初　壯，于群英，李笑薇

（1.東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林 132012；2.國網(wǎng)吉林省電力有限公司電力科學(xué)研究院，長春130000；3.吉林省送變電工程公司，長春 130000）

求解含小阻抗支路配電網(wǎng)潮流的牛頓法

初壯1，于群英2，李笑薇3

（1.東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林 132012；2.國網(wǎng)吉林省電力有限公司電力科學(xué)研究院，長春130000；3.吉林省送變電工程公司，長春 130000）

基于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的雅可比矩陣為病態(tài)，是采用牛頓法求解含合環(huán)支路等小阻抗支路的配電網(wǎng)潮流不易收斂的主要原因。文中以等效負(fù)荷支路、合環(huán)支路分別為連支建立兩類基本回路，潮流方程基于回路電流-負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓方程建立，合環(huán)支路參數(shù)不會(huì)作為回路矩陣的獨(dú)立元素存在；采用牛頓法求解時(shí)，基于回路導(dǎo)納矩陣建立良態(tài)的雅可比矩陣，使計(jì)算收斂性得到保證。多個(gè)算例驗(yàn)證了該方法在計(jì)算含合環(huán)支路和PV節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)潮流時(shí)的正確性和有效性。

配電網(wǎng)潮流計(jì)算；收斂性；回路分析；牛頓法；小阻抗支路

典型的傳統(tǒng)配電網(wǎng)是單一電源供電的輻射狀網(wǎng)絡(luò)。而現(xiàn)代配電網(wǎng)構(gòu)成日趨復(fù)雜：風(fēng)力、光伏發(fā)電等分布式電源的大力發(fā)展改變了配電網(wǎng)單一電源供電模式［1-6］；而實(shí)際運(yùn)行時(shí)會(huì)出現(xiàn)閉合分段開關(guān)和聯(lián)絡(luò)開關(guān)的情況，使配電網(wǎng)呈現(xiàn)為弱環(huán)網(wǎng)［6］。潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)運(yùn)行分析的基礎(chǔ)，配電網(wǎng)潮流計(jì)算需要面對這些新問題。前推回代法在求解傳統(tǒng)配電網(wǎng)潮流時(shí)具有簡捷、高效的特點(diǎn)，但不能直接用于弱環(huán)網(wǎng)或電網(wǎng)具有PV節(jié)點(diǎn)的情況。因此，文獻(xiàn)［7-8］采用疊加原理來處理環(huán)網(wǎng)問題，文獻(xiàn)［5-6］在迭代中采用不同方法對PV節(jié)點(diǎn)進(jìn)行電壓修正。這些修正使前推回代算法的效率有所降低。

牛頓法易于處理多電源節(jié)點(diǎn)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，廣泛用于輸電網(wǎng)潮流計(jì)算；但配電網(wǎng)潮流采用牛頓法時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中合環(huán)開關(guān)等小阻抗支路［9］的存在使算法收斂性有很大程度下降。對牛頓法計(jì)算含小阻抗支路的輸電網(wǎng)潮流收斂性較差的原因與解決方法已有較多研究：文獻(xiàn)［10-11］指出，小阻抗支路的存在使潮流方程雅可比矩陣呈現(xiàn)病態(tài)，使迭代過程不收斂；文獻(xiàn)［10］指出提高程序計(jì)算精度可以提高算法收斂性；文獻(xiàn)［11］通過改變迭代過程電壓初值提高收斂性；文獻(xiàn)［12］則采用線性變換對雅可比矩陣進(jìn)行預(yù)處理等。配電網(wǎng)多呈輻射網(wǎng)或弱環(huán)網(wǎng)運(yùn)行，R/X較大，小阻抗支路數(shù)量要多于輸電網(wǎng)，這些特點(diǎn)使牛頓法在計(jì)算基于節(jié)點(diǎn)形式潮流方程時(shí)更加不易收斂［9］。

本文采用牛頓法計(jì)算基于回路形式配電網(wǎng)潮流方程。采用回路形式潮流方程，不但可有效處理弱環(huán)網(wǎng)，更重要的是可避免出現(xiàn)病態(tài)的雅可比矩陣；牛頓法的應(yīng)用則使算法可直接用于含PV節(jié)點(diǎn)的配電網(wǎng)，對含分布式電源配電網(wǎng)有良好的適應(yīng)性。

