jìn)行分岔控制，出現(xiàn)分岔點(diǎn)延遲或者提前，實(shí)現(xiàn)了控制混沌的目的。

一維離散系統(tǒng)為：

xn+1=λxn-xn2.

(1)

其中λ 是非負(fù)數(shù)常實(shí)數(shù)，x∈R。由于離散系統(tǒng)具有平方項(xiàng)，具有復(fù)雜的動力學(xué)模型。

2　分岔特性

根據(jù)不動點(diǎn)的定義，可得系統(tǒng)式(1)不動點(diǎn)

其迭代函數(shù)為 f(x)=λx-x2，這是一個典型的倍周期分岔系統(tǒng)。當(dāng)λ由3過渡到4時，系統(tǒng)發(fā)生分岔，通過倍周期分岔產(chǎn)生混沌如圖1所示。

圖1　一維離散系統(tǒng)分岔圖

當(dāng)1<λ<3時，除了2個不動點(diǎn)(1-周期點(diǎn))外，還存在兩個2-周期點(diǎn)。由

f2(x)= -x4+2 λx3-λx2-λ2x2+λ2x.

(2)

得：

(3)

將不動點(diǎn)x*=λ-1代入(3)得：

(4)

由f2(x)= x可得2-周期點(diǎn)，

當(dāng)λ<3時，系統(tǒng)只有不動點(diǎn)；當(dāng)λ=3時，

圖2　系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜

3　分岔控制

分岔控制是對原系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個控制器，改變原系統(tǒng)的分岔特性。一般對于受控系統(tǒng)，其在不動點(diǎn)x*處的Jacobi矩陣為：

(5)

3.1線性控制

xn+1=λxn-xn2+k1+k2x.

(6)

通過取得不同的 k1、k2值得到系統(tǒng)受控的分岔情況如圖3(a)、(b)、(c)、(d)所示。

(a)k1=-0.3,k2=0

(b) k1=0,k2=-0.9

(c)k1=-0.3,k2=-0.9

(d) k1=0.2,k2=0.9

k1=-0.3,k2=0時，受控系統(tǒng)式(5)的控制器退化為常數(shù)，系統(tǒng)倍周期分岔延遲,發(fā)生第一次倍周期分岔出現(xiàn)在[3.2,3.3]，第二次倍周期分岔出現(xiàn)在[3.6,3.7], 在[0,4]之間系統(tǒng)出現(xiàn)混沌；

k1=0,k2=-0.9時，受控系統(tǒng)式(5)的倍周期分岔延遲很明顯,第一次倍周期分岔出現(xiàn)在[3.8，4]，在[0,4]沒有第二次倍周期分岔，系統(tǒng)沒有混沌現(xiàn)象；

k1=-0.3,k2=-0.9時，受控系統(tǒng)式(5)在[0,4]中的沒有發(fā)生倍周期分岔，混沌現(xiàn)象消失；

k1=0.2,k2=0.9時，受控參數(shù)k1，k2取為正實(shí)數(shù)，系統(tǒng)式(2)的倍周期分岔反而提前,發(fā)生第一次倍周期分岔出現(xiàn)在[1.8，1.8]，第二次倍周期分岔出現(xiàn)在[2.3,2.4],系統(tǒng)出現(xiàn)混沌是在[2.8,2.9]之間。

從圖3中看出，受控參數(shù)k1，k2為正實(shí)數(shù)時，受控系統(tǒng)會出現(xiàn)提前發(fā)生分岔的情況，相應(yīng)的會提前進(jìn)入混沌；取值為非正實(shí)數(shù)時，受控系統(tǒng)分岔延遲，進(jìn)入混沌狀態(tài)也得到相應(yīng)的延遲或者消失。其中，k1的微小變化可以引起系統(tǒng)大幅度的延遲分岔的發(fā)生，即在控制器中起著粗調(diào)的作用。

3.2非線性控制

xn+1=λxn-xn2+k1x+k2x3.

