林瓊桂

（中山大學(xué)物理學(xué)院，廣東廣州 510275）

教學(xué)研究

高維波動(dòng)方程與熱傳導(dǎo)方程非齊次邊界條件的一般處理

林瓊桂

（中山大學(xué)物理學(xué)院，廣東廣州 510275）

對(duì)于具有非齊次邊界條件的高維（二維或三維）波動(dòng)方程或熱傳導(dǎo)方程定解問(wèn)題，構(gòu)造了輔助定解問(wèn)題，借助其解可以將原問(wèn)題的邊界條件齊次化.該方法具有普遍性和可操作性.用該方法求解了兩個(gè)實(shí)例.

波動(dòng)方程；熱傳導(dǎo)方程；非齊次邊界條件；輔助定解問(wèn)題

在數(shù)理方程的定解問(wèn)題中，常常出現(xiàn)非齊次的邊界條件.對(duì)于規(guī)則的區(qū)域，通?？梢圆捎梅蛛x變量法求解，但需要先將邊界條件齊次化.齊次化的思路是將原來(lái)的未知函數(shù)u分解為u=v+w，其中w是滿足非齊次邊界條件的簡(jiǎn)單輔助函數(shù)，而v滿足齊次邊界條件.w的構(gòu)造并無(wú)一般規(guī)則，通常采用觀察和嘗試的方式.對(duì)于一維波動(dòng)方程或熱傳導(dǎo)方程，一般取w為空間變量x的一次函數(shù)（只當(dāng)兩端均為第二類(lèi)邊界條件時(shí)需要取為二次函數(shù)）即可滿足要求.常見(jiàn)的教科書(shū)中處理的就是此類(lèi)情形［1-7］.雖然期刊文獻(xiàn)上也有不少相關(guān)討論，但也多限于一維問(wèn)題，比如本刊發(fā)表過(guò)的一些工作［8，9］.對(duì)于高維（二維或三維）波動(dòng)方程或熱傳導(dǎo)方程，如何將非齊次的邊界條件齊次化，則未見(jiàn)文獻(xiàn)上有詳細(xì)的論述.文獻(xiàn)［10］上雖有少數(shù)實(shí)例，但由于邊界條件不復(fù)雜，采用的仍然是觀察和嘗試的思路.對(duì)于比較復(fù)雜的情況，采用這種方法構(gòu)造w就需要更多的技巧，也面臨如何構(gòu)造才更加恰當(dāng)或方便的問(wèn)題.以簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方體區(qū)域?yàn)槔?，假設(shè)只有一組相對(duì)的邊界面上具有非齊次邊界條件，現(xiàn)欲將其齊次化，同時(shí)保持另外兩組邊界面上的齊次邊界條件.我們可以用滿足兩組邊界面上齊次邊界條件的完備函數(shù)組來(lái)展開(kāi)w，通過(guò)選擇展開(kāi)系數(shù)以滿足另一組邊界面上的非齊次邊界條件.但是，這里有幾個(gè)問(wèn)題需要考慮.第一，如何尋找這樣的完備函數(shù)組？對(duì)于長(zhǎng)方體這是容易的，但對(duì)于更復(fù)雜的區(qū)域則不然.第二，事實(shí)上存在多種（原則上是無(wú)窮多）這樣的完備函數(shù)組，如何選擇？第三，這里的展開(kāi)系數(shù)實(shí)際上是一元函數(shù)，適當(dāng)選取其端點(diǎn)值即可滿足所給的非齊次邊界條件，那么區(qū)間內(nèi)的函數(shù)形式如何選擇？如果選擇了不合適的完備函數(shù)組或展開(kāi)系數(shù)，可能導(dǎo)致v的定解問(wèn)題太復(fù)雜而難以求解.因此，我們需要有章可循的方法.

對(duì)于具有非齊次邊界條件的高維（二維或三維）波動(dòng)方程或熱傳導(dǎo)方程定解問(wèn)題，本文的思路是構(gòu)造一個(gè)輔助定解問(wèn)題，它由拉普拉斯方程（或泊松方程）和原問(wèn)題的非齊次邊界條件構(gòu)成，借助其解可以將原問(wèn)題的邊界條件齊次化.由于輔助定解問(wèn)題與原定解問(wèn)題具有同樣的求解區(qū)域，如果具有齊次邊界條件的原問(wèn)題可以解析求解，則輔助問(wèn)題亦可解析求解.這樣就克服了非齊次邊界條件引起的額外困難.這一方法具有普遍性和可操作性.

