孫秉璋　王　力

利用“補(bǔ)數(shù)”在算盤中表達(dá)負(fù)數(shù)的探索

孫秉璋王力

在日常生活中人們對(duì)補(bǔ)數(shù)并不熟悉，然而它時(shí)時(shí)刻刻影響著我們的生活，特別是在算盤的計(jì)算中，所以，熟悉和掌握補(bǔ)數(shù)就尤其顯得重要了。本文介紹了補(bǔ)數(shù)的概念、補(bǔ)數(shù)在珠算教學(xué)中的作用，以及在算盤計(jì)算中如何運(yùn)用補(bǔ)數(shù)表達(dá)負(fù)數(shù)并進(jìn)行運(yùn)算，擴(kuò)展算盤在實(shí)際生活中的計(jì)算功能，對(duì)于我們學(xué)習(xí)和運(yùn)用算盤起到非常重要的作用。

算盤中；表達(dá)負(fù)數(shù)；探索

在現(xiàn)今財(cái)經(jīng)專業(yè)教學(xué)中，《珠算》作為一門實(shí)用性很強(qiáng)的課程，仍然占據(jù)著核心課程的地位，它在實(shí)踐中仍然起著十分重要的作用。將隨著實(shí)踐的發(fā)展而不斷發(fā)展和完善，并將繼續(xù)指導(dǎo)社會(huì)實(shí)踐，但社會(huì)實(shí)踐對(duì)理論提出了更高的要求——怎樣使算盤計(jì)算更快捷、更方便，使用范圍更廣泛，特別是在算盤上表達(dá)負(fù)數(shù)，并且能夠用負(fù)數(shù)進(jìn)行一系列的運(yùn)算。在這種情況下，筆者認(rèn)為，引進(jìn)“補(bǔ)數(shù)”概念并且其在理論上的創(chuàng)新，將對(duì)《珠算》的理論發(fā)展，起到非常重要的推動(dòng)作用。

一、補(bǔ)數(shù)的概念

若兩個(gè)數(shù)的和等于10n（n為正整數(shù)），則這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)，其中10n為“齊數(shù)”?！褒R數(shù)”應(yīng)當(dāng)有正負(fù)之分，如：-10、-100、10、100等等。“補(bǔ)數(shù)”分為“位補(bǔ)數(shù)”、“大補(bǔ)數(shù)”和“小補(bǔ)數(shù)”三種。所謂“位補(bǔ)數(shù)”是指兩個(gè)數(shù)的和為10，那么，這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)。這里“齊數(shù)”是10。例如1和9、2和8、3和7、4和6、5和5互為補(bǔ)數(shù)。補(bǔ)數(shù)同樣有正負(fù)之分。例如-1和-9、-2和-8、-32和-68、-45和-55、-125和-875互為補(bǔ)數(shù)。所謂“大補(bǔ)數(shù)”是指兩個(gè)數(shù)的和等于10n（n為正整數(shù)，且n≥2），則這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)。例如89和11，63和37、456和544等等互為補(bǔ)數(shù)。所謂“小補(bǔ)數(shù)”是指一個(gè)多位數(shù)其最高位數(shù)加1后其余各位數(shù)為0，這個(gè)數(shù)就變?yōu)椤皬?qiáng)數(shù)”，“強(qiáng)數(shù)”減去這個(gè)多位數(shù)所得差就是“小補(bǔ)數(shù)”，也叫“填數(shù)”。例如456、447、489其“強(qiáng)數(shù)”都是500，小補(bǔ)數(shù)分別為44、53、11。實(shí)際上，“位補(bǔ)數(shù)”、“小補(bǔ)數(shù)”是“大補(bǔ)數(shù)”的兩種特例，了解了“補(bǔ)數(shù)”的特點(diǎn)，對(duì)于珠算運(yùn)算是非常有用的。

二、補(bǔ)數(shù)對(duì)算盤的理論貢獻(xiàn)

（一）補(bǔ)數(shù)的運(yùn)用，使算盤表達(dá)負(fù)數(shù)成為可能，并且提供了方法

（圖一：-1）

在人們傳統(tǒng)的認(rèn)識(shí)里，認(rèn)為算盤只能表達(dá)正數(shù)，而不能表達(dá)負(fù)數(shù)，但引入“補(bǔ)數(shù)”這個(gè)概念后，人們發(fā)現(xiàn)，算盤不但能表達(dá)正數(shù)，而且能表達(dá)負(fù)數(shù)。比如：-1、-2、-3、-4、-5、-6、-7、-8、-9在算盤上的表達(dá)方式分別是-1=-10+9、-2=-10+8、-3=-10+7、-4=-10+6、-5=-10+5、-6=-10+4、-7=-10+3、-8=-10+2、-9=-10+1，在算盤上撥出來(lái)分別是如下圖一至圖九。