(7)

通過取得不同的 k1、k2值得到系統(tǒng)受控的分岔情況如圖4(a)、(b)、(c)、(d)所示。

(a) k1=0,k2=-0.5

(b) k1=-0.1,k2=-0.9

(c) k1=-0.2,k2=-0.9

(d)k1=-0.1,k2=-0.1

k1=0,k2=-0.5時，受控系統(tǒng)式(6)的倍周期分岔不僅沒有得到延遲,反而發(fā)生第一次倍周期分岔提前，出現(xiàn)在[2.4，2.5]，第二次倍周期分岔出現(xiàn)在[2.8,2.9],在[2.9,3]之間系統(tǒng)出現(xiàn)混沌；

k1=-0.1,k2=-0.9時，受控系統(tǒng)式(6)的倍周期分岔的得到延遲，第一次倍周期分岔出現(xiàn)在[3.6,3.7]。在[0.4]之間只發(fā)生一次倍周期分岔出現(xiàn)，第二次倍周期分岔、混沌等特性都消失；

k1=-0.2,k2=-0.9時，受控系統(tǒng)式(6)分岔延遲，發(fā)生第一次倍周期分岔出現(xiàn)在[3.5，3.6]，第二次倍周期分岔出現(xiàn)在[3.8,3.9],在[0,4]之間系統(tǒng)出現(xiàn)混沌；

k1=-0.1,k2=-0.1時，受控系統(tǒng)式(6)分岔也提前了，發(fā)生第一次倍周期分岔出現(xiàn)在[2.5，2.6]，第二次倍周期分岔出現(xiàn)在[2.9,3],系統(tǒng)進(jìn)入混沌也相應(yīng)提前，在[0,3.3]之間就出現(xiàn)混沌。

從圖4中看出，控制器為單一的立方非線性控制器時，系統(tǒng)的分岔不僅得不到延遲，反而是提前的，也相應(yīng)的提前進(jìn)入混沌狀態(tài)。當(dāng)k1從0變?yōu)?1時，受控系統(tǒng)的分岔特性大幅得到延時，但是再設(shè)置為-1.2時，受控系統(tǒng)的分岔變化就不明顯，說明非線性控制器中k1不再起著粗調(diào)的作用。作為非正實(shí)數(shù)k2決定著系統(tǒng)分岔的提前或延時，隨著k2值逐漸增加，系統(tǒng)的分岔逐漸由延遲變?yōu)樘崆?。因此，選擇好k1、k2值，可以實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。

4　結(jié)束語

筆者分析了離散系統(tǒng)的分岔特性，詳細(xì)探討的系統(tǒng)在參數(shù)λ的變化下，產(chǎn)生倍周期分岔，由1-周期過渡到2-周期，再到4-周期，最后出現(xiàn)混沌。并以此設(shè)計(jì)了線性控制器和非線性控制器，有效的控制系統(tǒng)的倍周期分岔，使系統(tǒng)的混沌行為得到控制。

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The periodic bifurcation control of the discrete system

HANQin1,2

(1.College of Mechanical Engineering,Wuchang Institute of Technology,Wuhan 430065,China; 2.School of Mechanical Science and Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China)

Research the characteristic of the bifurcation,and the process of chaos to the one-dimensional discrete system. According to the characteristics,design two types controllers of the linear and non-linear.The periodic bifurcation control,and the choice of the different controller gains,make the system delayed or advanced ,which displays the complex non-linear dynamic characteristics.In practice , the different controller gains and types can be chosen to achieve the control objectives.

discrete system;periodic bifurcation;bifurcation control;controllers.

2016-04-19

韓芩(1984-),女,助教,工程碩士,E-mail: duoduo0310@sina.com.

湖北省綠色風(fēng)機(jī)協(xié)同創(chuàng)新中心項(xiàng)目(2015XTJY01).

2095-7386(2016)03-0064-04

10.3969/j.issn.2095-7386.2016.03.012

TP 273

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