1　基于回路分析的配電網(wǎng)潮流方程

1.1回路的形成和分類

對于帶有環(huán)路的配電網(wǎng)，按如下規(guī)則建立回路電流方程：斷開形成環(huán)路的支路，則配電網(wǎng)呈輻射狀，此時(shí)，將各節(jié)點(diǎn)負(fù)荷或分布式電源視為接地支路，則自根節(jié)點(diǎn)至負(fù)荷節(jié)點(diǎn)或分布式電源所在節(jié)點(diǎn)的對地支路可形成回路，取回路電流為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)或電源節(jié)點(diǎn)對地的注入電流，稱其為第1類回路；取回路電流為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)對地的注入電流，對應(yīng)的回路方程稱為第1類回路方程；將形成環(huán)路的支路接入配電網(wǎng)，則自根節(jié)點(diǎn)至該支路一個(gè)關(guān)聯(lián)節(jié)點(diǎn)、經(jīng)由該支路至另一關(guān)聯(lián)節(jié)點(diǎn)并由另一節(jié)點(diǎn)回溯至根節(jié)點(diǎn)也會(huì)形成回路，稱其為第2類回路；取回路電流為環(huán)路支路電流，方向規(guī)定為由節(jié)點(diǎn)編號大的節(jié)點(diǎn)指向編號小的節(jié)點(diǎn)。

配電網(wǎng)輻射狀運(yùn)行時(shí)，各線路皆為樹支，而節(jié)點(diǎn)負(fù)荷投入或合環(huán)支路閉合則會(huì)使配電網(wǎng)中出現(xiàn)回路；負(fù)荷等效支路、合環(huán)支路都是連支，但它們性質(zhì)不同，因此，把由它們的出現(xiàn)而產(chǎn)生的回路分別定義為第1類和第2類回路。

例如，圖1是一個(gè)8節(jié)點(diǎn)（未計(jì)入接地點(diǎn)）、9條支路的配電網(wǎng)絡(luò)，其中支路b11、b12是合環(huán)支路。另外，有1、3、6共3個(gè)節(jié)點(diǎn)接負(fù)荷，可看作3條支路b8、b9、b10；根節(jié)點(diǎn)與接地節(jié)點(diǎn)之間可看作為一條電壓源支路，記為b0。通常的配電網(wǎng)絡(luò)的支路概念中不含b0、b8、b9、b10這些支路。

對應(yīng)支路b8、b9、b10，有3個(gè)第1類回路：

loop 1-1：b0-b1-b3-b6-b8；

loop 1-2：b0-b1-b4-b7-b9；

loop 1-3：b0-b2-b5-b10。

對應(yīng)兩個(gè)合環(huán)支路b11、b12，有兩個(gè)第2類回路：

loop 2-1：b3-b11-b4；

loop 2-2：b1-b12-b2。

然后，消去第2類回路（下文詳細(xì)說明），可以得到關(guān)于1、3、6共3節(jié)點(diǎn)的方程，求取得到帶有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的參數(shù)，然后根據(jù)支路方程求取不帶負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的參數(shù)，進(jìn)而得到所有節(jié)點(diǎn)參數(shù)。同樣，對于8節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，如果每個(gè)節(jié)點(diǎn)都帶有負(fù)荷，則經(jīng)消去第2類回路可建立含有8個(gè)方程的方程組，可直接求出每個(gè)節(jié)點(diǎn)的參數(shù)。

圖1　兩類回路的劃分Fig.1 Two types of loops

1.2分布式電源的處理

目前，比較成熟的分布式電源主要有光伏、風(fēng)力發(fā)電機(jī)、燃料電池、微型燃?xì)廨啓C(jī)。對于光伏可根據(jù)其無功功率與有功功率、電流、節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化成PQ節(jié)點(diǎn)處理［4］；雙饋風(fēng)力發(fā)電機(jī)可直接等效成功率方向相反的負(fù)荷；而對于燃料電池，微型燃?xì)廨啓C(jī)，在潮流計(jì)算時(shí)會(huì)被處理成PV節(jié)點(diǎn)［4］。對于PV節(jié)點(diǎn)來說，無需計(jì)算關(guān)于其無功功率的方程式，其有功功率的不平衡量以及對應(yīng)的雅可比矩陣元素與PQ節(jié)點(diǎn)相同。