1 一般處理

在以下的敘述中，我們以三維熱傳導(dǎo)方程為例，對(duì)于波動(dòng)方程，方法是完全一樣的.如果是二維問(wèn)題，也只需將敘述中的一些細(xì)節(jié)略作改動(dòng).考慮三維空間有界區(qū)域D上的定解問(wèn)題

其中?D是區(qū)域D的邊界面.這里我們以第一類(lèi)邊界條件為例，對(duì)于第三類(lèi)邊界條件或混合邊界條件，方法是完全類(lèi)似的.如果是第二類(lèi)邊界條件，則需要略作修正，這將在后面討論.

為了將邊界條件齊次化，我們定義函數(shù)w（r，t）滿足以下輔助定解問(wèn)題：

這是一個(gè)瞬時(shí)的拉普拉斯方程定解問(wèn)題.盡管形式上含有時(shí)間，但求解時(shí)無(wú)需理會(huì)其物理意義，只需將其當(dāng)作一個(gè)參數(shù)即可.然后令

則v（r，t）滿足以下具有齊次邊界條件的定解問(wèn)題：

由于邊界條件已經(jīng)齊次化，這一定解問(wèn)題就可以用本征函數(shù)展開(kāi)法求解.

如果區(qū)域D是規(guī)則的，使得原問(wèn)題在方程和邊界條件都是齊次的情況可以解析求解，那么輔助定解問(wèn)題也就可以解析求解，結(jié)合本征函數(shù)展開(kāi)法，原定解問(wèn)題就可以徹底解決.這一方法具有普遍性.

2 討論

本節(jié)對(duì)上述方法的細(xì)節(jié)做一些討論和補(bǔ)充.

1）如果u滿足的是波動(dòng)方程的定解問(wèn)題，那么w的定解問(wèn)題仍由式（2）定義.

2）前面的討論中，我們以三維熱傳導(dǎo)方程為例，對(duì)于二維的波動(dòng)方程或熱傳導(dǎo)方程，上述方法仍然適用，只需將敘述中的一些細(xì)節(jié)略作改動(dòng)（比如邊界面改為邊界線）.這在前面已經(jīng)有所提及.

3）如果f（r，t）=f（r），F(xiàn)（r，t）=F（r）均與t無(wú)關(guān)，那么還可以定義輔助函數(shù)w（r）滿足以下輔助定解問(wèn)題：

然后令u（r，t）=v（r，t）+w（r），則v（r，t）的定解問(wèn)題具有齊次方程和齊次邊界條件：

這樣一來(lái)，v（r，t）較易求解，但w（r）滿足非齊次的泊松方程，則較難求解，總的工作量并不一定減少，因此這一改變未必有利.另一方面，即使在一般情況下，我們也可以使用滿足泊松方程的輔助定解問(wèn)題，即將式（2a）改為Δ2w（r，t）=-f（r，t）/a2，但此時(shí)v（r，t）的方程仍然是非齊次的，因?yàn)槭剑?a）右邊的第二項(xiàng)仍然存在，于是兩個(gè)定解問(wèn)題都是非齊次方程，這當(dāng)然不可取.可見(jiàn)一般只需采用輔助定解問(wèn)題（2）.

4）對(duì)于第三類(lèi)邊界條件或混合邊界條件（邊界面的不同部分有不同類(lèi)型的邊界條件），輔助定解問(wèn)題只需作很小的改動(dòng)，即將w（r，t）的邊界條件取為原問(wèn)題的邊界條件，后續(xù)的處理完全類(lèi)似.但如果整個(gè)邊界面都是第二類(lèi)邊界條件，則w（r，t）的方程也需要作一些修正.設(shè)有下述定解問(wèn)題：

其中?u/?n是沿邊界面外法向方向的方向?qū)?shù).這時(shí)我們必須定義輔助函數(shù)w（r，t）滿足以下定解問(wèn)題：

其中

而dσ是面積元，V是區(qū)域D的體積.然后作式（6）的變換，則v（r，t）滿足以下具有齊次邊界條件的定解問(wèn)題：式（18）右邊的非齊次項(xiàng)是為了方程與邊界條件自洽.如果采用齊次方程，則由高斯定理容易發(fā)現(xiàn)方程與邊界條件一般是自相矛盾的，除非Q（t）=0.

