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        圓中之“最”,有“跡”可尋

        2016-10-24 09:02:21柏素霞
        初中生世界 2016年35期

        柏素霞

        圓中之“最”,有“跡”可尋

        柏素霞

        近年來,以圓為載體,通過點(diǎn)的運(yùn)動或是圓本身的運(yùn)動來考查與圓有關(guān)的最值的題型不在少數(shù),解決這類問題的關(guān)鍵是找出確定最值成立的條件,同學(xué)們要學(xué)會化未知為已知,與已學(xué)知識點(diǎn)相聯(lián)系,架起思維的橋梁,實現(xiàn)轉(zhuǎn)化,從而找到突破口求解.

        一、結(jié)合三角形的中位線定理求解

        例1如圖1,AB是⊙O的弦,AB=6,點(diǎn)C是⊙O上的一個動點(diǎn),且∠ACB=45°.若點(diǎn)M,N分別是AB,BC的中點(diǎn),則MN長的最大值是_______.

        【分析】根據(jù)中位線定理得到,AC最大時,MN最大.AC是圓的一條弦,隨著點(diǎn)C的運(yùn)動,弦AC的長在發(fā)生變化,在圓內(nèi),直徑是最長的弦,因此,當(dāng)AC過點(diǎn)O為直徑時AC最長,從而求得直徑后就可以求出最大值.

        圖1

        圖2

        解:∵點(diǎn)M,N分別是AB,BC的中點(diǎn),

        ∴當(dāng)AC取得最大值時,MN就取得最大值,當(dāng)AC為直徑時最大,如圖2,

        【說明】在解決本類題型時我們要學(xué)會動中覓靜,要分清在運(yùn)動過程中圖形的不變元素和變動元素,探尋到那些隱含的、在運(yùn)動變化中沒有改變的不變量或不變關(guān)系.本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理,解題的關(guān)鍵是了解什么時候MN的值最大.本題中的不變關(guān)系就是三角形的中位線定理,通過這個不變關(guān)系實現(xiàn)了最大值的轉(zhuǎn)化,通過求AC的最大值從而求得了MN的最大值.

        二、結(jié)合垂線段的性質(zhì)求解

        【分析】如圖4,由垂線段的性質(zhì)可知,當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時,直徑AD最短.根據(jù)同圓中同弧所對的圓心角和圓周角之間的關(guān)系可知∠EOF=120°,易求得∠EOH=60°,根據(jù)特殊的直角三角形三邊間的比例關(guān)系可知EF=當(dāng)半徑OE最短時,EF最短.

        圖3

        圖4

        解:如圖4,連接OE,OF,過O點(diǎn)作OH⊥EF,垂足為H,

        ∴AD=BD=2,即此時圓的直徑為2,

        ∴OE=OF=1.

        由圓周角定理可知

        【說明】本題考查了垂徑定理、圓周角定理以及特殊的直角三角形的性質(zhì).解本題的關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動變化,找出滿足條件的最小圓,再利用特殊直角三角形三邊之比找出EF與圓的直徑之間的關(guān)系.這里的最值實質(zhì)上是應(yīng)用了“垂線段最短”,再轉(zhuǎn)化為所要求的弦的最小值.

        三、“最”上加“最”,綜合求解

        例3如圖5,在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動圓與CB、CA分別相交于點(diǎn)E、F,則線段EF長度的最小值是________.

        【分析】利用勾股定理的逆定理得到∠C為直角,利用“90度的圓周角所對的弦為直徑”,得到EF為圓的直徑.如圖6,設(shè)圓與AB的切點(diǎn)為D,圓心為點(diǎn)O,連接CO、DO,這兩條半徑之和始終等于直徑EF的長,當(dāng)(CO+DO)的長度最短時,則EF的長度最小.故當(dāng)C、O、D三點(diǎn)共線時,即當(dāng)CD垂直于AB時,CD是圓的直徑,此時EF長度最小,求出即可.

        解:∵在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,

        ∴AB2=AC2+BC2,

        ∴△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,可知EF為圓的直徑.

        設(shè)圓與AB的切點(diǎn)為D,連接CD,

        當(dāng)CD垂直于AB,即CD是圓的直徑時,EF長度最小,最小值是

        圖5

        圖6

        【說明】本題考查了勾股定理的逆定理及直徑、圓周角的相關(guān)性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是要看清圓在運(yùn)動的過程中,EF與(CO+DO)始終相等,故可進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.在運(yùn)動過程中,有那么一個特殊狀態(tài),C、O、D三點(diǎn)共線且垂直于AB,此時CD最短且為直徑,這里運(yùn)用了兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短的性質(zhì).

        以上幾例為圓中有關(guān)最值計算問題的常用思路,同學(xué)們只要能尋得問題的源頭,便能抵達(dá)成功的彼岸.

        (作者單位:江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校)

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