1.3回路方程的建立

本文中將第1類回路方程連續(xù)排列在先，第2類回路方程連續(xù)排列在后，則回路電流方程寫為

消去第2類回路對應(yīng)各行，回路方程變?yōu)?/p>

方程（10）消去了第2類回路對應(yīng)的方程，方程個(gè)數(shù)為第1類回路個(gè)數(shù)，即負(fù)荷節(jié)點(diǎn)及分布式電源節(jié)點(diǎn)的總數(shù)。這樣處理的優(yōu)點(diǎn)在于，雖然第2類回路的出現(xiàn)會(huì)使回路方程數(shù)量增多，但在進(jìn)一步建立潮流方程之前將其等值，使回路方程規(guī)模與第2類回路出現(xiàn)前相同，不會(huì)增加潮流計(jì)算的計(jì)算量。

另一方面，由兩類回路的定義可見，即使合環(huán)支路為小阻抗或零阻抗支路，因其不在第1類回路中，也不會(huì)是第1、2類回路之間的互阻抗，不會(huì)對第1類回路產(chǎn)生影響；而第2類回路自阻抗則至少含有兩個(gè)正常阻抗支路，也不會(huì)出現(xiàn)過小的情況。

2　基于回路方程的配電網(wǎng)潮流計(jì)算

2.1基于回路分析的潮流方程

式中：δi·RS為節(jié)點(diǎn)i電壓相量與根節(jié)點(diǎn)電壓相量的相角差；δij節(jié)點(diǎn)i、j電壓相量的相角差。節(jié)點(diǎn)注入功率不平衡量為

4個(gè)子矩陣H、N、J、L構(gòu)成了修正方程式的雅可比矩陣。當(dāng)i≠j時(shí)，雅可比矩陣的各個(gè)元素分別為

δj為節(jié)點(diǎn) j電壓相量與參考節(jié)點(diǎn)電壓相量的相角差。當(dāng)i=j時(shí)，雅可比矩陣的各個(gè)元素分別為

2.2牛頓法潮流計(jì)算步驟

在建立式（14）、（15）形式的潮流方程后，采用牛頓法求解，求解過程與采用牛頓法求解節(jié)點(diǎn)形式潮流方程基本相同，其步驟簡述如下。

（1）讀取系統(tǒng)原始數(shù)據(jù)，形成支路阻抗矩陣，根據(jù)回路與支路阻抗矩陣的關(guān)系，求取回路阻抗的矩陣；

（2）根據(jù)式（6）～（8）消去第2類回路，求出等效回路導(dǎo)納矩陣；

（4）將各節(jié)點(diǎn)電壓的初值代入式（16）、（17）求出功率不平衡量

（5）將各節(jié)點(diǎn)電壓的初值代入式（19）～（26），求出雅可比矩陣的各個(gè)元素

由1.1小節(jié)建立回路方程的分析可知，潮流計(jì)算收斂后可直接得到負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓列向量和第1類回路的回路電流列向量；由1.3節(jié)式（4）可得第2類回路的回路電流列向量為

3　線性方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)

無論采用節(jié)點(diǎn)方程形式，還是采用回路方程形式，牛頓法中求解的修正方程都是一個(gè)以潮流方程雅可比矩陣為系數(shù)矩陣的線性方程組。

對于線性方程組的系數(shù)矩陣A，其條件數(shù)為

‖·‖為某種矩陣范數(shù)，如2-范數(shù)。由矩陣分析理論可知，系數(shù)矩陣的條件數(shù)可反映矩陣的非奇異程度。條件數(shù)越小，矩陣A的非奇異程度越高；條件數(shù)越大，A的非奇異程度越差，呈現(xiàn)“病態(tài)”。

對含小阻抗支路的電網(wǎng)絡(luò)建立節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣并據(jù)此建立潮流方程，采用牛頓法求解，其迭代過程中的雅可比矩陣條件數(shù)非常大，矩陣為病態(tài)。數(shù)值計(jì)算時(shí)處理病態(tài)線性方程組的方法或是對系數(shù)矩陣進(jìn)行預(yù)處理［12-14］，如文獻(xiàn)［12］；或是采用更高的計(jì)算精度，如文獻(xiàn)［10］所指出的那樣。