5）最后指出，對(duì)于一維波動(dòng)方程或熱傳導(dǎo)方程，用于齊次化的輔助函數(shù)w取為x的一次函數(shù)，其實(shí)正是一維拉普拉斯方程的解，系數(shù)則由邊界條件決定，這與上面用于高維問(wèn)題的方法正好是一致的.對(duì)于兩端都是第二類(lèi)邊界條件的情況，則一次函數(shù)不能奏效，因?yàn)榇藭r(shí)必須用泊松方程的解，這也與高維情況類(lèi)似.

3 實(shí)例

本節(jié)用前面提出的方法求解兩個(gè)實(shí)例.由于非齊次方程與非齊次初始條件的處理都是熟知的（事實(shí)上，它們可以用另一個(gè)具有齊次邊界條件的定解問(wèn)題來(lái)處理），為了集中力量關(guān)注非齊次邊界條件的處理，以下考慮的問(wèn)題都具有齊次的方程和齊次的初始條件.本節(jié)仍以熱傳導(dǎo)問(wèn)題為例，因?yàn)槠湮锢硪饬x比較清晰.

例1. 考慮半徑為R的半圓形薄板的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，板面絕熱，取平面極坐標(biāo)系，溫度分布為u（r，t）=u（ρ，φ，t），定解問(wèn)題如下：

如果兩條半徑上有非齊次邊界條件，也可以求解，只是計(jì)算更復(fù)雜而已.按前面的思路，作式（3）的分解，其中w（r，t）滿足輔助定解問(wèn)題

用分離變量法可以求得

其中

這可以用本征函數(shù)展開(kāi)法求解.設(shè)xmn是貝塞爾函數(shù)Jm-1/2（x）的第n個(gè)正零點(diǎn)，而

為滿足邊界條件，應(yīng)該展開(kāi)

其中Tmn（t）是待定函數(shù).為了代入方程（15a）和初始條件（15c）確定Tmn（t），需要將w（r，t）作類(lèi)似的展開(kāi)，計(jì)算可得

這個(gè)表式只用于求解Tmn（t）.作為最后結(jié)果的一部分，我們當(dāng)然還是使用式（13）的形式.不難求得Tmn（t）滿足以下微分方程和初始條件：

解之得

對(duì)方括號(hào)中第二項(xiàng)分部積分可以消去f′m（τ），但上述表式更方便.將上述結(jié)果代入式（35）即得v（r，t），結(jié)合式（29）所得的w（r，t），一起代入式（6）即得最后結(jié)果.

討論幾種特殊情況：1）如果f（φ，t）=0，則易得u（r，t）=0，如所期望.2）如果f（φ，t）=f（φ）與時(shí)間無(wú)關(guān)，則fm（t）=fm亦與時(shí)間無(wú)關(guān)，于是有Tmn（t）=-cmnfmexp（-λmna2t）.當(dāng)t→∞，易得v（r，t）→0，最后得到穩(wěn)定溫度分布w（r）.3）如果f（φ，t）= f（t）sin（M-1/2）φ（其中是M是正整數(shù)），此時(shí)w（r，t）只有一項(xiàng)，而v（r，t）只含對(duì)n的一重求和.為節(jié)省篇幅，細(xì)節(jié)從略.我們也可以一開(kāi)始就討論這種情況，然后通過(guò)線性疊加得出一般f（φ，t）的相應(yīng)結(jié)果.