而且，任意一個(gè)正、負(fù)數(shù)都可以在算盤上表達(dá)出來(lái)。

在這里，不得不說(shuō)明一種算珠的示數(shù)方法——懸珠。懸珠是一種非常奇特的現(xiàn)象，它的來(lái)源類似于四川長(zhǎng)江流域古代巴人的殯葬方式“懸棺”一樣，懸吊于半空中，奇特而有趣。我們把這種“懸棺”形式引用過(guò)來(lái)就形成了“懸珠”，懸珠也是一種算珠的示數(shù)方法。算珠實(shí)際上有三種示數(shù)方法：靠梁珠、靠邊珠以及懸珠。懸珠是既不靠梁也不靠邊，而停在梁和邊中間的算珠，懸珠一般代表負(fù)齊數(shù)，如：-10、-100、-1000等等。因?yàn)樵谒惚P中，-10、-100、-1000表示方法一樣，只是其定位點(diǎn)不同。在-1=-10+9里面，-10是齊數(shù)，-1和-9是補(bǔ)數(shù)。同樣，任意一個(gè)負(fù)數(shù)將通過(guò)齊數(shù)和它的補(bǔ)數(shù)表示出來(lái)，如：-123=-1000+877；-78=-100+22等等。引進(jìn)懸珠這種示數(shù)方法，這對(duì)于算盤表達(dá)負(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)具有科學(xué)而現(xiàn)實(shí)的重大意義。

（二）補(bǔ)數(shù)拓展了珠算技術(shù)研究者的思維，認(rèn)識(shí)到珠算會(huì)隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展，且永無(wú)止境

補(bǔ)數(shù)不但在算盤上成功表達(dá)了負(fù)數(shù)，而且拓展了珠算術(shù)研究者的思維，例如：

代數(shù)對(duì)負(fù)數(shù)的寫法是：-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，-9等。

（圖二：-2）

（圖三：-3）

（圖四：-4）

（圖五：-5）

（圖六：-6）

（圖九：-9）

（圖八：-8）

（圖七：-7）

計(jì)算機(jī)二進(jìn)制對(duì)負(fù)數(shù)的寫法是：（原碼）10000001、10000010、10000011、10000100、10000101、10000110、10000011、10000100、10000111等。

在算盤上對(duì)負(fù)數(shù)的寫法是：-1=-10+9、-2=-10+8、-3=-10+7、-4=-10+6、-5=-10+5、-6=-10+4、-7=-10+3、-8=-10+2、-9=-10+1，表達(dá)出來(lái)就是如圖一至圖九。

負(fù)數(shù)在代數(shù)、計(jì)算機(jī)和算盤中會(huì)有不同的表達(dá)方式，但其本質(zhì)上是一樣的，并沒有什么不同，但這大大拓展了研究者的視野，開發(fā)了其創(chuàng)造性思維。

（三）補(bǔ)數(shù)為算盤計(jì)算負(fù)數(shù)提供了可能

［例1］-1-2=-3（在算盤中表達(dá)出來(lái)如圖三）

［例2］-21-45=-66

［例3］211-456=-245

（四）補(bǔ)數(shù)為算盤的各種簡(jiǎn)便算法提供數(shù)了途徑

1.補(bǔ)數(shù)加減法

當(dāng)加數(shù)或減數(shù)接近整數(shù)時(shí)，就可用補(bǔ)數(shù)來(lái)實(shí)行加減運(yùn)算，這種方法叫補(bǔ)數(shù)加減法。

［例1］20634+9998=20634+10000-2=30632

［例2］20634+498=20634+500-2=21132

［例3］20634-498=20634-500+2=20136

在這里10000和500分別是齊數(shù)和強(qiáng)數(shù)，2是補(bǔ)數(shù)。這樣能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，加快運(yùn)算速度。

2.補(bǔ)數(shù)乘法

兩數(shù)相乘，有一個(gè)接近整數(shù)時(shí)，可以利用整數(shù)和補(bǔ)數(shù)的關(guān)系，用加減法來(lái)代替乘法，以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，這種方法叫補(bǔ)數(shù)乘法。

［例1］576×997

=576×1000-576×3

=576000-1728

=574272

步驟：①在算盤右邊撥入576000

②以576000減去576×3的積

［例2］376×988

=376×1000-376×12

=371488

步驟：①在算盤右邊撥入376000

②以376000減去3760

③再減去376

④再減去376，得數(shù)371488

3.歸除法

補(bǔ)數(shù)除法，實(shí)際上就是歸除法?，F(xiàn)在的“九歸口訣表”，無(wú)不滲透著補(bǔ)數(shù)的影子。可以說(shuō)，正是因?yàn)檠a(bǔ)數(shù)才產(chǎn)生了歸除法。

三、結(jié)論

總之補(bǔ)數(shù)在珠算中起著非常重要的作用，將推動(dòng)我國(guó)的珠算技術(shù)不斷向前發(fā)展，隨著人類文明的進(jìn)步，它的作用將被我們重新認(rèn)識(shí)和定義，不斷開啟和引導(dǎo)人類的思維和智慧向前發(fā)展，在人類的科學(xué)技術(shù)史上留下不可磨滅的印跡。

［1］何復(fù)杰.淺談補(bǔ)數(shù)在珠算中的作用［J］.教學(xué)與研究，1993：（1）50.

［2］姚克賢.珠算教程［M］.大連：東北財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2011：40.

（作者單位：定西師范高等?？茖W(xué)校計(jì)算機(jī)系）