對于同一電網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)2.2小節(jié)回路導(dǎo)納矩陣建立的潮流方程，采用牛頓法求解，迭代過程中的雅可比矩陣條件數(shù)要小得多，非奇異程度高，對應(yīng)的線性方程組收斂性好。因此，不必采用提高計(jì)算精度或?qū)ρ趴杀染仃囘M(jìn)行預(yù)處理等特殊方法處理小阻抗支路帶來的收斂性問題。

在下文第4.1小節(jié)中，分別計(jì)算了節(jié)點(diǎn)形式和回路形式兩種潮流方程迭代過程中雅可比矩陣的條件數(shù)，用來反映潮流方程的病態(tài)程度。

4　算例分析

基于Matlab R2010a實(shí)現(xiàn)下文所用各方法，各算法都采用雙精度數(shù)據(jù)類型，允許誤差設(shè)為1×10-6。采用本文回路形式潮流牛頓法對IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)［8］、PG&E69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)［15］及文獻(xiàn)［7］的90節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算均能可靠準(zhǔn)確收斂，表明了本文算法的正確性。下面分別從迭代次數(shù)、雅可比矩陣的條件數(shù)、處理環(huán)網(wǎng)能力及處理PV節(jié)點(diǎn)幾個(gè)方面進(jìn)行分析。

4.1迭代次數(shù)

表1中對比了本文算法（算法1）與直接法（算法2）、電流前推回代法（算法3）、傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)形式潮流方程牛頓法（算法4）迭代次數(shù)。

表1　4種算法潮流迭代次數(shù)比較Tab.1　Comparison of the number of iterations among four kinds of algorithms

由表1可見，對于文獻(xiàn)［7］的90節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，傳統(tǒng)牛頓法由于受到小阻抗支路的影響不收斂；本文算法通過建立回路方程，避免了求取節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，取而代之的是回路導(dǎo)納矩陣，算法收斂。從表中還可看出，對于含有PV節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)以及弱環(huán)網(wǎng)，本文算法收斂所需迭代次數(shù)與算法4收斂時(shí)相同，明顯少于算法2與算法3。

4.2雅可比矩陣條件數(shù)

采用牛頓法求解文獻(xiàn)［7］的90節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)形式潮流方程不收斂，而牛頓求解本文回路形式潮流方程則是收斂的。表2給出了兩種算法下前五次迭代過程雅可比矩陣的條件數(shù)。由表2可見，前者迭代過程中的雅可比矩陣條件數(shù)很大，非奇異程度很差，相應(yīng)線性方程組呈現(xiàn)病態(tài)，因此迭代不收斂；而后者雅可比矩陣條件數(shù)相對很小，非奇異程度較好，迭代5次后收斂。

表2　兩種算法關(guān)于雅可比矩陣條件數(shù)的比較Tab.2　Comparison of Jacobian condition number between two algorithms

4.3環(huán)網(wǎng)數(shù)對收斂性的影響

表3是在IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)加入了合環(huán)支路，考察本文算法處理環(huán)網(wǎng)的能力。可見，隨著環(huán)網(wǎng)個(gè)數(shù)的增多，迭代次數(shù)并無明顯變化；算例表明本文算法具有較強(qiáng)的環(huán)網(wǎng)處理能力，計(jì)算弱環(huán)網(wǎng)潮流時(shí)穩(wěn)定性更高，收斂效果更好。

表3　環(huán)網(wǎng)個(gè)數(shù)對IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)收斂影響Tab.3　Impact of the number of meshes on convergence of IEEE 33-node system

4.4PV節(jié)點(diǎn)數(shù)對收斂性的影響

表4反映了采用本文模型與方法計(jì)算IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)含有分布式電源節(jié)點(diǎn)為PV節(jié)點(diǎn)的情況?？梢?，迭代次數(shù)并未隨著PV節(jié)點(diǎn)接入個(gè)數(shù)的增多而增多。算法把根節(jié)點(diǎn)作為平衡節(jié)點(diǎn)，其他分布式電源作為PV節(jié)點(diǎn)。牛頓法處理PV節(jié)點(diǎn)的高效特性是直接阻抗法和前推回代法等支路法無法達(dá)到的。

表4　PV節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)對IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)收斂影響Tab.4　Impact of the number of PV nodes on convergence of IEEE 33-node system