例2. 考慮半徑為R的半球的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，取球坐標(biāo)系，溫度分布為u（r，t）=u（r，θ，φ，t），定解問(wèn)題如下：

如果底面有非齊次邊界條件，也可以求解，只是計(jì)算更復(fù)雜而已.按前面的思路，作式（6）的分解，其中w（r，t）滿足輔助定解問(wèn)題：

用分離變量法可以求得

其中

它們?cè)诎肭蛎嫔鲜钦粴w一的，即滿足

注意ylm（θ，φ）不是標(biāo)準(zhǔn)的球諧函數(shù)，所以記號(hào)也有所不同.式（23）中的系數(shù)

是函數(shù)f（θ，φ，t）用本征函數(shù)族｛ylm（θ，φ）｝展開(kāi)的展開(kāi)系數(shù).v（r，t）的定解問(wèn)題是

這可以用本征函數(shù)展開(kāi)法求解.設(shè)xln是球貝塞爾函數(shù)jl（x）的第n個(gè)正零點(diǎn)，而

為滿足邊界條件，應(yīng)該展開(kāi)

其中Tlmn（t）是待定函數(shù).為了代入方程（27a）和初始條件（27c）確定Tlmn（t），需要將w（r，t）作類(lèi)似的展開(kāi)，計(jì)算可得

這個(gè)表式只用于求解Tlmn（t）.作為最后結(jié)果的一部分，我們當(dāng)然還是使用式（23）的形式.不難求得Tlmn（t）滿足以下微分方程和初始條件：

將這一結(jié)果代入式（29）即得v（r，t），結(jié)合式（23）所得的w（r，t），一起代入式（3）即得最后結(jié)果.

討論幾種特殊情況：1）如果f（θ，φ，t）=0，則易得u（r，t）=0，如所期望.2）如果f（θ，φ，t）=f（θ，φ）與時(shí)間無(wú)關(guān)，則flm（t）=flm亦與時(shí)間無(wú)關(guān)，于是有Tlmn（t）=-clnflmexp（-λlna2t）.當(dāng)t→∞，易得v（r，t）→0，最后得到穩(wěn)定溫度分布w（r）.3）如果f（θ，φ，t）=f（t）yLM（θ，φ）（其中L和M是正整數(shù)），此時(shí)w（r，t）只有一項(xiàng)，而v（r，t）只含對(duì)n的一重求和.為節(jié)省篇幅，細(xì)節(jié)從略.我們也可以一開(kāi)始就討論這種情況，然后通過(guò)線性疊加得出一般f（θ，φ，t）的相應(yīng)結(jié)果.

［1］梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法［M］.3版.劉法，繆國(guó)慶，修訂.北京：高等教育出版社，1998.

［2］郭敦仁.數(shù)學(xué)物理方法［M］.2版.北京：高等教育出版社，1991.

［3］胡嗣柱，倪光炯.數(shù)學(xué)物理方法［M］.2版.北京：高等教育出版社，2002.

［4］吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法［M］.2版.北京：北京大學(xué)出版社，2003.

［5］姚端正，梁家寶.數(shù)學(xué)物理方法［M］.3版.北京：科學(xué)出版社，2010.

［6］邵惠民.數(shù)學(xué)物理方法［M］.2版.北京：科學(xué)出版社，2010.

［7］楊孔慶.數(shù)學(xué)物理方法［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［8］石文善.線性偏微分方程非齊次定解問(wèn)題的待定函數(shù)法［J］.大學(xué)物理，1992，11（2）：12-14.

［9］姚端正.一種實(shí)現(xiàn)邊界條件與方程均齊次化的方法［J］.大學(xué)物理，2013，32（3）：53-58.

［10］周治寧，吳崇試，鐘毓澍.數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題指導(dǎo)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2004.

General treatment of inhomogeneous boundary conditions for equations of wave motion or heat conduction in higher dimensions

LIN Qiong-gui
（School of Physics，Sun Yat-Sen University，Guangzhou，Guangdong 510275，China）

For any well-posed problem of the equation of wave motion or heat conduction with inhomogeneous boundary conditions in higher（two or three）dimensions，an auxiliary problem is proposed.Using the solution of the latter，the original problem is transformed to one with homogeneous boundary conditions.This method for solving problems with inhomogeneous boundary conditions is widely applicable and easy to follow.Solutions for two examples are presented.

equation of wave motion；equation of heat conduction；inhomogeneous boundary conditions；auxiliary problem

O 411.1

A

1000-0712（2016）05-0001-04

2015-12-15；

2016-01-21

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11175268）資助

林瓊桂（1963—），男，廣東潮陽(yáng)人，中山大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，主要從事理論物理學(xué)的教學(xué)和研究工作.