5　結(jié)論

本文建立了基于回路形式配電網(wǎng)潮流方程，并采用牛頓法進(jìn)行求解。與傳統(tǒng)方法相比，除了可以用于含分布式電源這一特點(diǎn)外，本文方法還具有以下特點(diǎn)：

（1）采用回路分析，能高效處理弱環(huán)配電網(wǎng)的潮流計(jì)算問題，不需在迭代計(jì)算中采用補(bǔ)償方法計(jì)算環(huán)路電流，方程數(shù)即為負(fù)荷及電源節(jié)點(diǎn)數(shù)，環(huán)路支路不影響方程組規(guī)模，也不會(huì)增加求解過程的計(jì)算量；

（2）采用牛頓法求解潮流方程，對PV節(jié)點(diǎn)的處理過程和能力與牛頓法求解輸電網(wǎng)潮流的情況相同，因此，本文方法可直接用于求解含有分布式電源的配電網(wǎng)潮流計(jì)算；

（3）本文方法基于回路分析及回路矩陣，在網(wǎng)絡(luò)中含有小阻抗支路時(shí)，迭代過程中的雅可比矩陣條件數(shù)較小，非奇異程度高，避免了采用節(jié)點(diǎn)分析與節(jié)點(diǎn)矩陣時(shí)“病態(tài)”雅可比矩陣的出現(xiàn)，收斂性較好。在基于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的潮流計(jì)算因小阻抗支路存在不易收斂的情形下，本文模型與算法是獲得配電網(wǎng)潮流分布一個(gè)有效的替代解決方案。

回路導(dǎo)納矩陣是一個(gè)滿陣，而節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣則是一個(gè)稀疏矩陣。因此，基于相同規(guī)模的回路導(dǎo)納矩陣和節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的潮流計(jì)算迭代過程，前者的計(jì)算量要高于后者，這是回路方法的一個(gè)不足。但是，由于配電網(wǎng)的回路數(shù)要小于節(jié)點(diǎn)數(shù)，其回路導(dǎo)納矩陣的規(guī)模也要小于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，這在一定程度上抵消了因回路導(dǎo)納矩陣為滿陣而帶來的計(jì)算量的增大。

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［14］周碩，郭麗杰，吳柏生（Zhou Shuo，Guo Lijie，Wu Baisheng）.Jacobi迭代預(yù)處理中的條件數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系（Relation between condition number and iteration degrees in Jacobi iteration pretreatment）［J］.東北電力學(xué)院學(xué)報(bào)（Journal of Northeast China Institute of Electric Power Engineering），2003，23（6）：57-60.

［15］王守相，王成山.現(xiàn)代配電系統(tǒng)分析［M］.北京：高等教育出版社，2007.

Newton Method for Solving Power Flow of Distribution Networks with Small Impedance Branches

CHU Zhuang1，YU Qunying2，LI Xiaowei3
（1.College of Electrical Engineering，Northeast Dianli University，Jilin 132012，China；2.Electric Power Research Institute，State Grid Jilin Electric Power Ltd，Changchun 130000，China；3.Jilin Province Transmission and Substation Engineering Company，Changchun 130000，China）

The non-convergence of Newton method for the power flow computation of distribution networks is mainly due to the ill condition of Jacobi matrix built on node admittance matrix.In this paper，two kinds of loops are defined by two kinds of links respectively，i.e.，equivalent branches of loads and branches for closing.The model of power flow is based on loop-current load-node-voltage equations，and the parameters of small impedance branches are not independent elements in the network matrix.Newton method is applied to solving the equations，and the Jacobi matrix based on loop-admittance matrix is well-conditioned，which ensures the convergence of computation.Different cases with branches for closing and PV nodes indicate the correctness and efficiency of the proposed method.

power flow computation of distribution networks；convergence；loop analysis；Newton method；small impedance branches

TM712

A

1003-8930（2016）09-0036-06

10.3969/j.issn.1003-8930.2016.09.006

初壯（1973—），男，博士，副教授，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)運(yùn)行分析。Email：chuzhuang@hotmail.com

于群英（1988—），男，碩士，助理工程師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)運(yùn)行分析。Email：happy7998523@126.com

李笑薇（1988—），女，本科，助理工程師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)運(yùn)行分析。Email：happy6181056@126.com

2014-09-25；

2015-11-30

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（863計(jì)劃）資助項(xiàng)目（2014AA052502）